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Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 09.02.2007 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603.

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1 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am Fr. 08:30-10:00 Uhr; R (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D Kassel Dr.-Ing. René Marklein Tel.: ; Fax: URL: URL:

2 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Methoden zur Berechnung von Widerstände 1. Weg Allgemein gilt natürlich weiterhin Wenn in kleinen Elementen über die Länge die Feldstärke, über die Querschnittsfläche der Strom als konstant angenähert werden können: mit - Abstand von Potentialflächen mit Nähert sich bei inhomogener Strömung bei hinreichend kleiner Unterteilung der Widerstand eines solchen Elementes dem eines durch beschriebenen Volumens an und -> Netzwerk aus parallel und in Reihe geschalteten Widerständen: - Querschnittsfläche eines Stromfadens senkrecht zur Strömungsrichtung Bild. Stationäres elektrisches Strömungsfeld in eingeschnürter Kupferschiene oder (4.7) (4.8)

3 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Methoden zur Berechnung von Widerstände 1. Weg Bei einfachen Geometrien bildet sich ein Strömungsfeld aus, dessen Äquipotenzialflächen und Stromfäden auf einfach beschreibbare Widerstandselemente führen, so dass sich statt eines Netzwerkes einfache Reihen- oder Parallelschaltungen ergeben, siehe Beispiele 4.1 und 4.2: Beispiel 4.1 Koaxialkabel Koaxialkabel mit Radien ρ 1, ρ 2 und Länge l Dielektrikum besitzt die Leitfähigkeit γ über elektrostatisches Feld wurde Kapazität der Anordnung berechnet, parallel dazu liegender Leitwert über Strömungsfeld. Aus Feldberechnung: Bild 3.25a. Koaxialkabel Widerstand R in radiale Richtung! Reihenschaltung von dünnen Zylinderschalen in radialer Richtung! elektro- statisches Feld elektrisches, stationäres Strömungsfeld

4 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 4.1 Koaxialkabel Lösung: Reihenschaltung von dünnen Zylinderschalen in radialer Richtung! Bild 3.25a. Koaxialkabel mit der Mantelfläche Hier gilt für den differentiellen Widerstand folgt In Abschnitt 1.4, Gl. (1.11) galt und damit für den differentiellen Widerstand

5 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 4.1 Koaxialkabel Lösung: Strom fließt durch Reihenschaltung unendlich vieler Mantelelemente, R n für n ! (Daher bietet sich Widerstand als Berechnungsgrundlage an! Koaxialer Zylindermantel mit Radius ρ und Wandstärke d ρ hat den differenziellen Widerstand Bild 3.25a. Koaxialkabel Für den Widerstand R geht obige Summe in Integral über:

6 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 4.2: Stromdurchflossener Bügel Gegeben: Stromdurchflossener Bügel mit den Daten elektrische Leitfähigkeit Innenradius Außenradius Breite b Lösung: Strömungslinien werden als Halbkreise angenommen, dann gilt für ein koaxiales Halbzylinderelement mit Radius Bild 4.4. Stromdurchflossener Bügel (vgl. Bild 4.4. in Clausert & Wiesemann [S. 205, 2005]) Parallelschaltung von dünnen Zylinderschalen in radialer Richtung!

7 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 4.2: Stromdurchflossener Bügel Lösung: Parallelschaltung aller Elemente führt auf Integral der Leitwerte: Parallelschaltung von dünnen Zylinderschalen in radialer Richtung! Bild 4.4. Stromdurchflossener Bügel (vgl. Bild 4.4. in Clausert & Wiesemann [S. 205, 2005])

8 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Methoden zur Berechnung von Widerstände 2. Weg Ableitung des elektrischen Widerstands R aus analoger Kapazitätsberechnung C (zulässig, da Feldgleichungen für bzw. a und b Punkte auf dem Innen- und Außenleiter A die Fläche, durch die der gesamte elektrische Fluss bzw. die elektrische Strömung fließt Quellen der Felder sind die el. Ladung Q bzw. der el. Strom I ! oder (4.9) Multiplikation beider Gleichungen ergibt: gleich sind): oder Widerstandsberechnung über Kapazitätsberechnung

9 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Methoden zur Berechnung von Widerstände 3. Weg Anderer Rechenweg: Strom I vorgeben Aus Strömungsfeld Potenziale an Endpunkten, d.h. den Elektroden, berechnen Siehe nächste Folie: Lösungsmethodik Widerstandsberechnung Weitere Beispiele hierzu siehe nächsten Abschnitt 4.3! Kugelerder Halbkugelerder (4.10)

10 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Lösungsmethodik Widerstandsberechnung Teststrom Beispiel: Widerstand eines Koaxialkabels (Koaxialleiter)

11 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V (4.12) (Erdoberfläche hinreichend weit weg, homogener Boden) Strom I tritt in die Kugel ein, daher negativ: 4.3 Anwendung auf Erdungsprobleme: Kugelförmiger Erder Metallkugel Hüllkugel aus Radialsymmetrie des Strömungsfeldes Bild 4.5. Kugelförmiger Erder; Strom I trifft auf Metallkugel mit Radius r und unendlicher Leitfähigkeit; Erzeugung eines radialsymmetrischen Strömungsfeldes (vgl. Bild 4.5. in Clausert & Wiesemann [2005, S. 206]) (4.11)

12 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V (4.13) (4.12) wie Anordnung links, isolierende Ebene durch Mittelpunkt der Kugel Halbkugel, d. h. der Strom I führt zur doppelten Stromdichte J (r), da sich der Strom I anstatt auf einer Kugel auf einer Halbkugel verteilt 4.3 Anwendung auf Erdungsprobleme: Halbkugelerder Metallkugel Hüllkugel Bild 4.6. Halbkugelerder (vgl. Bild 4.6. in Clausert & Wiesemann [2005, S. 207]) Bild 4.5. Kugelerder (vgl. Bild 4.6. in Clausert & Wiesemann [2005, S. 206]) Hüllkugel: A Metallhalbkugel

13 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V (4.16) (4.15) 4.3 Anwendung auf Erdungsprobleme: Berührungsspannung, Schrittspannung, Erdungswiderstand, Erdübergangswiderstand Hüllkugel: A Metall- halbkugel Schrittspannung zwischen Radien Berührungsspannung für Person am Ort r 1, die Zuleitung mit Potential wie bei r 0, berührt: Erdungswiderstand, Erdübergangswiderstand ist Widerstand zwischen der Erderelektrode und dem unendlich ausgedehnten Erdreich: Potenzialverlauf entlang der Erdoberfläche (4.14)

14 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bei einem Blitzschlag fließt ein Strom von 1000 A in einen Freileitungsmast, wie groß ist die Schrittspannung in einer Entfernung von 10 m und 20 m bei einer Schrittlänge von 80 cm? Leitfähigkeit des Erdbodens Lösung: Für r = 10 m : gefährlich, da über 60 V! Für r = 20 m : Beispiel 4.3: Schrittspannung

15 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bild Zur Herleitung der Stetigkeit der Normalkomponente von D J (vgl. Bild in Clausert & Wiesemann [2005]) 4.4 Bedingungen an Grenzflächen – Bedingungen für J und E

16 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V liefert für einen flachen Zylinder mit Zusammenhang J, E : dito (wie beim elektrostatischen Feld) 4.4 Bedingungen an Grenzflächen – Bedingungen für J und E (4.17) (4.18)

17 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bedingungen an Grenzflächen – Bedingungen für J und E Bild. Trennfläche zwischen zwei verschieden Materialien unterschiedlicher elektrischer Leitfähigkeit (stetig) (unstetig) (stetig)

18 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Zum Beispiel am Übergang von einem guten auf einen schlechten Leiter α 1 in Grad α 2 in Grad ,6 60 1,0 70 1,6 80 3,2 85 6,5 Brechungsgesetz des elektrischen Strömungsfeldes 4.4 Bedingungen an Grenzflächen - Brechungsgesetz Tangentialkomponente geht gegen Null (kann schlecht eingezeichnet werden!) (4.19)

19 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bedingungen an Grenzflächen - Brechungsgesetz Tangentialkomponente geht gegen Null (kann schlecht eingezeichnet werden!) Tangentialkomponente ist Null, damit ist das E-Feld in Material (1) Null. guter elektrischer Leiter idealer elektrischer Leiter (IEL) Die Feldlinien gehen senkrecht (normal) in einen idealen elektrischen Leiter (IEL) Oberfläche des ideal elektrisch Leiters Äquipotenzialfläche

20 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bedingungen an Grenzflächen - Randbedingungen Beispiel: Punktladung angezogen von einer elektrisch geladenen Kugel. Die Ob Tangentialkomponente ist Null, damit ist das E-Feld in Material (1) Null. idealer elektrischer Leiter (IEL) Die Feldlinien gehen senkrecht (normal) in einen idealen elektrischen Leiter (IEL) Oberfläche des ideal elektrisch Leiters Äquipotenzialfläche Elektrostatik Randbedingungen:

21 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Zur Anwendung der Theorien der Elektrostatik und des stationären elektrischen Strömungsfeldes bei realen Isolatoren: 4.4 Bedingungen an Grenzflächen Reale Isolatoren Elektrostatik (ε 0; γ = 0): Idealer Isolator in Elektrostatik mit Leitfähigkeit null: Kein Leitungsstrom! Stationäres elektrisches Strömungsfeld (γ 0; ε 0) : In realen Isolatoren im stationären Fall (Frequenz f gleich null: f = 0 ) Stromverteilung (Feldverteilung) entsprechend Strömungsfeld Leitungsstrom Schnell veränderliches elektromagnetisches Feld (γ 0; ε 0) : Bei höheren Frequenzen entsprechend dielektrischen Eigenschaften wie Elektrostatik. Feldverdrängung im Leiter Skin-Effekt : elektromagnetische Energie steckt im elektromagnetischen Feld, also überwiegend im so genannten Verschiebungsstrom und nicht im Leitungsstrom.

22 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bedingungen an Grenzflächen Flächenladung und mit der Materialgleichung Umgestellt gilt nicht mehr! sondern, springt um eine elektrische Flächenladung! σ : elektrische Flächenladung mit mit erweitert!

23 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bedingungen an Grenzflächen Flächenladung: Ladung in der Grenzfläche Im allgemeinen gilt Elektrische Ladung in der Grenzfläche Elektrische Flächenladung: σ : elektrische Flächenladung Für den Fall = keine elektrische Flächenladung mit Oder, wenn man mit erweitert:

24 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bedingungen an Grenzflächen Bild. Trennfläche zwischen zwei verschieden Materialien unterschiedlicher Permittivität und elektrischer Leitfähigkeit (stetig) (unstetig) (stetig) (unstetig) mit

25 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Grundgesetze und ihre Entsprechungen im elektrostatischen Feld Elektrostatik Stationäres elektrisches Strömungsfeld Elektrische Stromdichte: Elektrische Leitfähigkeit: Leitwert: 1. Kirchhoffsches Gesetz 2. Kirchhoffsches Gesetz Ohmsches Gesetz

26 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Gesucht: 1. Der elektrische Strom I 2. Die elektrische Flächenladung σ zwischen den beiden Materialien, also an der Stelle r = r 1 ! Beispiel 4.4: Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum Bild 4.8. Kugelkondensator mit geschichtetem, verlustbehaftetem Dielektrikum (vgl. Bild 4.8. in Clausert & Wiesemann [2005, S. 210]) Gegeben: Zwischen zwei vollkommen leitenden, konzentrischen Kugelschalen befinden sich zwei Medien (1) und (2) gemäß Bild 4.8. Über isolierte Drähte sind die beiden Kugelschalen an eine Spannungsquelle U angeschlossen.

27 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 4.4: Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum Lösung: Bestimmung des elektrischen Stromes I über die elektrische Spannung U und den elektrischen Widerstand R berechnen! Spannung setzt sich aus den Spannungsabfällen an beiden Materialien zusammen: Elektrisches Potenzial in Material (1) und (2):

28 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 4.4: Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum Lösung: Flächenladung σ über Grenzflächenbedingung (Übergangsbedingung) für D Charakter des Strömungsfeldes überwiegt (siehe Gl. (4.11))! Deswegen keine Epsilon-Anteile! Elektrische Feldstärke in Material (1) und (2):

29 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Ende der Vorlesung


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