Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Gedämpfte Schwingungen i. A. sind Schwingungen gedämpft, d. h. ihre Amplitude nimmt über die Zeit ab. Dies wird durch Reibungskräfte bewirkt. Bew.Gl.:

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Gedämpfte Schwingungen i. A. sind Schwingungen gedämpft, d. h. ihre Amplitude nimmt über die Zeit ab. Dies wird durch Reibungskräfte bewirkt. Bew.Gl.:"—  Präsentation transkript:

1 Gedämpfte Schwingungen i. A. sind Schwingungen gedämpft, d. h. ihre Amplitude nimmt über die Zeit ab. Dies wird durch Reibungskräfte bewirkt. Bew.Gl.: Die Reibungskraft F R ist oft eine Funktion der Geschwindigkeit. z. B viskose Reibung (z.B. Stokes): Neue Bew.gl.: Ansatz: Gaub17WS 2014/15

2 1) Starke Dämpfung (Wurzel reell) c 1 und c 2 aus Randbedg. 2) Schwache Dämpfung (Wurzel imaginär) Lösungen haben die FormDamit x reell ist, muß Frequenz wird durch Reibung reduziert! wenn x(0)=0 und v(0)=v 0 Im Re IxI Gaub18

3 nach ist die Amplitude auf abgefallen ; Amplitude fällt exponentiell ab. Gaub19WS 2014/15

4 3) Aperiodischer Grenzfall (Wurzel =0) Ansatz liefert nur eine Lösung Es muß noch eine weitere Lösung geben! Neuer Ansatz: c 1 und c 2 aus Randbedg. Im aperiod. Grenzfall relaxiert das System schnellstmöglich ohne überzuschwingen. => Optimale Dämpfung für Messinstrumente. { 0 20

5 über Gaub21WS 2014/15

6 Erzwungene Schwingungen m Von außen angelegte Kraft F 0 und x 0 komplex! GaubWS 2014/15

7 Amplitude Phasenverschiebung Gaub23WS 2014/15

8 - In der Resonanz liegt die Phase des Erregers um  2 vor dem Oszillator z. B. Anregung mit cos (  0 t) -> Resonanz cos(  0 t-  2)=sin(  0 t) - Für  ->0 gleichphasig, für  ->∞ gegenphasig Versuche Pohl‘sches Rad und Glas Film Tacoma Bridge 24

9 Näherung für schwache Dämpfung  In der Nähe der Resonanz Maximum: Halbwertsbreite: „Güte“ des Oszillators: Gaub 25WS 2014/15

10 Energie im Harmonischen Oszillator Ungedämpfter harm. Oszillator: kinetische Energie: Potentielle Energie: Mittelwerte über eine Periode Gaub26WS 2014/15

11 Energieübertragung bei erzwungener Schwingung im gedämpften harm. Oszillator: Im eingeschwungenen Zustand ändert sich die Amplitude der Schwingung mit der Zeit nicht mehr. dissipierte Leistung: Pro Zyklus aufgenommene Arbeit: Mittlere Leistung:Maximal für weil A dann maximal Alle Energie, die dem System von außen zugeführt wird, muß vollständig in Reibungswärme umgewandelt werden. Gaub27WS 2014/15

12 Mathieu-Gleichung Parametrischer Oszillator (Kinderschaukel): Fadenpendel :   = (g/L) 1/2 Periodisches verkürzen des Fadens: optimaler Antrieb bei Ansatz: Exponentielles aufschaukeln für mit: und Winkelfunktionsmassage (siehe Demtröder) 28

13 wo2wo2 h Detaillierte Stabilitätsanalyse siehe §12 Gaub29WS 2014/15

14 m D1D1 D2D2 Gekoppelte Oszillatoren A) Gekoppelte Federn, eine Masse m D1D1 D2D2 Gaub30WS 2014/15

15 B) Gekoppelte Federn, mehrere Massen D1D1 D 12 D2D2 m1m1 m2m2 0 x1x1 0 x2x2 Kopplung der DGL Vereinfachung: Normalkoordinaten Eigenschwingungen, „Normalmoden“ „Schwebungen“ Versuche Gekoppelte Pendel und Metronome 31

16 B) Gekoppelte Federn, mehrere Massen 32

17 B) Gekoppelte Pendel unter externer Anregung Gaub

18 C) Gekoppelte Federn, mehrere Massen Gaub34WS 2014/15


Herunterladen ppt "Gedämpfte Schwingungen i. A. sind Schwingungen gedämpft, d. h. ihre Amplitude nimmt über die Zeit ab. Dies wird durch Reibungskräfte bewirkt. Bew.Gl.:"

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen