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1 VI.3. Wechselstromtechnik t U(t) U0U0 Periode T 1/ν Harmonische Wechselspannung Schaltsymbol: VI.3.1. Wechselstrom U 0 :ScheitelwertU( t ): Momentanwert.

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1 1 VI.3. Wechselstromtechnik t U(t) U0U0 Periode T 1/ν Harmonische Wechselspannung Schaltsymbol: VI.3.1. Wechselstrom U 0 :ScheitelwertU( t ): Momentanwert T:PeriodeFrequenz Kreisfrequenz Phase

2 2 Beispiel: Leistung im ohmschen Verbraucher I( t ) R U( t ) Mittlere Leistung für beliebige periodische Wechselspannung: Effektivspannung: Effektivstrom: o.B.d.A.: 0

3 3 Spezialfall: harmonische Wechselspannung

4 4 Allgemeine Wechselspannung: Periode T: Fundamentalkreisfrequenz: U(t) t Periode T Fourierzerlegung: U eff ist gleich der quadratischen Summe der Effektivspannungen der Fourierkomponenten

5 5 Folgerung: Für lineare Netzwerke ( Superpositionsprinzip anwendbar) reicht es aus, das Verhalten für harmonische Wechselströme/Wechselspannungen zu untersuchen. Allgemeine Wechselspannung: Periode T: Fundamentalkreisfrequenz: U(t) t Periode T Fourierzerlegung:

6 6 Beispiel: Rechtecksignale symmetrisch U0U0 einseitig U0U0 Vergl. U eff aus Fourierzerl.

7 7 Allgemeine, nicht-periodische Spannung: Parsevalsche Formel: U(t) t (Einschaltvorgang, Testpulse etc.) mit den Fourierkoeffizienten Fouriertransformation:Inverse Fouriertransformation: Harmonische Zerlegung: Bemerkung: U reell, aber Ũ komplex

8 8 Allgemeine, nicht-periodische Spannung: U(t) t (Einschaltvorgang, Testpulse etc.) mit den Fourierkoeffizienten Fouriertransformation: Inverse Fouriertransformation: Harmonische Zerlegung: Bemerkung: U reell, aber Ũ komplex Folgerung: Für lineare Netzwerke ( Superpositionsprinzip anwendbar) reicht es aus, das Verhalten für harmonische Wechselströme/Wechselspannungen zu untersuchen.

9 9 Beispiel: Rechteckpuls Tiefpass (s.u.) Filterschaltung, die kleine Frequenzen überträgt und große Frequenzen dämpft. Charakteristische Größe: Abschneidefrequenz c

10 10 VI.3.2. Wechselstromwiderstände Lineare Netzwerke: Zeitverhalten lineare Differentialgleichungen Lineare Komponenten:Ohmsche Widerstände, Kondensatoren, ideale Spulen, Linearverstärker, … Nichtlineare Komponenten:Spulen mit Kernen nahe der Sättigungs- magnetisierung, nichtlineare Verstärker, Multiplizierer, Dioden, Glimmlampen, hochkonzentrierte Elektrolyte, … Lineares Netzwerk Ist F(t) eine komplexe Lösung der DGL für Ströme oder Spannungen, so auch Re F(t) und Im F(t). DGL

11 11 Neues (eleganteres) Konzept: Komplexe Spannung/Strom Re Im U0U0 t I0I0 physikalischer Anteil Definition: Komplexer Wechselstromwiderstand Nach Konstruktion Gesetze der Quasistatik (Kirchhoffsche Regeln, ) gelten weiter Re U Re I Lineares Netzwerk (Zweipol)

12 12 Beispiel: Ohmscher Widerstand URUR U R I Z reell und unabhängig von Beispiel: Induktivität ULUL U L I Z imaginär und proportional zu Strom eilt Spannung um 90 nach U I

13 13 Beispiel: Kapazität Z imaginär und umgekehrt proportional zu Spannung eilt Strom um 90 nach I U UCUC U C I

14 14 Anwendung (1): Reihenschaltung komplexer Widerstände U Z1Z1 Z2Z2 ZnZn I I I I I I I Maschenregel:

15 15 Z1Z1 Z2Z2 ZnZn Anwendung (2): Parallelschaltung komplexer Widerstände Knotenregel: U 0 UUU I I1I1 I2I2 InIn

16 16 Beispiel: RLC-Serienschaltung RL C Konstruktion im Zeigerdiagramm: Re Z Im Z R L Z Dieses Beispiel: Re Z R 0

17 17 Momentane Wechselstromleistung in Z: Mittlere Wechselstromleistung in Z: Wirkleistung ½ 0 Wirkleistung: Blindleistung: Blindleistung Komplexe Leistung: Wirkleistung Z Scheinwiderstand, Re Z Wirkwiderstand, Im Z Blindwiderstand Scheinleistung: VI.3.3. Wechselstromleistung

18 18 VI.3.4. Wichtige lineare Netzwerke a)( Passiver ) Hochpass ( erster Ordnung ): R C UeUe UaUa Spannungsteilerschaltung Übertragungsfunktion: Phasendrehung: durchlässig für

19 19 Zeit-Raum: Hochpass als Differenzierer R C U e (t)U a (t) Voraussetzung:U e t enthält nur Frequenzen viel kleiner als ( inverse ) Fouriertransformation: Differenziererschaltung für Amplitude der differenzierten Spannung

20 20 Verbesserte, Last-unabhängige Differenziererschaltung: U a (t) R CU e (t) Z Last Idealer Operations- verstärker Zur Stabilisierung (real life): Kleiner Serienwiderstnd R vor C

21 21 b)( Passiver ) Tiefpass ( erster Ordnung ): C R UeUe UaUa Spannungsteilerschaltung Übertragungsfunktion: Phasendrehung: 1 1 durchlässig für

22 22 Zeit-Raum: Tiefpass als Integrierer Voraussetzung:U e t enthält nur Frequenzen viel größer als (inverse) Fouriertransformation: Integriererschaltung für 0 Amplitude der integrierten Spannung C R U e (t)U a (t)

23 23 Veranschaulichung der Rechnung angenäherte Integrator-Wirkung

24 24 Verbesserte, Last-unabhängige Integriererschaltung: U a (t) R C U e (t) Z Last Idealer Operations- verstärker

25 25 c)(Passives) Bandfilter (erster Ordnung): Spannungsteilerschaltung R C UeUe UaUa L Resonanzfrequenz: Bandbreite: Gütefaktor: 1 durchlässig für R 90

26 26 d)(Passives) Bandsperrfilter (erster Ordnung): Spannungsteilerschaltung Resonanzfrequenz:Bandbreite:Gütefaktor: R C UeUe UaUa L 1 undurchlässig für R 90

27 27 VI.3.5. Der Transformator R Verbraucher Leistung P U I I U U Motivation: Relativer Leistungsverlust in der Leitung: Umwandlung der Eingangsspannung auf Hochspannung Übertragung über Hochspannungsleitung Umwandlung der Ausgangsspg. auf Verbraucherspannung (z.B. 230 V)

28 28 Schaltbildmögliche Realisierung Gleicher Wicklungssinn von Primär- und Sekundärwicklung bezüglich Richtung des magnetisches Flusses Primär- Wicklung Sekundär- Wicklung Eisenjoch U1U1 U2U2 Entgegengesetzter Wicklungssinn von Primär- und Sekundärwicklung bezüglich Richtung des magnetisches Flusses U1U1 U 2

29 29 U1U1 U2U2 I1I1 I2I2 Z L1L1 L2L2 L 12 Definition: Kopplungsstärke Bemerkung: Idealer Transformator keine Streufeld- etc. Verluste gesamter magnetischer Fluss durchsetzt beide Spulen k Induktionsgesetz Maschenregel Wechselstrom Tafelrechnung

30 30 U1U1 U2U2 I1I1 I2I2 Z L1L1 L2L2 L 12 Phasendrehung:

31 31 Spezialfall: Spulen gleichen Volumens Windungszahlen N 1, N 2 Idealer Transformator: k U1U1 U2U2 I1I1 I2I2 Z L1L1 L2L2 L 12

32 32 Unbelasteter Transformator: Z U1U1 U2U2 I1I1 I2I2 Z L1L1 L2L2 L 12 Spezialfall: Spulen gleichen Volumens Windungszahlen N 1, N 2

33 33 Kurzgeschlossener Transformator: Z 0 U1U1 U2U2 I1I1 I2I2 Z L1L1 L2L2 L 12 Spezialfall: Spulen gleichen Volumens Windungszahlen N 1, N 2

34 34 Transformator mit ohmscher Last: Z R U1U1 U2U2 I1I1 I2I2 Z L1L1 L2L2 L 12

35 35 Transformator mit induktiver Last: Z i L U1U1 U2U2 I1I1 I2I2 Z L1L1 L2L2 L 12

36 36 Transformator mit kapazitiver Last: Z (i C) U 2 U 1 größer als im unbelasteten Fall falls k 2 2 C L 2 Resonanzfrequenz: U1U1 U2U2 I1I1 I2I2 Z L1L1 L2L2 L 12

37 37 Anwendungen: Transformation auf Hochspannung Hochstromanwendung: N 1 1, N 2 Aluminium-Schmelzen Edelstahl-Gewinnung Punktschweißen Aufheizen von Werkstücken durch Wirbelströme Betatron-Beschleuniger groß e - Beschleunigung e N S Primärspulen (Helmholtz-Typ) Elektronenstrahl als Sekundärstromschleife inhomogenes magnetisches Wechselfeld Strahlfokussierung z.B. Rinne mit Metallschmelze

38 38 VI.3.6. Schwingkreise VI Freie Schwingung Maschenregel R C L I Q D γ m x Mechanisches Analogon: Übersetzung: Mechanik Elektrodynamik x Q m L R D C 1

39 39 R C L I Q Lösung übersetzt aus Mechanik: Schwingfall: Aperiodischer Grenzfall:Kriechfall:

40 40 VI Erzwungene Schwingung und Resonanz ( Übersetzung aus Mechanik) Serienschwingkreis: U(t) R C L Q I Resonanzfrequenz: Z R minimal Bandbreite: D γ m x F(t)

41 41 Parallelschwingkreis: Bandbreite: m xmxm D F(t) γ x U(t) QCQC I R C L ILIL Kleine Dämpfung Resonanzfrequenz: maximal

42 42 VI Gekoppelte Schwingkreise ( gekoppelte mechanische Schwinger ) Induktive Kopplung: R1R1 C1C1 L1L1 I1I1 Q1Q1 R2R2 C2C2 L2L2 I2I2 Q2Q2 L 12 Lösungsweg: Transformation auf Normalkoordinaten Beispiel: L 1 L 2 L C 1 C 2 C R 1 R 2 R Normalkoordinaten: Eigenfrequenzen: Normalmoden ( Schwingfall ):

43 43 Analoges Verfahren R1R1 C1C1 L1L1 R2R2 C2C2 L2L2 CkCk Kapazitive Kopplung: Galvanische Kopplung: R1R1 C1C1 L1L1 R2R2 C2C2 L2L2 RkRk

44 44 Lade- Widerstand Puffer- Kondensator npn-Transistor als elektronischer Schalter Schwingkreis VI Erzeugung ungedämpfter Schwingungen Beispiel: Meißner-Schaltung LC R1R1 C1C1 LC R1R1 C1C1 sperrt Schwingphase 1 autarker Schwingkreis

45 45 Lade- Widerstand Puffer- Kondensator npn-Transistor als elektronischer Schalter Schwingkreis LC R1R1 C1C1 LC R1R1 C1C1 leitet Schwingphase 2 Nachladung Beispiel: Meißner-Schaltung VI Erzeugung ungedämpfter Schwingungen

46 46 VI.3.7. Hochfrequenzleitung: Der Skineffekt Elektrischer Leiter ohmscher Widerstand und Induktivität: Z R i L induktive Effekte dominieren für R L (typisch O( MHz )) Elektrischer Leiter rLrL r Stromschwächung Lenz Folgerung: Bei hohen Frequenzen können Ströme nur nahe der Leiter- Oberfläche fließen ( Skineffekt ).

47 47 Quantitative Untersuchung ( Tafelrechnung) Eindringtiefe des Stroms rLrL r el r r j rLrL r L d Beispiel: Kupferleiter Hz d mm ,07 (exakte Lösung: Besselfunktionen)

48 48 Volumen Oberfläche Übergangsbereich (d r L ) ( effektives ) durchströmtes Volumen HF-Spannungen sind relativ ungefährlich Eisendrähte ( großes r ) sind schlechte HF-Leiter Gute HF-Leitung bei großer Oberfläche ( Hohlrohre, Litzen,... )


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