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5. Schwingungen und Wellen 5.1. Allgemeine Schwingungslehre Schwingungen Universalphänomen Mechanik Akustik Elektrodynamik Atomphysik 5.1.1. Harmonische.

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1 5. Schwingungen und Wellen 5.1. Allgemeine Schwingungslehre Schwingungen Universalphänomen Mechanik Akustik Elektrodynamik Atomphysik Harmonische Schwingung q abstrakte Auslenkung V(q) Potential mit Minimum in q 0 ( o.B.d.A. q 0 0, V(q 0 ) 0 ) kleine Auslenkungen Taylorentwicklung um q k 0 harmonisches Potential ( Parabel )

2 q V(q) Hookesches Gesetz Bewegungsgleichung: positive Prop.-Konstante 2 Schwingungsgleichungharmonische Schwingung AmplitudeAnfangsphase Periode Frequenz

3 Beispiel: Federpendel Ruhelage x = 0 m Auslenkung x F D x

4 φ m gm g φ m L F m g sin φ Beispiel: Fadenpendel anharmonische Schwingung! 1 harmonische Näherung

5 Überlagerung von Schwingungen a) Eindimensionale Systeme i) Schwingungen gleicher Frequenz: 1 2 : c a b 2 a konstruktive Interferenz 1 2 : c a b 0 destruktive Interferenz a b

6 ii) Schwingungen unterschiedlicher Frequenz: schnelle Schwingung mittlerer Frequenz langsame Amplituden- Schwingung, Schwebung Schwebung

7 Periode T t f(t) iii) Fourierzerlegung (allgemeine periodische Schwingungen) Fundamentalfrequenz: Fourierzerlegung: Grundschwingung: n 1, 1 Oberwellen (Harmonische): n 2, n n Klirrfaktor:

8 b) Zweidimensionale Systeme, Lissajous-Figuren Überlagerte x- & y-Schwingungen mit Frequenzen x, y Beispiel: Fadenpendel i) x y : Tafelrechnung Ellipse x/a y/b x/a y/b x/a

9 i) x y : i.a. keine geschlossenen Kurven Ausnahme: rationale Zahl n, m teilerfremd Periode der Schwingung: geschlossene Lissajous-Figur mit n Maxima in x und m in y Demo-Experiment

10 Gedämpfte Schwingung Stokes-Reibung Lösung ( Theorie-VL) durch Ansatz: Interpretation: Re (Dämpfungszeitkonstanten) 1 D 1 Im Oszillationsfrequenz Lösungstypen: 0 :Schwingfall 0 :Kriechfall 0 :aperiodischer Grenzfall Demo-Versuch: Waltenhofen-Pendel

11 < ω 0 : Schwingfall Dämpfungszeit: > ω 0 : Kriechfall kein Schwingterm max. 1 Überschwinger = ω 0 : aperiodischer Grenzfall ( spezielle Lösungsform) kein Schwingterm max. 1 Überschwinger schnellste Dämpfung

12 Gekoppelte Systeme φ1φ1 m L φ2φ2 m L D gekoppelte Differentialgleichungen Beispiel: gekoppelte Pendel ( Bild ) Lösungsweg: Wahl von Normalkoordinaten, derart dass M diagonal entkoppelte eindim. Schwingungen in Normalkoordinaten hier:

13 Veranschaulichung der Normalmoden ξ -Mode Überlagerung der Moden Schwebung Demo-Experiment

14 Erzwungene Schwingung und Resonanz Schwinger angeregt durch F ext (t); oft Statischer Grenzfall ( ω 0 ): Beispiel: Schwingfall ( 0 ) Energie-Dämpfungszeit: m γ ( 2 #Schwingungen in τ D ) Güte: E

15 Differentialgleichung: Lösungsstrategie ( Theorie-VL): q(t) Einschwingen Stationäre Schwingung rechte Seite 0 inhomogene Dgl. allgemeine Lösg. der hom. Dgl. stirbt mit D aus abhängig von Anfangsbed. spezielle Lösg. der inhom. Dgl. stationäre Schwingung unabhängig von Anfangsbed. schwingt mit von F ext Phase zwischen q und F ext

16 0,25 0,70 0 1/Q 4 1,43 Die Resonanzkurven A( ) und : Feder- dominiert Masse- dominiert Resonanzfrequenz

17 Beispiel: Waschmaschine Schleudergang (An-/ Auslaufphase) Wäsche Unwucht F ext = F 0 ·cos(ωt) ω Eigenfrequenz der Wackelbewegung: ω 0 ω = ω 0 : Resonante Wackelbewegung

18 5.2. Wellenlehre und Akustik Wellenausbreitung a) Ebene Wellen Beispiel: Kette gekoppelter Schwinger z transversale Auslenkung: ξ(z,t) Schwingungstransport

19 Erinnerung an Theorie-VL: z ξ(z,t) Kontinuumsübergang Wellengleichung: Allgemeine Lösung: mit beliebiger Funktion f Phase der Welle: Interpretation: ein Punkt fester Phase läuft mit Geschwindigkeit v in z-Richtung Def.: v heißt Phasengeschwindigkeit Für v 0 läuft f (z v t ) in ( z)-Richtung läuft f (z v t ) in ( z)-Richtung

20 Verallgemeinerung: mehrere DimensionenWellengleichung: z.B. 2-dim. Wasserwellen, 3-dim Schallwellen, Def.: Wellen, bei denen die Flächen konstanter Phase Ebenen sind, heißen ebene Wellen Ebene Welle: Phasenflächen Beispiel: Die allgemeine Lösung der Wellengleichung kann (u.a.) als Überlagerung ebener Wellen dargestellt werden.

21 Wellentypen: i) Harmonische ebene Welle ξ t Periode T 1/ν ξ z Wellenlänge λ t fest z fest Kreisfrequenz Frequenz T 1 Periode Wellenlänge Wellenzahl v Dispersionsrelation

22 ii) longitudinale / transversale mechanische Wellen t fest z Transversalwelle Polarisations- richtung z Longitudinalwelle iii) elektrische Feldstärke (Licht, Funksignale, )

23 iv) zirkular / elliptisch polarisierte Welle z y x Schraubenlinie Zirkulare Polarisation: komplexe Schreibweise (physikalische Anteil Realteil):

24 3-dim Kugelwelle ein aus b) Kugelwellen radiale Ausbreitung Anregungs- zentrum Kugelsymmetrie verwende Kugelkoordinaten symmetrischer Lösungstyp Analog: 2-dim Kreiswellen in Polarkoordinaten J 0, Y 0 Besselfunktionen

25 Interferenz Wellengleichung ist linear in Superpositionsprinzip gültig Wellen überlagern sich additiv Interferenzeffekte Stationäre Interferenzmuster falls const.(t) Realisierung: Stroboskopische Beleuchtung mit Beispiel: Wasserwellen ii)Zwei phasenstarre Erreger (Spitzen) i)Interferenz mit reflektierter Welle

26 Reflexion und Brechung Huygensches Prinzip (isotrope Medien): Die Wellenfortpflanzung kann durch eine Superposition phasengleicher Kugelwellen (Elementarwellen) von jedem Punkt einer Phasenfläche beschrieben werden. Die Einhüllende der Elementarwellen ergibt die Phasenfläche zu einem späteren Zeitpunkt. Ebene Welle als Überlagerung von Kreiswellen Kreiswelle als Überlagerung von Kreiswellen

27 Folgerung a) Reflexion an ebener Wand ebene Wand Ein Aus ebene Welle αα Einfallswinkel Ausfallswinkel

28 Folgerung b) Brechung an Grenzflächen α β Medium 1: v 1 Medium 2: v 2 Brechungsgesetz

29 Folgerung c) Stehende Wellen z Medium 1 Medium 2 Reflexion & Phasensprung Transmission Spezialfall: Totalreflexion A B

30 Totalreflexion A B zeitabhängige Amplitude feste räumliche Form stehende Welle Stehende Welle: z Feste räumliche Form Knoten Bäuche

31 Totalreflexion A B zeitabhängige Amplitude feste räumliche Form stehende Welle Fall 1: festes Ende z 0 z Fall 2: offenes Ende z 0 z

32 Beugung Wellenablenkung durch Hindernisse Ebene Welle λ d α Beugungsmuster im Unendlichen α I 2· 0. Ordnung 1. Ordnung 2. Ordnung d α λ/2 d/2

33 Folgerung: Unschärferelation: OrtsunschärfeWinkelunschärfe Position und Ausbreitungsrichtung einer Welle können nicht gleich- zeitig beliebig genau festgelegt werden. Folgerung: Beugungseffekte ( ) nur wichtig falls d. Für d wirken Hindernisse wie geometrische Begrenzungen.

34 Schall a) Schall in Festkörpern: Elastische Longitudinalwelle Elastische Rückstellkräfte Wellen z t Unendlicher Stab mit Dichte: ρ Elastizitätsmodul: E z Schallgeschwindigkeit z z t z Elastische Transversalwelle Unendlicher Stab mit Dichte: ρ Torsionsmodul: G Schallgeschwindigkeit

35 b) Schall in Gasen (Flüssigkeiten): keine Scherkräfte nur longitudinale Druckwellen longitudinale Auslenkung (z-Richtung) K Kompressionsmodul Folgerung: Schallgeschwindigkeit 1 kHz T const. K p Gasdruck Boyle-Mariotte isotherm kein Wärmeaustausch 1 kHz adiabatisch K p Adiabatenindex: Luft vgl. Kap. 6 Also:

36 Beispiel: Kundtsche Staubfiguren ν dL Glasrohr in Luft Metallstab Feste Einspannung L/2 Piezo- Kristall Koppel- Platte z L longitudinale Grundschwingung des Stabes Pulver Gas / 2 Schallbauch Schallknoten Tafelrechnung

37 Spezialgebiet: Akustik Lehre vom hörbaren Schall (16 Hz 16 kHz) Einige wichtigen Begriffe: I Schallleistung pro Fläche (z.B. Trommelfell) I min ( ) Hörschwelle bei der Frequenz Lst Lautstärke Referenzwert:

38 Doppler-Effekt Quelle bewegt ( v Q < v ) Quelle bewegt ( v Q < v ) Beobachter bewegt vQvQ Q B TT B < 0 Q 0 0 B vBvB v νB >ν0νB >ν0 Relativgeschwindigkeit v Resultat für beide Fälle gleich

39 Quelle mit Überschallgeschwindigkeit: Quelle bewegt ( v Q > v ) Quelle bewegt ( v Q > v ) v Q > v Q B Machscher Kegel ebene (Schock )Welle β v·Δt v Q ·Δt Anwendungen: Überschallknall Bugwelle eines Schiffes Cherenkovstrahlung geladener Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit


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