5. Schwingungen und Wellen

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1 5. Schwingungen und Wellen
5.1. Allgemeine Schwingungslehre Mechanik Akustik Elektrodynamik Atomphysik  Schwingungen  Universalphänomen Harmonische Schwingung q  abstrakte „Auslenkung” V(q)  Potential mit Minimum in q0 ( o.B.d.A. q0  0 , V(q0)  0 ) kleine Auslenkungen  Taylorentwicklung um q0  0 k  0 harmonisches Potential (  Parabel )

2 harmonisches Potential (  Parabel )
q V(q) harmonisches Potential (  Parabel )  Hookesches Gesetz Bewegungsgleichung: positive Prop.-Konstante 2 Schwingungsgleichung harmonische Schwingung Amplitude Anfangsphase Periode Frequenz

3 Beispiel: Federpendel
Ruhelage x = 0 m Auslenkung x F  D x 

4 L φ m φ m g  F-m g sin φ Beispiel: Fadenpendel
 anharmonische Schwingung!    ≪ 1  harmonische Näherung m g F-m g sin φ φ

5 5.1.2. Überlagerung von Schwingungen
a) Eindimensionale Systeme i) Schwingungen gleicher Frequenz: 1  2: c  a  b  2 a konstruktive Interferenz 1  2  : c  a  b  destruktive Interferenz a  b

6 ii) Schwingungen unterschiedlicher Frequenz:
langsame Amplituden-Schwingung, Schwebung schnelle Schwingung mittlerer Frequenz Schwebung

7 f(t) t iii) Fourierzerlegung (allgemeine periodische Schwingungen)
Periode T t Fundamentalfrequenz: Fourierzerlegung: Grundschwingung: n  1, 1   Oberwellen (Harmonische): n  2, n  n  Klirrfaktor:

8 b) Zweidimensionale Systeme, Lissajous-Figuren
Überlagerte x- & y-Schwingungen mit Frequenzen x, y Beispiel: Fadenpendel  i) x  y  : Tafelrechnung  Ellipse x/a y/b y/b x/a x/a y/b

9 i) x  y: i.a. keine geschlossenen Kurven
Ausnahme: rationale Zahl n, m teilerfremd Periode der Schwingung:  geschlossene Lissajous-Figur mit n Maxima in x und m in y  Demo-Experiment

10 5.1.3. Gedämpfte Schwingung Stokes-Reibung 
Lösung (Theorie-VL) durch Ansatz: Interpretation: Re   (Dämpfungszeitkonstanten)1  D1 Im   Oszillationsfrequenz  Lösungstypen:   0: Schwingfall   0: Kriechfall   0: aperiodischer Grenzfall Demo-Versuch: Waltenhofen-Pendel

11  < ω0: Schwingfall Dämpfungszeit:  > ω0: Kriechfall kein Schwingterm max. 1 Überschwinger  = ω0: aperiodischer Grenzfall ( spezielle Lösungsform) kein Schwingterm max. 1 Überschwinger schnellste Dämpfung

12 L φ1 φ2 m D 5.1.4. Gekoppelte Systeme
 gekoppelte Differentialgleichungen Beispiel: gekoppelte Pendel ( Bild ) Lösungsweg: Wahl von Normalkoordinaten, derart dass M diagonal  entkoppelte eindim. Schwingungen in Normalkoordinaten hier:

13 ξ -Mode ξ -Mode Veranschaulichung der Normalmoden
Überlagerung der Moden  Schwebung  Demo-Experiment

14 γ m 5.1.5. Erzwungene Schwingung und Resonanz
Schwinger angeregt durch Fext(t); oft m γ Beispiel: Schwingfall (   0 ) Energie-Dämpfungszeit: ( 2#Schwingungen in τD ) Güte: E Statischer Grenzfall ( ω  0 ):

15 Differentialgleichung:
rechte Seite  0  inhomogene Dgl. Lösungsstrategie ( Theorie-VL): q(t)  Einschwingen  Stationäre Schwingung allgemeine Lösg. der hom. Dgl. stirbt mit D aus abhängig von Anfangsbed. spezielle Lösg. der inhom. Dgl. stationäre Schwingung unabhängig von Anfangsbed. schwingt mit  von Fext Phase zwischen q und Fext

16 Die Resonanzkurven A() und :
Resonanzfrequenz 0,25 0,70 1/Q 4 1,43 Feder-dominiert Masse-dominiert

17 Beispiel: Waschmaschine
Schleudergang (An-/ Auslaufphase) Eigenfrequenz der Wackelbewegung: ω0 Wäsche  Unwucht  Fext = F0·cos(ωt) ω ω = ω0: Resonante Wackelbewegung

18 z 5.2. Wellenlehre und Akustik 5.2.1. Wellenausbreitung
a) Ebene Wellen Beispiel: Kette gekoppelter Schwinger transversale Auslenkung: ξ(z,t) z Schwingungstransport

19 Def.: v heißt Phasengeschwindigkeit
z ξ(z,t) Erinnerung an Theorie-VL: Kontinuumsübergang  Wellengleichung: Allgemeine Lösung: mit beliebiger Funktion f Phase der Welle: Interpretation:  ein Punkt fester Phase läuft mit Geschwindigkeit v in z-Richtung Def.: v heißt Phasengeschwindigkeit Für v  0 ○ läuft f (z  v t ) in (z)-Richtung ○ läuft f (z  v t ) in (z)-Richtung

20 Verallgemeinerung: mehrere Dimensionen
Wellengleichung: z.B. 2-dim. Wasserwellen, 3-dim Schallwellen,  Def.: Wellen, bei denen die Flächen konstanter Phase Ebenen sind, heißen ebene Wellen Phasenflächen Ebene Welle: Beispiel: Die allgemeine Lösung der Wellengleichung kann (u.a.) als Überlagerung ebener Wellen dargestellt werden.

21 Wellentypen: i) Harmonische ebene Welle
ξ t fest v z   Kreisfrequenz  Frequenz T  1  Periode   Wellenlänge  Wellenzahl Wellenlänge λ ξ z fest Dispersionsrelation t Periode T  1/ν

22 Polarisations-richtung
ii) longitudinale / transversale mechanische Wellen z Transversalwelle Polarisations-richtung t fest z Longitudinalwelle iii)   elektrische Feldstärke (Licht, Funksignale, )

23 Zirkulare Polarisation:
iv) zirkular / elliptisch polarisierte Welle z y x Schraubenlinie komplexe Schreibweise (physikalische Anteil  Realteil): Zirkulare Polarisation:

24 b) Kugelwellen 3-dim Kugelwelle aus ein radiale Ausbreitung
Kugelsymmetrie  verwende Kugelkoordinaten  symmetrischer Lösungstyp Anregungs-zentrum 3-dim Kugelwelle ein aus Analog: 2-dim Kreiswellen in Polarkoordinaten J0, Y0  Besselfunktionen

25 Interferenz Wellengleichung ist linear in   Superpositionsprinzip gültig  Wellen überlagern sich additiv  Interferenzeffekte Stationäre Interferenzmuster falls        const.(t) Realisierung: Stroboskopische Beleuchtung mit Beispiel: Wasserwellen Zwei phasenstarre Erreger (Spitzen) Interferenz mit reflektierter Welle

26 5.2.3. Reflexion und Brechung
Huygensches Prinzip (isotrope Medien): Die Wellenfortpflanzung kann durch eine Superposition phasengleicher Kugelwellen (Elementarwellen) von jedem Punkt einer Phasenfläche beschrieben werden. Die Einhüllende der Elementarwellen ergibt die Phasenfläche zu einem späteren Zeitpunkt. Ebene Welle als Überlagerung von Kreiswellen Kreiswelle als Überlagerung von Kreiswellen

27 Einfallswinkel  Ausfallswinkel
Folgerung a) Reflexion an ebener Wand ebene Welle Ein Aus α α ebene Wand Einfallswinkel  Ausfallswinkel

28 α β Medium 1: v1 Medium 2: v2 Folgerung b) Brechung an Grenzflächen
Brechungsgesetz β

29 Reflexion & Phasensprung
Folgerung c) Stehende Wellen Medium 2 Medium 1 z Transmission Reflexion & Phasensprung Spezialfall: Totalreflexion A  B 

30 Knoten Bäuche Stehende Welle: Feste räumliche Form
Totalreflexion A  B  zeitabhängige Amplitude feste räumliche Form  stehende Welle Stehende Welle: z Feste räumliche Form Knoten Bäuche

31 Totalreflexion A  B  Fall 1: festes Ende z  0 z
zeitabhängige Amplitude feste räumliche Form  stehende Welle Fall 1: festes Ende z  0 z Fall 2: offenes Ende z  0 z

32 Beugungsmuster im Unendlichen
Beugung  Wellenablenkung durch Hindernisse Beugungsmuster im Unendlichen α I 2· 0. Ordnung 1. Ordnung 2. Ordnung Ebene Welle λ d α d α λ/2 d/2 

33 Folgerung: Unschärferelation:
Ortsunschärfe Winkelunschärfe Position und Ausbreitungsrichtung einer Welle können nicht gleich-zeitig beliebig genau festgelegt werden. Folgerung: Beugungseffekte () nur wichtig falls d ≲ . Für d ≫  wirken Hindernisse wie geometrische Begrenzungen.

34 z z 5.2.5. Schall a) Schall in Festkörpern: zt zt
Elastische Rückstellkräfte  Wellen Elastische Longitudinalwelle z zt Elastische Transversalwelle Unendlicher Stab mit Dichte: ρ Torsionsmodul: G Schallgeschwindigkeit zt z Unendlicher Stab mit Dichte: ρ Elastizitätsmodul: E Schallgeschwindigkeit

35 b) Schall in Gasen (Flüssigkeiten):
keine Scherkräfte  nur longitudinale Druckwellen   longitudinale Auslenkung (z-Richtung) K  Kompressionsmodul Folgerung: Schallgeschwindigkeit  ≲ 1 kHz  T  const  K  p  Gasdruck Boyle-Mariotte isotherm kein Wärmeaustausch  ≳ 1 kHz  adiabatisch  K   p Adiabatenindex: Luft vgl. Kap. 6 Also:

36 longitudinale Grundschwingung des Stabes
Beispiel: Kundtsche Staubfiguren d L Glasrohr in Luft Koppel-Platte L/2 Piezo-Kristall Metallstab  ν Gas / 2 Pulver  z L Feste Einspannung Schallbauch Schallknoten Tafelrechnung  longitudinale Grundschwingung des Stabes

37 Spezialgebiet: Akustik  Lehre vom hörbaren Schall (16 Hz  16 kHz)
Einige wichtigen Begriffe: I  Schallleistung pro Fläche (z.B. Trommelfell) Imin()  Hörschwelle bei der Frequenz  Lst  Lautstärke Referenzwert:

38 Relativgeschwindigkeit ≪ v  Resultat für beide Fälle  gleich
Doppler-Effekt Quelle bewegt ( vQ < v ) Beobachter bewegt 0 v B vB T T vQ Q Q B < 0 B νB > ν0 Relativgeschwindigkeit ≪ v  Resultat für beide Fälle  gleich

39 Quelle mit Überschallgeschwindigkeit:
vQ·Δt Quelle bewegt ( vQ > v ) ebene (Schock-)Welle β v·Δt vQ > v Q B Anwendungen: Überschallknall Bugwelle eines Schiffes Cherenkovstrahlung geladener Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit Machscher Kegel