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Torsten Mayer-Gürr Satellitengeodäsie Kugelfunktionen (Teil 2) Torsten Mayer-Gürr Satellitengeodäsie Kugelfunktionen (Teil 2) Torsten Mayer-Gürr.

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Präsentation zum Thema: "Torsten Mayer-Gürr Satellitengeodäsie Kugelfunktionen (Teil 2) Torsten Mayer-Gürr Satellitengeodäsie Kugelfunktionen (Teil 2) Torsten Mayer-Gürr."—  Präsentation transkript:

1 Torsten Mayer-Gürr 508.535 Satellitengeodäsie Kugelfunktionen (Teil 2) Torsten Mayer-Gürr 508.535 Satellitengeodäsie Kugelfunktionen (Teil 2) Torsten Mayer-Gürr

2 product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE data earth_gravity_constant 3.986004415e+14 radius 6378136.6 max_degree 180 key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00 gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13 gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13 gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00 gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13 gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13 gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13 gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00 gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13 gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13 gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13 gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13 gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00 gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13... product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE data earth_gravity_constant 3.986004415e+14 radius 6378136.6 max_degree 180 key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00 gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13 gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13 gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00 gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13 gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13 gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13 gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00 gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13 gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13 gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13 gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13 gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00 gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13... 18.04.2015 2 Gravitationspotential

3 Torsten Mayer-Gürr Approximation des Potentials durch räumliche Polynome 18.04.2015 3 Approximation

4 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 4 Homogene, harmonische Polynome Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch  Die Approximation sollte auch harmonisch sein  Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch  Die Approximation sollte auch harmonisch sein  Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen, harmonischen Polynomen Homogenes, harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 oder wenn man negative Indizies einführt: Grad n Ordnung m

5 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 5 Koeffizientendreieck Approximation des Potentials durch Summe von homogenen, harmonischen Polynomen Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m

6 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 6 Koeffizientendreieck Standardabweichungen der Monatslösung ITG-Grace2010s (2008-03)

7 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 7 Kugelflächenfunktionen Sphärische Polarkoordinaten Homogene, harmonische Polynome Darstellung des Potentials Approximation von Funktionen auf der Kugel Kugelflächenfunktion: homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche

8 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 8 Basisfunktionen

9 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 9 Basisfunktionen

10 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 10 Basisfunktionen

11 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 11 Basisfunktionen

12 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 12 Approx. durch Kugelflächenfunktionen Approximation durch Kugelflächenfunktionen

13 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 13 Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

14 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 14 Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

15 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 15 Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

16 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 16 Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

17 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 17 Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

18 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 18 Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

19 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 19 Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

20 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 20 Klassische Herleitung der Kugelfunktionen: Lösung der Laplacegleichung Klassische Herleitung der Kugelfunktionen: Lösung der Laplacegleichung

21 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 21 Lösung der Laplace Gleichung Laplace Gleichung Annahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen Erneute Separation DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Funktionen Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Funktionen

22 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 22 Lösung der Laplace Gleichung Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung Spezielle Lösung mit Alle Linearkombination der speziellen Lösungen sind auch Lösungen für r<1 für r>1 Vergleich: Fourier-Reihe Kugelfunktionsentwicklung kann man interpretieren als 2D Fourier- Reihe auf der Kugel

23 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 23 Vergleich der Ansätze: Homogene, harmonische Polynome vs. Lösung der Laplacegleichung Vergleich der Ansätze: Homogene, harmonische Polynome vs. Lösung der Laplacegleichung

24 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 24 Kugelfunktionen Variante 1: Variante 2: Zusammenhang: für m>=0 für m<0

25 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 25 Kugelfunktionen Man findet alle Darstellungen in der Literatur. Zusammenhang: Entwicklung einer Funktion auf der Kugel nach Kugelflächenfunktionen Es gibt auch noch eine Darstellung bei der sin und cos zu einer komplexen Funktion zusammengefasst werden. Schreibweise 1: Schreibweise 2: Schreibweise 3:

26 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 26 Diskussion der Kugelfunktionen

27 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 27 Koeffizientendreieck Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m

28 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 28 Basisfunktionen C 00 A 00 C 11 S 11 C 10 C 20 C 30 C 40 S 22 S 21 S 31 S 33 S 32 S 41 S 42 S 44 S 43 C 21 C 22 C 31 C 41 C 32 C 33 C 42 C 43 C 44 C 50 S 51 S 52 S 54 S 53 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 S 55 zonalsektoriell tesseral Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Rummel

29 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 29 Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

30 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 30 Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

31 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 31 Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

32 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 32 Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

33 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 33 Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

34 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 34 Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

35 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 35 Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

36 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 36 Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

37 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 37 Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

38 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 38 Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=20:

39 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 39 Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=40:

40 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 40 Basisfunktionen C 00 A 00 C 11 S 11 C 10 C 20 C 30 C 40 S 22 S 21 S 31 S 33 S 32 S 41 S 42 S 44 S 43 C 21 C 22 C 31 C 41 C 32 C 33 C 42 C 43 C 44 C 50 S 51 S 52 S 54 S 53 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 S 55 zonalsektoriell tesseral Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Rummel

41 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 41 Basisfunktionen Entwicklung einer Funktion auf der Kugel nach Kugelflächenfunktionen mit Zonale Kugelflächenfunktionen (m=0) Polynom vom Grad n hat n Nullstellen, Keine Abhängigkeit von der Länge Polynom vom Grad n hat n Nullstellen, Keine Abhängigkeit von der Länge

42 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 42 Basisfunktionen Entwicklung einer Funktion auf der Kugel nach Kugelflächenfunktionen mit Sektorielle Kugelflächenfunktionen (m=n) 2n Nullstellen entlang eines Breitenkreises n-te Ableitung eines Polynoms vom Grad n ist eine Konstante Nullstellen bei -1 (Südpol) und +1 (Nordpol)

43 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 43 Basisfunktionen Entwicklung einer Funktion auf der Kugel nach Kugelflächenfunktionen mit Tesserale Kugelflächenfunktionen (0 { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.org/46/11738109/slides/slide_43.jpg", "name": "Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 43 Basisfunktionen Entwicklung einer Funktion auf der Kugel nach Kugelflächenfunktionen mit Tesserale Kugelflächenfunktionen (0

44 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 44 Basisfunktionen C 00 A 00 C 11 S 11 C 10 C 20 C 30 C 40 S 22 S 21 S 31 S 33 S 32 S 41 S 42 S 44 S 43 C 21 C 22 C 31 C 41 C 32 C 33 C 42 C 43 C 44 C 50 S 51 S 52 S 54 S 53 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 S 55 zonalsektoriell tesseral Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Rummel

45 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 45 Potential im Außenraum

46 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 46 Kugelflächenfunktionen Sphärische Polarkoordinaten Homogene, harmonische Polynome Darstellung des Potentials Approximation von Funktionen auf der Kugel Kugelflächenfunktion: homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche

47 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 47 Kugelfunktionen Approximation des Potentials Die Reihe konvergiert nur für r<1 Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: letzte Vorlesung Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: letzte Vorlesung Laplacesche Kugelflächenfunktionen Approximation des Potentials

48 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 48 Gravitationspotential der Erde

49 Torsten Mayer-Gürr Potential im Außenraum bezogen auf Einheitskugel r = 1 Potential im Außenraum bezogen auf Einheitskugel r = 1 18.04.2015 49 Gravitationspotential im Außenraum Numerische Probleme bei der Anwendung auf das Gravitationsfeld der Erde, z.B. wenn das Potential an der Erdoberfläche berechnet werden soll (r = 6378 km). Formel mit Erdradius R, Erdmasse M und Gravitationskonstante G => Koeffizienten sind einheitenlos und beziehen sich auf die Erdoberfläche. mit

50 Torsten Mayer-Gürr product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE data earth_gravity_constant 3.986004415e+14 radius 6378136.6 max_degree 180 key n m C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00 gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13 gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13 gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00 gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13 gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13 gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13 gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00 gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13 gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13 gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13 gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13 gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00 gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13... product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE data earth_gravity_constant 3.986004415e+14 radius 6378136.6 max_degree 180 key n m C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00 gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13 gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13 gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00 gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13 gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13 gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13 gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00 gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13 gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13 gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13 gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13 gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00 gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13... 18.04.2015 50 Gravitationsfeldlösung GM R R

51 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 51 icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/

52 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 52 icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/

53 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 53 Anwendung: Gravitationsfeldbestimmung

54 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 54 CHAMP

55 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 55 Bahnbestimmung GPS Antenne

56 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 56 Bahnenergie Bahnenergie bei Keplerbahnen Kinetische Energie Potentielle Energie Konstante Gesamtenergie Potential einer Punktmasse Umstellen Kinetische Energie: -Geschwindigkeit aus GPS abgeleitet -Korrigiert um Reibungskräfte (Akzelerometer) -Korrigiert um Gezeitenkräfte von Sonne und Mond (später in der Vorlesung) -Zentrifugalkräfte (Details in der Mastervorlesung Advanced Satellite Geodesy) Kinetische Energie: -Geschwindigkeit aus GPS abgeleitet -Korrigiert um Reibungskräfte (Akzelerometer) -Korrigiert um Gezeitenkräfte von Sonne und Mond (später in der Vorlesung) -Zentrifugalkräfte (Details in der Mastervorlesung Advanced Satellite Geodesy) Allgemeines Gravitationspotential  Berechnung des Gravitationspotentials entlang der Satellitenbahn

57 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 57 Beobachtungsgleichungen Gauß-Markoff Modell

58 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 58 Quellendarstellung: Zusammenhang von Dichteverteilung und Potentialkoeffizienten Quellendarstellung: Zusammenhang von Dichteverteilung und Potentialkoeffizienten

59 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 59 Quellendarstellung Aufpunkt Quellpunkt Distanz Zwischenwinkel Reihenentwicklung der reziproken Distanz Gravitationspotential aus Dichteverteilung Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen

60 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 60 Quellendarstellung Gravitationspotential aus Dichteverteilung

61 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 61 Quellendarstellung Gravitationspotential im Außenraum einer Massenverteilung Gravitationspotential im Außenraum als Kugelfunktionsreihe Durch Koeffizientenvergleich folgt

62 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 62 Quellendarstellung Gravitationspotential im Außenraum einer Massenverteilung Reihenentwicklung mit Reihenentwicklung mit Alternative Darstellung mit Alternative Darstellung mit

63 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 63 Physikalische Interpretation

64 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 64 Physikalische Interpretation Gravitationspotential mit den Koeffizienten Gravitationspotential mit den Koeffizienten Normierte Basisfunktionen Beispiel n=0, m=0

65 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 65 Physikalische Interpretation Gravitationspotential mit den Koeffizienten Gravitationspotential mit den Koeffizienten Normierte Basisfunktionen Beispiel n=1, m=0

66 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 66 Physikalische Interpretation Gravitationspotential mit den Koeffizienten Gravitationspotential mit den Koeffizienten Normierte Basisfunktionen Beispiel n=1, m=0

67 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 67 Physikalische Interpretation Gesamtmasse Massenmittelpunkt Trägheitstensor

68 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 68 Physikalische Interpretation Gesamtmasse Massenmittelpunkt Trägheitstensor falls Gesamtmasse = M Massenmittelpunkt Abplattung Äquatorabplattung Abplattung Äquatorabplattung Deviationsmomente

69 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 69 Koeffizientendreieck Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m

70 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 70 Koeffizientendreieck Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m Gesamtmasse Kugel, Keplerterm Gesamtmasse Kugel, Keplerterm

71 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 71 Koeffizientendreieck Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m Massenzentrum

72 Torsten Mayer-Gürr 18.04.2015 72 Koeffizientendreieck Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m Trägheitsachsen (Rotation) Trägheitsachsen (Rotation)

73 Torsten Mayer-Gürr product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE data earth_gravity_constant 3.986004415e+14 radius 6378136.6 max_degree 180 key n m C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00 gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13 gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13 gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00 gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13 gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13 gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13 gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00 gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13 gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13 gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13 gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13 gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00 gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13... product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE data earth_gravity_constant 3.986004415e+14 radius 6378136.6 max_degree 180 key n m C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00 gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13 gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13 gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00 gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13 gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13 gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13 gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00 gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13 gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13 gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13 gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13 gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00 gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13... 18.04.2015 73 Gravitationsfeldlösung


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