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1 Vorlesung vom 14. Dezember 2006 Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II Torsten Mayer-Gürr Vorlesung vom 14. Dezember 2006 Astronomisch,

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1 1 Vorlesung vom 14. Dezember 2006 Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II Torsten Mayer-Gürr Vorlesung vom 14. Dezember 2006 Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II Torsten Mayer-Gürr Das freie Randwertproblem von Stokes

2 2 Beobachtungsgleichungen Geoidundulationen (Formel von Bruns) Schwereanomalien (Fundamentalgleichung) Schwerestörungen: Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)

3 3 Weitere Beobachtungsgleichungen Geoidundulationen (Formel von Bruns) Schwereanomalien (Fundamentalgleichung) Schwerestörungen: Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)

4 4 Die spektralen Beziehungen der Funktionale des Störpotentials (Gradvarianzen)

5 5 Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten

6 6 Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten

7 7 Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten

8 8 Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten

9 9 Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten

10 10 Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten

11 11 Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten

12 12 Kugelflächenfunktionen Grad n = 4 Grad n = 20 Grad n = 40

13 13 Auflösung Störpotential mit den Basisfunktionen Störpotential mit den Basisfunktionen - Erdumfang am Äquator: U = km - Ordung m hat m Schwingungen entlang des Äquators - Wellenlänge: - Auflösung (halbe Wellenlänge): Beispiel für - Erdumfang am Äquator: U = km - Ordung m hat m Schwingungen entlang des Äquators - Wellenlänge: - Auflösung (halbe Wellenlänge): Beispiel für

14 14 Schwereanomalien Glatt Rau Geoid Gravitationsgradient

15 15 Varianz des Störpotentials: Signalgehalt Anbringen von Flächengewichten: Übergang auf das Integral:

16 16 Signalgehalt Störpotential: Varianz des Störpotentials: Einsetzten unter Ausnutzung der Orthogonalität der Kugelflächenfunktionen

17 17 Signalgehalt Varianz des Störpotentials: Für vollständig normierte Kugelflächenfunktionen gilt: Varianz des Störpotentials:

18 18 Signalgehalt Störpotential

19 19 Signalgehalt Geoidundulationen Schwerestörungen Schwereanomalien Gravitationsgradient Störpotential

20 20 Gradvarianzen [m] Geoid: EGM96 - GRS80

21 21 Gradvarianzen [m] Geoid: EGM96 - GRS80 Kaula

22 22 Gradvarianzen [m] Geoid: EGM96 - GRS80

23 23 Gradvarianzen [m] Geoid: EGM96 - GRS80 Anomalien: EGM96 - GRS80 [mGal]

24 24 Gradvarianzen [m] Geoid: EGM96 - GRS80 Anomalien: EGM96 - GRS80 [mGal]

25 25 Meissel-Schema

26 26 Meissel-Schema

27 27 Meissel-Schema

28 28 Meissel-Schema

29 29 Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)

30 30 Gradvarianzen : Erdoberfläche (0 km)

31 31 Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)

32 32 Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)

33 33 Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)

34 34 Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)

35 35 Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)

36 36 Vorteile der Kugelfunktionen: - Einfache Beobachtungsgleichungen - Fortsetzung nach oben/unten ist leicht - Direkte Umrechnung in die verschiedenen Funktionale (Geoidundulationen, Schwereanomalien) Vorteile der Kugelfunktionen: - Einfache Beobachtungsgleichungen - Fortsetzung nach oben/unten ist leicht - Direkte Umrechnung in die verschiedenen Funktionale (Geoidundulationen, Schwereanomalien) Kugelfunktionen Nachteile der Kugelfunktionen: - Kugelfunktionen sind global - Beobachtungen müssen global und gleichmäßig verteilt sein - Sehr hohe Auflösungen sind praktisch nicht zu realisieren Nachteile der Kugelfunktionen: - Kugelfunktionen sind global - Beobachtungen müssen global und gleichmäßig verteilt sein - Sehr hohe Auflösungen sind praktisch nicht zu realisieren

37 37 Beispiel Deutschland - Punktabstand: 10 km - Entspricht einer Kugelfunktionsentwicklung von n = m = Anzahl der unbekannten Koeffizienten: ca Größe der Normagleichungsmatrix: ca. 128 TeraByte - Sind die Daten in dieser Auflösung nicht global gegeben, ist das Gleichungssystem nicht lösbar - Punktabstand: 10 km - Entspricht einer Kugelfunktionsentwicklung von n = m = Anzahl der unbekannten Koeffizienten: ca Größe der Normagleichungsmatrix: ca. 128 TeraByte - Sind die Daten in dieser Auflösung nicht global gegeben, ist das Gleichungssystem nicht lösbar

38 38 Alternative Schwerefelddarstellungen

39 39 Sphärische Splines Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen Lokale Basisfunktionen: Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen Lokale Basisfunktionen: Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest

40 40 Sphärische Splines Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen Lokale Basisfunktionen: Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen Lokale Basisfunktionen: Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest

41 41 Sphärische Splines Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen Lokale Basisfunktionen: Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen Lokale Basisfunktionen: Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest

42 42 Alternative Schwerefelddarstellungen Repräsentation des Schwerefeldes: - Kugelfunktionen - Sphärische Splines - Wavelets - Punktmassen (Mascons) - Blockmittelwerte - Direkte Lösung (Integralgleichung) Repräsentation des Schwerefeldes: - Kugelfunktionen - Sphärische Splines - Wavelets - Punktmassen (Mascons) - Blockmittelwerte - Direkte Lösung (Integralgleichung)

43 43 Direkte Lösung der freien Randwertaufgabe

44 44 Randwertaufgaben der Potentialtheorie Gesucht ist das (Stör-)potential im Außenraum - gemessenen sind Funktionale auf der Kugeloberfläche - Das Potential ist harmonisch (quellenfrei) im Außenraum - Das Potential ist regulär im Unendlichen Gesucht ist das (Stör-)potential im Außenraum - gemessenen sind Funktionale auf der Kugeloberfläche - Das Potential ist harmonisch (quellenfrei) im Außenraum - Das Potential ist regulär im Unendlichen 1. Randwertaufgabe 2. Randwertaufgabe 3. Randwertaufgabe 1. Randwertaufgabe 2. Randwertaufgabe 3. Randwertaufgabe

45 45 Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 3. Übergang auf die Randfläche 3. Übergang auf die Randfläche Randwertaufgaben der Potentialtheorie 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 2. Störpotential im Außenraum: 2. Störpotential im Außenraum:

46 46 Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 3. Übergang auf die Randfläche 3. Übergang auf die Randfläche Randwertaufgaben der Potentialtheorie 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen:

47 47 Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 3. Übergang auf die Randfläche 3. Übergang auf die Randfläche Randwertaufgaben der Potentialtheorie 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 4. Koeffizientenvergleich 5. Einsetzen

48 48 Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 4. Übergang auf die Randfläche 4. Übergang auf die Randfläche 3. Beobachtungsgleichung Randwertaufgaben der Potentialtheorie 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 2. Störpotential im Außenraum: 2. Störpotential im Außenraum:

49 49 Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 4. Übergang auf die Randfläche 4. Übergang auf die Randfläche Randwertaufgaben der Potentialtheorie 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen:

50 50 Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 4. Übergang auf die Randfläche 4. Übergang auf die Randfläche Randwertaufgaben der Potentialtheorie 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 4. Koeffizientenvergleich 5. Einsetzen

51 51 Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 3. Beobachtungsgleichung Randwertaufgaben der Potentialtheorie 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 2. Störpotential im Außenraum: 2. Störpotential im Außenraum: 4. Übergang auf die Randfläche 4. Übergang auf die Randfläche

52 52 Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 4. Übergang auf die Randfläche 4. Übergang auf die Randfläche Randwertaufgaben der Potentialtheorie 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 4. Koeffizientenvergleich 5. Einsetzen

53 53 Lösung der 3. Randwertaufgabe: mit dem Stokes-Pizetti-Kern Lösung der 2. Randwertaufgabe: mit dem Hotine-Kern Randwertaufgaben der Potentialtheorie Lösung der 1. Randwertaufgabe: mit dem Abel-Poisson-Kern

54 54 Stokes-Pizetti-Kern: Hotine-Kern: Randwertaufgaben der Potentialtheorie Abel-Poisson-Kern:

55 55


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