Das freie Randwertproblem von Stokes

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1 Das freie Randwertproblem von Stokes
Vorlesung vom 14. Dezember 2006 Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II Torsten Mayer-Gürr

2 Beobachtungsgleichungen
Geoidundulationen (Formel von Bruns) Schwereanomalien (Fundamentalgleichung) Schwerestörungen: Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)

3 Weitere Beobachtungsgleichungen
Geoidundulationen (Formel von Bruns) Schwereanomalien (Fundamentalgleichung) Schwerestörungen: Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)

4 Die spektralen Beziehungen der Funktionale des Störpotentials (Gradvarianzen)

5 Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

6 Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

7 Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

8 Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

9 Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

10 Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

11 Approximation durch Kugelfunktionen
Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

12 Kugelflächenfunktionen
Grad n = 4 Grad n = 20 Grad n = 40

13 Auflösung Störpotential mit den Basisfunktionen
- Erdumfang am Äquator: U = km - Ordung m hat m Schwingungen entlang des Äquators - Wellenlänge: - Auflösung (halbe Wellenlänge): Beispiel für

14 Gravitationsgradient
Glatt <--> Rau Geoid Schwereanomalien Gravitationsgradient

15 Signalgehalt Varianz des Störpotentials:
Anbringen von Flächengewichten: Übergang auf das Integral:

16 Signalgehalt Störpotential: Varianz des Störpotentials:
Einsetzten unter Ausnutzung der Orthogonalität der Kugelflächenfunktionen

17 Signalgehalt Varianz des Störpotentials:
Für vollständig normierte Kugelflächenfunktionen gilt: Varianz des Störpotentials:

18 Signalgehalt Störpotential

19 Signalgehalt Störpotential Geoidundulationen Schwerestörungen
Schwereanomalien Gravitationsgradient

20 Gradvarianzen [m] Geoid: EGM96 - GRS80

21 Gradvarianzen [m] Geoid: EGM96 - GRS80 Kaula

22 Gradvarianzen [m] Geoid: EGM96 - GRS80

23 Gradvarianzen Anomalien: EGM96 - GRS80 [mGal] [m] Geoid: EGM96 - GRS80

24 Gradvarianzen Anomalien: EGM96 - GRS80 [mGal] [m] Geoid: EGM96 - GRS80

25 Meissel-Schema

26 Meissel-Schema

27 Meissel-Schema

28 Meissel-Schema

29 Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)

30 Gradvarianzen : Erdoberfläche (0 km)

31 Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)

32 Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)

33 Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)

34 Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)

35 Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)

36 Kugelfunktionen Vorteile der Kugelfunktionen:
- Einfache Beobachtungsgleichungen - Fortsetzung nach oben/unten ist leicht - Direkte Umrechnung in die verschiedenen Funktionale (Geoidundulationen, Schwereanomalien) Nachteile der Kugelfunktionen: - Kugelfunktionen sind global - Beobachtungen müssen global und gleichmäßig verteilt sein - Sehr hohe Auflösungen sind praktisch nicht zu realisieren

37 Beispiel Deutschland Punktabstand: 10 km
Entspricht einer Kugelfunktionsentwicklung von n = m = 2.000 Anzahl der unbekannten Koeffizienten: ca Größe der Normagleichungsmatrix: ca. 128 TeraByte - Sind die Daten in dieser Auflösung nicht global gegeben, ist das Gleichungssystem nicht lösbar

38 Alternative Schwerefelddarstellungen

39 Sphärische Splines Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen Lokale Basisfunktionen: Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest

40 Sphärische Splines Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen Lokale Basisfunktionen: Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest

41 Sphärische Splines Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen Lokale Basisfunktionen: Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest

42 Alternative Schwerefelddarstellungen
Repräsentation des Schwerefeldes: Kugelfunktionen Sphärische Splines Wavelets Punktmassen (Mascons) Blockmittelwerte Direkte Lösung (Integralgleichung)

43 Direkte Lösung der freien Randwertaufgabe

44 Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Gesucht ist das (Stör-)potential im Außenraum gemessenen sind Funktionale auf der Kugeloberfläche Das Potential ist harmonisch (quellenfrei) im Außenraum Das Potential ist regulär im Unendlichen 1. Randwertaufgabe 2. Randwertaufgabe 3. Randwertaufgabe

45 Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 2. Störpotential im Außenraum: 3. Übergang auf die Randfläche

46 Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 3. Übergang auf die Randfläche

47 Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 3. Übergang auf die Randfläche 4. Koeffizientenvergleich 5. Einsetzen

48 Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 2. Störpotential im Außenraum: 3. Beobachtungsgleichung 4. Übergang auf die Randfläche

49 Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 4. Übergang auf die Randfläche

50 Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 4. Übergang auf die Randfläche 4. Koeffizientenvergleich 5. Einsetzen

51 Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 2. Störpotential im Außenraum: 3. Beobachtungsgleichung 4. Übergang auf die Randfläche

52 Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 4. Übergang auf die Randfläche 4. Koeffizientenvergleich 5. Einsetzen

53 Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Lösung der 1. Randwertaufgabe: mit dem Abel-Poisson-Kern Lösung der 2. Randwertaufgabe: mit dem Hotine-Kern Lösung der 3. Randwertaufgabe: mit dem Stokes-Pizetti-Kern

54 Randwertaufgaben der Potentialtheorie
Abel-Poisson-Kern: Hotine-Kern: Stokes-Pizetti-Kern:

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