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Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker Kugelfunktionen.

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Präsentation zum Thema: "Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker Kugelfunktionen."—  Präsentation transkript:

1 Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker Kugelfunktionen

2 Annette EickerAPMG 1 2 19.01.2014 Wiederholung: Gravitationspotential Potential Aufpunkt:Quellpunkt: Feldstärke Wir haben diese Integrale gelöst KugelHohlkugel Kugeloberfläche (für einfache Körper)

3 Annette EickerAPMG 1 3 19.01.2014 Kugel mit homogener Dichteverteilung z z z

4 Annette EickerAPMG 1 4 19.01.2014 Hohlkugel mit homogener Dichteverteilung z z z

5 Annette EickerAPMG 1 5 19.01.2014 Potential im Außenraum Gesamtmasse Direktes Problem: Das Gravitationspotential ist durch eine gegebene Massenverteilung eindeutig bestimmt Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schließen.

6 Annette EickerAPMG 1 6 19.01.2014 Massenverteilung und Potential Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schließen. Annahme: Massenveränderungen erfolgen nur auf der Erdoberfläche, Annahme einer dünnen Schicht In diesem Fall ist das inverse Problem eindeutig. Feldstärke Potential mit der Flächendichte

7 Annette EickerAPMG 1 7 19.01.2014 Kugeloberfläche mit konstanter Flächendichte z z z

8 Annette EickerAPMG 1 8 19.01.2014 Divergenz der Gravitationsfeldstärke Divergenz und Laplaceoperator Die Gravitationsfeldstärke lässt sich durch Gradientenbildung aus dem Potential bestimmen Laplaceoperator Mit Hilfe des Laplaceoperators lassen sich die Quellen des Gravitationsfeldes bestimmen

9 Annette EickerAPMG 1 9 19.01.2014 Laplace- und Poissongleichung Für beliebige Massenanordnungen gilt: Außerhalb der Massen: Laplacegleichung Außerhalb der Massen: Laplacegleichung Innerhalb der Massen: Poissongleichung Innerhalb der Massen: Poissongleichung Funktionen, die die Laplacegleichung erfüllen, nennt man harmonische Funktionen.

10 Annette EickerAPMG 1 10 19.01.2014 Gaußscher Integralsatz Integration aller Quellen eines Volumens = Integraler Fluss durch die Oberfläche Anwendung auf das Gravitationsfeld Gaußsche Formel

11 Annette EickerAPMG 1 11 19.01.2014 Repräsentation des Gravitationspotentials (Kugelfunktionen) Repräsentation des Gravitationspotentials (Kugelfunktionen)

12 Annette EickerAPMG 1 12 19.01.2014 Bisher: Für einfache Körper lassen sich auch einfache Formeln angeben. KugelHohlkugel Kugeloberfläche Jetzt: Für die reale Erde lässt sich das Schwerefeld nicht so leicht beschreiben…

13 Annette EickerAPMG 1 13 19.01.2014 Gravitationspotential product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE data earth_gravity_constant 3.986004415e+14 radius 6378136.6 max_degree 180 key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00 gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13 gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13 gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00 gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13 gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13 gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13 gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00 gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13 gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13 gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13 gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13 gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00 gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13... product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE data earth_gravity_constant 3.986004415e+14 radius 6378136.6 max_degree 180 key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00 gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13 gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13 gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00 gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13 gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13 gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13 gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00 gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13 gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13 gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13 gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13 gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00 gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13... Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern? - Benötigt wird das gesamte Feld im Außenraum (Werte auf der Erdoberfläche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond) Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern? - Benötigt wird das gesamte Feld im Außenraum (Werte auf der Erdoberfläche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond)

14 Annette EickerAPMG 1 14 19.01.2014 Approximation Beispiel: Bestimmung der Temperaturabhängigkeit eines EDMs x y Approximation durch ein Polynom Vorteile: - Es müssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden. - Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden. Approximation durch ein Polynom Vorteile: - Es müssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden. - Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden.

15 Annette EickerAPMG 1 15 19.01.2014 Approximation Approximation des Potentials durch räumliche Polynome Gruppierung in Polynome mit homogenem Grad n Homogenes Polynom vom Grad n Beispiel: Homogenes Polynom vom Grad 5

16 Annette EickerAPMG 1 16 19.01.2014 Homogene Polynome Homogenes Polynom vom Grad n Es gilt: Beweis: Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n Beispiel: n=2 Beispiel: n=2 Polynome:

17 Annette EickerAPMG 1 17 19.01.2014 Homogene harmonische Polynome Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 Wie viele Basisfunktionen gibt es?

18 Annette EickerAPMG 1 18 19.01.2014 Homogene harmonische Polynome Satz: Der Laplace Operator angewendet auf ein homogenes Polynom h n liefert ein homogenes Polynom vom Grad n-2 Es gibt 2n+1 linear unabhängige harmonische homogene Polynome H nm von Grad n Beweis Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n Das Ergebnis der Laplace Operation ist durch linear unabhängige homogene Polynome von Grad n-2 eindeutig bestimmt. Es verbleiben linear unabhängige homogene harmonische Polynome. Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n Das Ergebnis der Laplace Operation ist durch linear unabhängige homogene Polynome von Grad n-2 eindeutig bestimmt. Es verbleiben linear unabhängige homogene harmonische Polynome.

19 Annette EickerAPMG 1 19 19.01.2014 Homogene harmonische Polynome Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 oder wenn man negative Indizies einführt: Grad n Ordnung m

20 Annette EickerAPMG 1 20 19.01.2014 Kugelflächenfunktionen Sphärische Polarkoordinaten homogene harmonische Polynome Darstellung des Potentials Approximation von Funktionen auf der Kugel Kugelflächenfunktion: homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche

21 Annette EickerAPMG 1 21 19.01.2014 Approximation durch Kugelflächenfunktionen

22 Annette EickerAPMG 1 22 19.01.2014 Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

23 Annette EickerAPMG 1 23 19.01.2014 Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

24 Annette EickerAPMG 1 24 19.01.2014 Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

25 Annette EickerAPMG 1 25 19.01.2014 Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

26 Annette EickerAPMG 1 26 19.01.2014 Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

27 Annette EickerAPMG 1 27 19.01.2014 Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

28 Annette EickerAPMG 1 28 19.01.2014 Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 425 881 16289 30961 603721 12014641 24058081

29 Annette EickerAPMG 1 29 19.01.2014 Kugelfunktionen Approximation des Potentials Laplacesche Kugelflächenfunktionen Die Reihe konvergiert nur für r<1 Approximation des Potentials Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien

30 Annette EickerAPMG 1 30 19.01.2014 Laplace Operator Laplace und Beltrami Operator Laplace Operator in sphärischen Koordinaten Beltrami Operator (Laplace Operator beschränkt auf die Kugeloberfläche)

31 Annette EickerAPMG 1 31 19.01.2014 Kugelfunktionen Approximation des Potentials Die Reihe konvergiert nur für r<1 Approximation des Potentials Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien Wir wissen, dass die Laplacegleichung hierfür gilt Wir wissen, dass die Laplacegleichung hierfür gilt Ziel: zeigen, dass dann die Laplacegleichung auch dafür gilt!

32 Annette EickerAPMG 1 32 19.01.2014 Laplace Operator Laplace und Beltrami Operator

33 Annette EickerAPMG 1 33 19.01.2014 Kugelfunktionen Approximation des Potentials für r<1 Laplacesche Kugelflächenfunktionen Approximation des Potentials für r>1 Kugelflächenfunktionen

34 Annette EickerAPMG 1 34 19.01.2014 Herleitung der Kugelfunktionen über die Lösung der Laplacegleichung

35 Annette EickerAPMG 1 35 19.01.2014 Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung Lösung der Laplace Gleichung Annahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz In die Laplacegleichung eingesetzt: Beltrami Operator

36 Annette EickerAPMG 1 36 19.01.2014 Lösung der Laplace Gleichung Die linke Seite hängt nur von r ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Die linke Seite hängt nur von r ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Linke Seite: DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen Rechte Seite:

37 Annette EickerAPMG 1 37 19.01.2014 Lösung der Laplace Gleichung Rechte Seite: Annahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz Beltrami Operator eingesetzt:

38 Annette EickerAPMG 1 38 19.01.2014 Linke Seite: Lösung der Laplace Gleichung Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Rechte Seite: DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Polynome

39 Annette EickerAPMG 1 39 19.01.2014 DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen Linke Seite: Lösung der Laplace Gleichung Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Rechte Seite: Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Polynome

40 Annette EickerAPMG 1 40 19.01.2014 Lösung der Laplace Gleichung Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung Spezielle Lösung mit Spezielle Lösung mit Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination aller Lösungen Vergleich: Fourier-Reihe Kugelfunktionsentwicklung kann man interpretieren als 2D Fourier- Reihe auf der Kugel


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