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Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker Kugelfunktionen.

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Präsentation zum Thema: "Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker Kugelfunktionen."—  Präsentation transkript:

1 Annette EickerAPMG Annette Eicker Kugelfunktionen

2 Annette EickerAPMG Wiederholung: Gravitationspotential Potential Aufpunkt:Quellpunkt: Feldstärke Wir haben diese Integrale gelöst KugelHohlkugel Kugeloberfläche (für einfache Körper)

3 Annette EickerAPMG Kugel mit homogener Dichteverteilung z z z

4 Annette EickerAPMG Hohlkugel mit homogener Dichteverteilung z z z

5 Annette EickerAPMG Potential im Außenraum Gesamtmasse Direktes Problem: Das Gravitationspotential ist durch eine gegebene Massenverteilung eindeutig bestimmt Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schließen.

6 Annette EickerAPMG Massenverteilung und Potential Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schließen. Annahme: Massenveränderungen erfolgen nur auf der Erdoberfläche, Annahme einer dünnen Schicht In diesem Fall ist das inverse Problem eindeutig. Feldstärke Potential mit der Flächendichte

7 Annette EickerAPMG Kugeloberfläche mit konstanter Flächendichte z z z

8 Annette EickerAPMG Divergenz der Gravitationsfeldstärke Divergenz und Laplaceoperator Die Gravitationsfeldstärke lässt sich durch Gradientenbildung aus dem Potential bestimmen Laplaceoperator Mit Hilfe des Laplaceoperators lassen sich die Quellen des Gravitationsfeldes bestimmen

9 Annette EickerAPMG Laplace- und Poissongleichung Für beliebige Massenanordnungen gilt: Außerhalb der Massen: Laplacegleichung Außerhalb der Massen: Laplacegleichung Innerhalb der Massen: Poissongleichung Innerhalb der Massen: Poissongleichung Funktionen, die die Laplacegleichung erfüllen, nennt man harmonische Funktionen.

10 Annette EickerAPMG Gaußscher Integralsatz Integration aller Quellen eines Volumens = Integraler Fluss durch die Oberfläche Anwendung auf das Gravitationsfeld Gaußsche Formel

11 Annette EickerAPMG Repräsentation des Gravitationspotentials (Kugelfunktionen) Repräsentation des Gravitationspotentials (Kugelfunktionen)

12 Annette EickerAPMG Bisher: Für einfache Körper lassen sich auch einfache Formeln angeben. KugelHohlkugel Kugeloberfläche Jetzt: Für die reale Erde lässt sich das Schwerefeld nicht so leicht beschreiben…

13 Annette EickerAPMG Gravitationspotential product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from to of GRACE data earth_gravity_constant e+14 radius max_degree 180 key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from to of GRACE data earth_gravity_constant e+14 radius max_degree 180 key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern? - Benötigt wird das gesamte Feld im Außenraum (Werte auf der Erdoberfläche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond) Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern? - Benötigt wird das gesamte Feld im Außenraum (Werte auf der Erdoberfläche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond)

14 Annette EickerAPMG Approximation Beispiel: Bestimmung der Temperaturabhängigkeit eines EDMs x y Approximation durch ein Polynom Vorteile: - Es müssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden. - Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden. Approximation durch ein Polynom Vorteile: - Es müssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden. - Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden.

15 Annette EickerAPMG Approximation Approximation des Potentials durch räumliche Polynome Gruppierung in Polynome mit homogenem Grad n Homogenes Polynom vom Grad n Beispiel: Homogenes Polynom vom Grad 5

16 Annette EickerAPMG Homogene Polynome Homogenes Polynom vom Grad n Es gilt: Beweis: Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n Beispiel: n=2 Beispiel: n=2 Polynome:

17 Annette EickerAPMG Homogene harmonische Polynome Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 Wie viele Basisfunktionen gibt es?

18 Annette EickerAPMG Homogene harmonische Polynome Satz: Der Laplace Operator angewendet auf ein homogenes Polynom h n liefert ein homogenes Polynom vom Grad n-2 Es gibt 2n+1 linear unabhängige harmonische homogene Polynome H nm von Grad n Beweis Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n Das Ergebnis der Laplace Operation ist durch linear unabhängige homogene Polynome von Grad n-2 eindeutig bestimmt. Es verbleiben linear unabhängige homogene harmonische Polynome. Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n Das Ergebnis der Laplace Operation ist durch linear unabhängige homogene Polynome von Grad n-2 eindeutig bestimmt. Es verbleiben linear unabhängige homogene harmonische Polynome.

19 Annette EickerAPMG Homogene harmonische Polynome Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 oder wenn man negative Indizies einführt: Grad n Ordnung m

20 Annette EickerAPMG Kugelflächenfunktionen Sphärische Polarkoordinaten homogene harmonische Polynome Darstellung des Potentials Approximation von Funktionen auf der Kugel Kugelflächenfunktion: homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche

21 Annette EickerAPMG Approximation durch Kugelflächenfunktionen

22 Annette EickerAPMG Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

23 Annette EickerAPMG Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

24 Annette EickerAPMG Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

25 Annette EickerAPMG Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

26 Annette EickerAPMG Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

27 Annette EickerAPMG Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

28 Annette EickerAPMG Approx. durch Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

29 Annette EickerAPMG Kugelfunktionen Approximation des Potentials Laplacesche Kugelflächenfunktionen Die Reihe konvergiert nur für r<1 Approximation des Potentials Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien

30 Annette EickerAPMG Laplace Operator Laplace und Beltrami Operator Laplace Operator in sphärischen Koordinaten Beltrami Operator (Laplace Operator beschränkt auf die Kugeloberfläche)

31 Annette EickerAPMG Kugelfunktionen Approximation des Potentials Die Reihe konvergiert nur für r<1 Approximation des Potentials Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien Wir wissen, dass die Laplacegleichung hierfür gilt Wir wissen, dass die Laplacegleichung hierfür gilt Ziel: zeigen, dass dann die Laplacegleichung auch dafür gilt!

32 Annette EickerAPMG Laplace Operator Laplace und Beltrami Operator

33 Annette EickerAPMG Kugelfunktionen Approximation des Potentials für r<1 Laplacesche Kugelflächenfunktionen Approximation des Potentials für r>1 Kugelflächenfunktionen

34 Annette EickerAPMG Herleitung der Kugelfunktionen über die Lösung der Laplacegleichung

35 Annette EickerAPMG Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung Lösung der Laplace Gleichung Annahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz In die Laplacegleichung eingesetzt: Beltrami Operator

36 Annette EickerAPMG Lösung der Laplace Gleichung Die linke Seite hängt nur von r ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Die linke Seite hängt nur von r ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Linke Seite: DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen Rechte Seite:

37 Annette EickerAPMG Lösung der Laplace Gleichung Rechte Seite: Annahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz Beltrami Operator eingesetzt:

38 Annette EickerAPMG Linke Seite: Lösung der Laplace Gleichung Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Rechte Seite: DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Polynome

39 Annette EickerAPMG DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen Linke Seite: Lösung der Laplace Gleichung Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Rechte Seite: Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Polynome

40 Annette EickerAPMG Lösung der Laplace Gleichung Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung Spezielle Lösung mit Spezielle Lösung mit Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination aller Lösungen Vergleich: Fourier-Reihe Kugelfunktionsentwicklung kann man interpretieren als 2D Fourier- Reihe auf der Kugel


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