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Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Seminar Stringtheorie und Geometrische Methoden der Physik Elliptische Funktionen Bayrischzell, 07.03.2005.

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1 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Seminar Stringtheorie und Geometrische Methoden der Physik Elliptische Funktionen Bayrischzell, –

2 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Gliederung 1. Einführung 2. Elliptische Funktionen 3. Die Weierstrasssche -Funktion

3 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Ausgangspunkt: Elliptische Integrale Berechnung der Länge von Ellipsenbögen Spezielles elliptisches Integral (seit 1718, G.C. Fagnano): Abel: Umkehrfunktion f ist meromorph fortsetzbar in ganz mit C Offensichtlicher reeller Periode Verborgener komplexer Periode Doppelt periodisch!

4 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Neuer Zugang zu elliptischen Integralen: Deren Eigenschaften lassen sich einfach aus funktionentheoretischen Eigenschaften der elliptischen Funktionen ableiten Weierstrass (1862/1863): Vorlesung mit rein funktionentheoretischer Einführung in die Theorie der elliptischen Funktionen Ausgangspunkt: -Funktion (spezielle elliptische Funktion) Genügt DifferentialgleichungGenügt Differentialgleichung Jede elliptische Funktion darstellbar als rationale Funktion in undJede elliptische Funktion darstellbar als rationale Funktion in und

5 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Elliptische Funktionen

6 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Definition: Eine Teilmenge L с heißt Gitter, wenn es zwei R- linear unabhängige Vektoren ω 1 und ω 2 in gibt, so dass gilt: C C ReIm ω1ω1ω1ω1 ω2ω2ω2ω2 ω1+ω2ω1+ω2ω1+ω2ω1+ω2 -ω1-ω1-ω1-ω1 -ω2-ω2-ω2-ω2

7 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Definition: Eine elliptische Funktion zum Gitter L ist eine meromorphe Funktion mit der Eigenschaft Bezeichnung: doppelt periodischBezeichnung: doppelt periodisch Mengen der Null- und Polstellen sind selbst periodisch:Mengen der Null- und Polstellen sind selbst periodisch:

8 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion ReIm ω1ω1ω1ω1 ω2ω2ω2ω2 ω1+ω2ω1+ω2ω1+ω2ω1+ω2 Der Periodentorus Gesamte Information über eine elliptische Funktion ist in der Grundmasche codiert Geometrisches Modell: ω1ω1ω1ω1 ω2ω2ω2ω2 ω1+ω2ω1+ω2ω1+ω2ω1+ω2 0 a a b b a b b ab

9 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Definition: Die Ordnung einer elliptischen Funktion ist die Anzahl aller Pole auf dem Periodentorus, wobei jeder Pol so oft gezählt wird, wie seine Vielfachheit angibt Dabei: f hat in a einen Pol der Vielfachheit n Satz: Es gibt keine elliptische Funktion der Ordnung 1

10 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Die Weierstrasssche -Funktion Die Weierstrasssche - -Funktion

11 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Gesucht: Möglichst einfaches Beispiel einer elliptischen Funktion Ord(f) = 1 Ord(f)= 2 Einen Pol 2. Ordnung Zwei Pole 1.Ordnung Konstruiere elliptische Funktion zweiter Ordnung, die in 0 einen Pol zweiter Ordnung besitzt! Folgerung: Auch jeder andere Pol muss dann Gitterpunkt sein!

12 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Denkbarer Ansatz: Problem: Keine absolute Konvergenz! Beweis: Für z=0, L=Z+Zi, gilt für ω=m+ni: 1. Hilfssatz: Die Reihe konvergiert dann und nur dann, wenn > 1 ist

13 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion 3. Hilfssatz: Sei M с L\{0} eine Menge von Gitterpunkten. Die Reihe konvergiert in C\M normal und stellt dort eine analytische Funktion dar. 2. Hilfssatz: Sei L с C ein Gitter. Die Reihe konvergiert für s>2. Idee (Weierstrass): Einführung von konvergenzerzeugenden Summanden

14 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion definierte Funktion heißt Weierstrasssche -Funktion zum Gitter L Definition (K.Weierstrass 1862/63): Die durch Abbildung: Die Weierstrasssche -Funktion und ihre Ableitung

15 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Satz: Eigenschaften der -Funktion zum Gitter L In ganz C meromorphIn ganz C meromorph Pole zweiter Ordnung in den GitterpunktenPole zweiter Ordnung in den Gitterpunkten Außerhalb von L analytischAußerhalb von L analytisch Gerade, alsoGerade, also Laurententwicklung um z 0 =0:Laurententwicklung um z 0 =0:

16 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Satz: Charakterisierung der -Funktion Die Weierstraßsche -Funktion ist eine elliptische Funktion der Ordnung 2 Ihre Ableitung ist eine elliptische Funktion der Ordnung 3 Ungerade:

17 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Satz: Nullstellen von : Ein Punkt a Є C ist genau dann eine Nullstelle von, falls gilt: Es gibt genau drei einfache Nullstellen auf C/L Nullstellen von : Halbwerte der -Funktion:

18 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Aussage: Die Umkehrung der -Funktion ist ein elliptisches Integral Theorie der elliptischen Integrale mitgeliefert Theorie der elliptischen Integrale mitgeliefert Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Herleitung der Differentialgleichung für die -Funktion Erinnerung: Laurentreihe der -Funktion Bestimmung der Koeffizienten mit Hilfe der Taylorschen Formel:

19 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Induktion nach n liefert für n>1: Und damit:

20 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Satz: Die Reihe konvergiert absolut, und es gilt: Eisenstein- reihen

21 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Zurück zur Differentialgleichung für die -Funktion Ziel: Stelle als Polynom in dar

22 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Elliptische Funktion ohne Pole Elliptische Funktionen ohne Pole sind Konstanten, diese muss in diesem Fall -140G 6 sein.

23 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Theorem: Algebraische Differentialgleichung der -Funktion

24 Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrasssche - -Funktion Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!


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