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Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker 17. November 2011 Das Keplerproblem (Teil 3)

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1 Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker 17. November 2011 Das Keplerproblem (Teil 3)

2 Annette EickerAPMG 1 2 19.01.2014 Wiederholung: Keplergesetze 3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. 3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. 1. Keplersches Gesetz: Die Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne im Brennpunkt 1. Keplersches Gesetz: Die Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne im Brennpunkt 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.

3 Annette EickerAPMG 1 3 19.01.2014 Wiederholung: Keplerelemente Perigäum Zeit: Form: Grosse Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit

4 Annette EickerAPMG 1 4 19.01.2014 Wiederholung: Keplerelemente Zeit: Form: Grosse Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit Lage: Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Argument des Perigäums Perigäum Knotenlinie

5 Annette EickerAPMG 1 5 19.01.2014 Wiederholung: Verlauf des Satelliten auf der Bahn Mittlere Anomalie Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten: Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt t oder - Perigäumsdurchgangszeit: Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten: Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt t oder - Perigäumsdurchgangszeit:

6 Annette EickerAPMG 1 6 Zwischenfazit 19.01.2014 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Keplerelemente Position, Geschwindigkeit

7 Annette EickerAPMG 1 7 Umrechnungen 19.01.2014 Keplerelemente Orts- und Geschwindigkeitsvektor Die Satellitenbewegung kann mit 6 Parametern beschrieben werden

8 Annette EickerAPMG 1 8 19.01.2014 Berechnung von Position und Geschwindigkeit aus den Keplerelementen

9 Annette EickerAPMG 1 9 19.01.2014 Position und Geschwindigkeit Exzentrische Anomalie Keplerelemente Mittlere Anomalie Diese Gleichung soll nach E aufgelöst werden! => Iteration notwendig Diese Gleichung soll nach E aufgelöst werden! => Iteration notwendig Iteration: Alle Winkel im Bogenmaß! Startwert: Iteration der Kepler-Gleichung:

10 Annette EickerAPMG 1 10 19.01.2014 Position und Geschwindigkeit Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie Abstand Keplerelemente Mittlere Anomalie Bahnsystem Position und Geschwindigkeit

11 Annette EickerAPMG 1 11 19.01.2014 Position und Geschwindigkeit Mittlere Anomalie Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie Bahnsystem Position und Geschwindigkeit Abstand Keplerelemente

12 Annette EickerAPMG 1 12 Umrechnungen 19.01.2014 Keplerelemente Orts- und Geschwindigkeitsvektor

13 Annette EickerAPMG 1 13 19.01.2014 Berechnung der Keplerelemente aus Position und Geschwindigkeit

14 Annette EickerAPMG 1 14 19.01.2014 Keplerelemente Gegeben: zum Zeitpunkt t

15 Annette EickerAPMG 1 15 19.01.2014 Keplerelemente Gegeben: zum Zeitpunkt t Exzentrizität Wir brauchen a!

16 Annette EickerAPMG 1 16 19.01.2014 Geschwindigkeit Große Halbachse a Geschwindigkeit

17 Annette EickerAPMG 1 17 19.01.2014 Exzentrizität Keplerelemente Gegeben: zum Zeitpunkt t Große Halbachse Keplerelemente: Inklination Rektaszension Argument des Perigäums Große Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit Keplerelemente: Inklination Rektaszension Argument des Perigäums Große Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit

18 Annette EickerAPMG 1 18 19.01.2014 Wahre Anomalie Abstand Geschwindigkeit Position

19 Annette EickerAPMG 1 19 19.01.2014 Exzentrizität Keplerelemente Gegeben: zum Zeitpunkt t Große Halbachse Wahre Anomalie Keplerelemente: Inklination Rektaszension Argument des Perigäums Große Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit Keplerelemente: Inklination Rektaszension Argument des Perigäums Große Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit

20 Annette EickerAPMG 1 20 19.01.2014 Exzentrische Anomalie

21 Annette EickerAPMG 1 21 19.01.2014 Exzentrizität Keplerelemente Wahre Anomalie Gegeben: zum Zeitpunkt t Große Halbachse Exzentrische Anomalie Perigäumsdurchgangszeit Mittlere Anomalie Keplerelemente: Inklination Rektaszension Argument des Perigäums Große Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit Keplerelemente: Inklination Rektaszension Argument des Perigäums Große Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit

22 Annette EickerAPMG 1 22 19.01.2014 Argument des Perigäums Knotenlinie Argument des Perigäums Knotenlinie Argument des Perigäums Perigäum Knotenlinie

23 Annette EickerAPMG 1 23 19.01.2014 Argument des Perigäums Knotenlinie Argument des Perigäums Knotenlinie Argument des Perigäums Perigäum P Q K Knotenlinie -Q Wir suchen immer noch, dafür fehlen jetzt noch P und Q.

24 Annette EickerAPMG 1 24 19.01.2014 Bahnsystem Position und Geschwindigkeit In Matrixform Inverse Transformation

25 Annette EickerAPMG 1 25 19.01.2014 Exzentrizität Keplerelemente Mittlere Anomalie Wahre Anomalie Gegeben: zum Zeitpunkt t Perigäumsdurchgangszeit Exzentrische Anomalie Große Halbachse Bahnsystem Arg. des Perigäums Knotenlinie

26 Annette EickerAPMG 1 26 19.01.2014 Erhaltungssätze

27 Annette EickerAPMG 1 27 -19.01.2014 (Linearer) Impuls Impuls und Drehimpuls Bewegungsgleichung (Bahn)Drehimpuls: Drehmoment: r K Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment Änderung des Impulses benötigt eine Kraft Impulserhaltung Drehimpulserhaltung Bis hierhin bereits bekannt => Es fehlt noch die Energieerhaltung Bis hierhin bereits bekannt => Es fehlt noch die Energieerhaltung

28 Annette EickerAPMG 1 28 19.01.2014 Energieerhaltung Bekannt: E=T+V=const. kinetische Energie potentielle Energie Animation

29 Annette EickerAPMG 1 29 19.01.2014 Energieerhaltung Bewegungsgleichung (Kinetische Energie) (nur vom Ort abh.) (entlang der Bahn) (Arbeit A) (längs der Kurve C) Ab jetzt: Sonderfall konservatives Kraftfeld

30 Annette EickerAPMG 1 30 19.01.2014 Was ist ein konservatives Kraftfeld?

31 Annette EickerAPMG 1 31 19.01.2014 Konservatives Kraftfeld Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: 1. Es existiert eine Potentialfunktion

32 Annette EickerAPMG 1 32 19.01.2014 Konservatives Kraftfeld Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: 1. Es existiert eine Potentialfunktion Die Gravitationskraft ist konservativ. Potentialfunktion: Gravitationspotential

33 Annette EickerAPMG 1 33 Potential 19.01.2014 Potential Höhe Feldstärke Steigung große Höhe, kaum Steigung große Höhe, kaum Steigung schnelle Höhenänderung, starke Steigung kleine Höhe, kaum Steigung kleine Höhe, kaum Steigung

34 Annette EickerAPMG 1 34 19.01.2014 1. Es existiert eine Potentialfunktion Konservatives Kraftfeld Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: 3. Das Feld ist wirbelfrei 2. Das Schleifenintegral verschwindet Die Arbeit ist wegunabhängig: 2. Das Schleifenintegral verschwindet Die Arbeit ist wegunabhängig: Die Bedingungen sind gleichwertig: => Aus einer Bed. folgen die anderen Die Bedingungen sind gleichwertig: => Aus einer Bed. folgen die anderen

35 Annette EickerAPMG 1 35 19.01.2014 1. Es existiert eine Potentialfunktion Konservatives Kraftfeld Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: 3. Das Feld ist wirbelfrei 2. Das Schleifenintegral verschwindet Die Arbeit ist wegunabhängig: 2. Das Schleifenintegral verschwindet Die Arbeit ist wegunabhängig: konservativ nicht konservativ

36 Annette EickerAPMG 1 36 19.01.2014 Energieerhaltung Bewegungsgleichung (Kinetische Energie) (nur vom Ort abh.) (entlang der Bahn) (Arbeit A) (längs der Kurve C)

37 Annette EickerAPMG 1 37 19.01.2014 Potentielle EnergiePotential potentielle Energie Gesamtenergie Die Gesamtenergie der Teilchen ist bei Einwirkung konservativer Kräfte zeitlich konstant


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