Das Keplerproblem (Teil 3)

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1 Das Keplerproblem (Teil 3)
Annette Eicker 17. November 2011

2 Wiederholung: Keplergesetze
1. Keplersches Gesetz: Die Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne im Brennpunkt 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

3 Wiederholung: Keplerelemente
Zeit: Perigäumsdurchgangszeit Form: Grosse Halbachse Exzentrizität Perigäum

4 Wiederholung: Keplerelemente
Zeit: Perigäumsdurchgangszeit Form: Perigäum Grosse Halbachse Exzentrizität Lage: Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Argument des Perigäums Knotenlinie

5 Wiederholung: Verlauf des Satelliten auf der Bahn
Mittlere Anomalie Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten: Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt t oder - Perigäumsdurchgangszeit:

6 Position, Geschwindigkeit
Zwischenfazit Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Position, Geschwindigkeit

7 Umrechnungen Keplerelemente Orts- und Geschwindigkeitsvektor
Die Satellitenbewegung kann mit 6 Parametern beschrieben werden

8 Berechnung von Position und Geschwindigkeit aus den Keplerelementen

9 Position und Geschwindigkeit
Keplerelemente Mittlere Anomalie Exzentrische Anomalie Startwert: Iteration der Kepler-Gleichung: Iteration: Alle Winkel im Bogenmaß! Diese Gleichung soll nach E aufgelöst werden! => Iteration notwendig

10 Position und Geschwindigkeit
Keplerelemente Mittlere Anomalie Bahnsystem Abstand Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie Position und Geschwindigkeit

11 Position und Geschwindigkeit
Keplerelemente Mittlere Anomalie Bahnsystem Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie Abstand Position und Geschwindigkeit

12 Orts- und Geschwindigkeitsvektor
Umrechnungen Keplerelemente Orts- und Geschwindigkeitsvektor

13 Berechnung der Keplerelemente aus Position und Geschwindigkeit

14 Keplerelemente Gegeben: zum Zeitpunkt t

15 Keplerelemente Gegeben: zum Zeitpunkt t Exzentrizität Wir brauchen a!

16 Große Halbachse a Geschwindigkeit Geschwindigkeit

17 Keplerelemente  Gegeben: zum Zeitpunkt t Große Halbachse
Exzentrizität Keplerelemente: Inklination Rektaszension Argument des Perigäums Große Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit 

18 Wahre Anomalie Abstand Geschwindigkeit Position

19 Keplerelemente  Gegeben: zum Zeitpunkt t Große Halbachse
Exzentrizität Wahre Anomalie Keplerelemente: Inklination Rektaszension Argument des Perigäums Große Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit 

20 Exzentrische Anomalie

21 Keplerelemente   Gegeben: zum Zeitpunkt t Große Halbachse
Exzentrizität Keplerelemente: Inklination Rektaszension Argument des Perigäums Große Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit  Wahre Anomalie  Exzentrische Anomalie Perigäumsdurchgangszeit Mittlere Anomalie

22 Argument des Perigäums
Knotenlinie Argument des Perigäums Perigäum Knotenlinie

23 Argument des Perigäums
Knotenlinie Argument des Perigäums Q P Perigäum K -Q Knotenlinie Wir suchen immer noch , dafür fehlen jetzt noch P und Q.

24 Bahnsystem Position und Geschwindigkeit In Matrixform
Inverse Transformation

25 Keplerelemente Gegeben: zum Zeitpunkt t Große Halbachse Exzentrizität
Bahnsystem Knotenlinie Wahre Anomalie Arg. des Perigäums Exzentrische Anomalie Perigäumsdurchgangszeit Mittlere Anomalie

26 Erhaltungssätze

27 Impuls und Drehimpuls Bewegungsgleichung (Bahn)Drehimpuls:
(Linearer) Impuls Drehmoment: r K Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment Änderung des Impulses benötigt eine Kraft Impulserhaltung Drehimpulserhaltung Bis hierhin bereits bekannt => Es fehlt noch die Energieerhaltung

28 Energieerhaltung Bekannt: E=T+V=const. Animation potentielle Energie
kinetische Energie potentielle Energie Animation

29 Energieerhaltung Ab jetzt: Sonderfall konservatives Kraftfeld
Bewegungsgleichung (Kinetische Energie) Ab jetzt: Sonderfall konservatives Kraftfeld (Arbeit A) (nur vom Ort abh.) (entlang der Bahn) (längs der Kurve C)

30 Was ist ein konservatives Kraftfeld?

31 Konservatives Kraftfeld
Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: 1. Es existiert eine Potentialfunktion

32 Konservatives Kraftfeld
Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: Die Gravitationskraft ist konservativ. Potentialfunktion: Gravitationspotential 1. Es existiert eine Potentialfunktion

33 Potential Potential  Höhe Feldstärke  Steigung
schnelle Höhenänderung, starke Steigung Potential  Höhe Feldstärke  Steigung große Höhe, kaum Steigung kleine Höhe, kaum Steigung

34 Konservatives Kraftfeld
Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: 1. Es existiert eine Potentialfunktion 2. Das Schleifenintegral verschwindet Die Arbeit ist wegunabhängig: 3. Das Feld ist wirbelfrei Die Bedingungen sind gleichwertig: => Aus einer Bed. folgen die anderen

35 Konservatives Kraftfeld
nicht konservativ Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: 1. Es existiert eine Potentialfunktion 2. Das Schleifenintegral verschwindet Die Arbeit ist wegunabhängig: 3. Das Feld ist wirbelfrei

36 Energieerhaltung Bewegungsgleichung (Kinetische Energie) (Arbeit A)
(längs der Kurve C) (nur vom Ort abh.) (entlang der Bahn)

37 Potentielle Energie Potential potentielle Energie Gesamtenergie Die Gesamtenergie der Teilchen ist bei Einwirkung konservativer Kräfte zeitlich konstant