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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 1 Angewandte Physik Schwingungen und Wellen.

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Präsentation zum Thema: "Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 1 Angewandte Physik Schwingungen und Wellen."—  Präsentation transkript:

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2 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 1 Angewandte Physik Schwingungen und Wellen

3 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 2 Schwingungen: örtlich stationär Wellen: breiten sich räumlich aus

4 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 3 Schwingungen und Wellen Energie- transport kinetische Energie der Masse potentielle Energie in Feder

5 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 4 Bedeutung von Schwingungen und Wellen in Technik und Wissenschaft Schwingungen: Energiespeicher (Bewegung auf begrenztem Raum, verwandt mit Rotation) (auch mikroskopisch; z.B. Energie in Gasteilchen) Zeitmaßstab: Keine Uhr ohne Oszillator Störeffekte: Materialermüdung durch Dauerbelastung Grundform der Existenz: Nullpunktsschwingungen Wellen (gekoppelte Schwingungen): Energietransport: Meereswellen, 50Hz-Netz, Mikrowellenherd, Laser Informationstransport: Schallwellen, Radio, Fernsehen, Funkkommunikation Materialtransport: Materiewellen, jede Materie

6 Präsenzübung 5

7 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 6 Angewandte Physik Schwingungen

8 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 7 Verschiedene Arten von oszillierenden Systemen Kippschwinger Harmonischer Oszillator Zeit sinusförmige („harmonische“) Schwingung

9 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 8 1. "Harmonische" Schwingung ohne Reibung Beispiel Federpendel: 1) träge Masse (~ Verharrung) 2) rücktreibende Kraft: Feder(~ Elastizität) Auslenkung hängt sinusförmig von Zeit ab. Es gibt eine Eigenfrequenz f 0 Zeit t Auslenkung x(t) Schwingungs- periode T 0 Eigenfrequenz f 0 =1/T 0 Geschwindigkeit v(t)

10 Ähnlichkeit von Harmonischer Schwingung und Kreisbewegung Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 9 Kreisfrequenz ω =2π/T T

11 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik gedämpfte harmonische Schwingung Federpendel: 1) Masse, 2) rücktreibende Federkraft 3) Reibung führt zu Dämpfung der Schwingung Zeit t Auslenkung x nimmt mit Zeit ab Schwingungs- periode und Frequenz ändern sich: f d < f 0

12 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik erzwungene harmonische Schwingung Aspekte zum Federpendel: 1) Masse 2) rücktreibende Federkraft  Eigenfrequenz 3) sinusförmig variierende Anregung mit beliebiger Frequenz 4) Auslenkung nach Anfangseffekten schließlich mit Anregungsfrequenz 5) Resonanz Zeit t Auslenkung x Anregungsfrequenz  Schwingungsfrequenz Antrieb Eigenfrequenz  ~ Resonanzfrequenz 6) Achtung: die Variable die den Antrieb darstellt (z.B. Kraft) hat meist eine andere Dimension wie die Variable die die schwingende Größe darstellt (z.B. Weglänge)

13 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 12 Übersicht über harmonische Schwinungen freie Schwingungerzwungene Schwingung ungedämpft gedämpft 1) 2) 3) 4)

14 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 13 wichtige Begriffe eines schwingenden Systems Resonator: Freiheitsgrad(e) (Auslenkung, Amplitude) Resonanz: Eigenfrequenz (freie, ungedämpfte Schwingung) Abwechselnd kinetische Energie / Potenzielle Energie (Energieerhaltung) Reibung: Umwandlung von potenzieller/kinetischer Energie in Wärme (auch Energie!) zeitliches Abklingen (Dämpfung) der Schwingung durch Reibung verschiedene mögliche Abhängigkeiten der Reibung von 'Geschwindigkeit' Erreger: periodische Auslenkung, unabhängige Erregerfrequenz sinusförmig (anderer Zeitverlauf möglich: siehe Basketball-Dribbeln) nach Einschwingvorgang: Resonator schwingt mit Erregerfrequenz Einschwingvorgang allgemein: Überlagerung aus Bewegungen mit Eigenfrequenz (abklingend) und mit Erregerfrequenz (  stationärer Zustand) Erreger + Resonator  "Oszillator"

15 14 Beispiele für schwingende Systeme / Oszillatoren Foucault-Pendel 0,2 Hz Unruh in Uhrwerk 1 Hz Schwingquarz 4 MHz Molekülschwingung x GHz –THz YIG Oszillator 4 GHz Stimmgabel 440 Hz Stimmgabelquarz in Quarzuhr Hz

16 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 15 Lösungsansatz komplex: Beschleunigungskraft = Federkraft Differenzialgleichung Resonanzfrequenz Steifigkeit Trägheit y Freie, ungedämpfte Schwingung; mathematisch reibungsfreie Gleitbewegung

17 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 16 Verschiedene Resonatoren / Oszillatoren Steifigkeit Trägheit

18 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 17 Energie und Energierhaltung bei Schwinungsvorgängen oberer Umkehrpunkt unterer Umkehrpunkt v max abwärts v max aufwärts kinetische Energie in auf/ab-Geschwindigkeit der Masse potenzielle Energie in Dehnung/Kompession der Feder t t Energie pulsiert mit doppelter Frequenz

19 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 18 Analogie: Oszillator mechanisch / elektrisch potentielle / elektrostatische Energie kinetische / magnetische Energie

20 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 19 gedämpfte harmonische Schwingungen Spezialfall: Dämpfung (Reibung) ist proportional zu Geschwindigkeit (Änderung der oszillierenden Größe) F Trägheit gewöhnliche lineare Differentialgleichung allgemeiner Lösungsansatz: gedämpfte harmonische Schwingung schon wieder eine Differenzial- gleichung!

21 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 20 gedämpfte harmonische Schwingungen Dämpfung (Reibung) proportional zur Änderung (Geschwindigkeit) der oszillierenden Größe F Trägheit Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung Abklingkoeffizient [1/s] Zeit t Abklingzeitkonstante [s] innerhalb von t fällt Amplitude auf 1/e vom Anfangswert Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung

22 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 21 Beispiele: Stimmgabel, Quarzschwinger, elektr. Hohlraumresonator, akustischer Hallraum,... reale Resonatoren haben immer Dämpfung (Verluste) Maß für Dämpfung im Verhältnis zu Schwinungsfrequenz: Dämpfungsgrad Güte Q Dämpfungsgrad und Güte Q (dimensionslos)

23 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 22 verschiedene Bereiche des Dämpfungsgrades Schwingfall J < 1 w 0 > d Kriechfall J > 1 w 0 < d aperiodischer Grenzfall J = 1 w 0 = d Auslenkung klingt schnellstmöglich ab

24 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 23 Erzwungene Schwingung: Resonator mit Anregung Antrieb F Erreger Dämpfung EingangsspannungAusgangsspannung Elektrisches Analogon

25 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 24 Amplitudengang der Resonanz 1.Resonator schwingt mit Erregerfrequenz W 2.Amplitude hängt von Erregerfrequenz ab Erregerfrequenz  Resonanzfrequenz 0

26 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 25 Abhängigkeit der Resonanzkurve von Dämpfung 1.Resonator schwingt mit Erregerfrequenz W 2.Amplitude hängt von Erregerfrequenz ab 3.zunehmende Phasenverschiebung g( W) zwischen Erreger und Auslenkung des Resonators

27 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 26 wichtige Eigenschaften der Resonanz: Resonanzfrequenz w res < w 0 w res ® w 0 für ® 0 Phasenverschiebung g = 0 ® p Bandbreite bei -3dB = ( 1/√2 ) von Maximum der Resonanzkurve Amplituden- und Phasengang der Resonanz w res ® w 0

28 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 27 Resonanzfrequenz: Frequenz größter Schwingungsamplitude Resonanzfrequenz wird durch Dämpfung etwas kleiner

29 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 28 Resonanzüberhöhung

30 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 29 Resonanzbreite

31 Einschwingvorgang bei abruptem Beginn der Anregung zur Zeit t=0 a) freie abklingende Schwingung mit  d b) Anregung mit Frequenz  c) Einschwingvorgang: Überlagerung von a) und b) d) stationäre Schwingung mit Frequenz  Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 30 a) b) c) d)

32 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 31 Übergang von Schwingung zu Welle: gekoppelte Oszillatoren

33 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 32 2 gekoppelte Schwinger ohne Kopplung: Kopplungsgrad k 12 = 0 2 identische Schwinger: gleiche Eigenfrequenz w 0 mit Kopplung: Kopplungsgrad k 12 > 0  2 Eigenmoden: gleichphasig: w 1 gegenphasig: w 2 Allgemeine Bewegung: Linearkombination der beiden Eigenmoden gleichphasiggegenphasig Linearkombination

34 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 33 2 gekoppelte Schwinger Allgemeine Bewegung: Linearkombination der Eigenmoden Schwebung

35 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 34 mehrere gekoppelte Schwinger n Freiheitsgrade n Eigenmoden ("Fundamentalschwingungen") n Eigenfrequenzen Beispiel: 3-atomiges Molekül 9 Freiheitsgrade, davon 6 für Translation und Rotation des Moleküls, 3 interne Freiheitsgrade  3 Schwingungsmoden in der Ebene des Moleküls 3 Schwingungsmoden (hier nur schematisch angedeutet) Es können auch mehrere Schwingungsmoden aus Symmetriegründen gleiche Frequenz haben: "entartete" Moden

36 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 35 Ausblick: Anzahl der Freiheitsgrade sehr groß Energiebändermodelle: kontinuierlicher Bereich von möglichen Eigenfrequenzen Energie ~ Eigenfrequenzen Einzelatom Festkörper mit Atomen

37 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 36 Angewandte Physik Wellen

38 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 37 gekoppelte Schwingungen  Welle einzelner Schwinger Transversalwelle Longitudinalwelle kein Materietransport aber Energietransport

39 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 38 Transversalwelle und Longitudinalwelle Transversalwelle Longitudinalwelle

40 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 39 Auslenkung ist Funktion von Ort und Zeit: Frequenz f = w/2p Wellenlänge l = 2p/k Wellenzahl k = 2p/l Phasengeschwindigkeit c = l f harmonische Wellen

41 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 40 allgemein lineare Superposition: Wellenfunktionen können addiert werden ebene stehende Welle in x-Richtung Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz

42 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 41 stehende Wellen eindimensional sich ausbreitende Wellen gegenläufige Wellen: gleiche Amplitude  stehende Wellen: Wellenknoten und Wellenbäuche Eine stehende Welle ist die Überlagerung von zwei gegenläufigen Wellen mit gleicher Amplitude und gleicher Wellenlänge

43 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 42 Welle wird an einer Stelle vollständig reflektiert Amplitude und Wellenlänge (und Frequenz) beider Wellen sind gleich (Welle kommt aus dem Unendlichen und geht auch wieder ins Unendliche) Welle wird an zwei Stellen vollständig reflektiert: Das geht nur gut, wenn nach zweimaliger Reflexion die Welle wieder mit sich selbst in Phase ist. Resultat, wenn der Spiegelabstand passt: eine stehende Welle mit einer ganzen Anzahl von Wellenlängen auf zweifachem Spiegelabstand (oder einer ganzen Anzahl von halben Wellenlängen zwischen Spiegeln) Wann gibt es eine stehende Welle?

44 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 43 Reflexion mit Phasenumkehr um 180° Wellenknoten an Spiegeln Reflexion ohne Phasenumkehr um 180° Wellenbäuche an Spiegeln Verschiedene Ausformungen der Stehwelle je nach Reflexionsphase an den Spiegeln

45 Stehende Wellen und Eigenschwingungsmoden Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 44 Welle mit Reflexion an den Enden Moden: Stehende Wellen verschiedener Wellenlängen allgemein: Überlagerung der verschiedenen Moden

46 Schwingungsmoden einer Brücke Reflexion an den Enden Moden: Stehende Wellen verschiedener Wellenlängen allgemein: Überlagerung der verschiedenen Moden Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 45

47 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Ph ysik 46 Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz allgemein lineare Superposition: Wellenfunktionen können addiert werden Wenn Wellen nicht exakt in gleicher Richtung dann keine stehende Welle aber „Interferenz“ (kompliziertere Wellenmuster):

48 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 47 Auslenkung des Seiles aus gerader Linie z(x,t) Seilwelle eindimensionale Welle: Wellenzahl x z

49 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 48 Wellen in Ebene (2D), z.B. auf Wasseroberfläche Wellen im Raum (3D), z.B. Schallwelle Wellen im Raum, Wellenvektor Wellenvektor Auslenkung der Oberfläche z(x,y,t)

50 akustische Hohlraumresonanzen geschlossener Pfad einer räumlichen ebenen Welle, wo Weglänge eine ganzen Zahl von Wellenlängen gleich ist ergibt eine stehendes Wellenmuster das zeitlich mit einer bestimmten Eigenfrequenz schwingt 49 +

51 Oberflächenwellen auf Wasser Form der Oberfläche nicht sinusförmig Teilchenbewegung nicht nur auf und ab sondern auch vor und zurück komplizierter Zusammenhang zwischen Wellenform Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wassertiefe Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 50


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