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1 Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen Wellengleichung Ableitung der Schrödinger-Gleichung Lösungsansätze für Schrödinger-Gleichung Formale.

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Präsentation zum Thema: "1 Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen Wellengleichung Ableitung der Schrödinger-Gleichung Lösungsansätze für Schrödinger-Gleichung Formale."—  Präsentation transkript:

1 1 Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen Wellengleichung Ableitung der Schrödinger-Gleichung Lösungsansätze für Schrödinger-Gleichung Formale Analogie zwischen der klassischen und Quantenmechanik Lösung der Schrödinger-Gleichung für Freies Elektron Elektron im Potentialtopf Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Potentialbarriere Doppelte Potentialbarriere Wasserstoffatom

2 2 Die Wellengleichung Mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle: Ableitung nach x: De Broglie-Gleichung: Ableitung nach Zeit:Plancksche Gleichung:

3 3 Die Schrödinger-Gleichung in einer Dimension … Potentialenergie = 0 freies Teilchen … Gesamtenergie / kinetische Energie H … Hamilton-Operator

4 4 Dreidimensionale Schrödinger- Gleichung Impuls und der entsprechende Operator 3D-Schrödinger-Gleichung 3D-Schrödinger-Gleichung für N Teilchen

5 5 Lösungsansatz für die Schrödinger- Gleichung Linke Seite t-abhängigRechte Seite x-abhängig Mathematischer Ansatz: Separation der Variablen

6 6 Lösungsansatz für die Schrödinger- Gleichung Linke Seite:Rechte Seite: C … Separations- konstante

7 7 Die Schrödinger-Gleichung Zeitunabhängige (stationäre) Form harmonische Schwingungen Sie wird verwendet, wenn das Potential von der Zeit nicht abhängt E … Gesamtenergie des Systems

8 8 Die Schrödinger-Gleichung Zeitabhängige Form Wellengleichung

9 9 Formale Analogie zwischen der KM und QM

10 10 Lösung der Schrödinger-Gleichung Falls V von der Zeit nicht abhängt, wird die zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung gelöst. Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung Lösung erfolgt für bestimmte (Anfangs-) und Randbedingungen Die Wellenfunktion hat keine physikalische Bedeutung, * entspricht der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons Energiebereiche, für die eine Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden werden kann, definieren das Energie-Spektrum (Frequenzspektrum) des Systems.

11 11 Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion Die Schrödinger-Gleichung ist konsistent mit p = ħkundE = ħ Die Schrödinger-Gleichung ist linear Wenn 1 und 2 zwei Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, ist auch eine lineare Kombination von 1 und 2 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung Ein Wellenpaket stellt ebenfalls eine Lösung der Schrödinger-Gleichung dar

12 12 Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, Elektronendichte Erwartungswert (Mittelwert über viele Beobachtungen) … in 3D

13 13 Hermitesche Operatoren Analogie zwischen KM und QM MessgrößeKM-BeschreibungQM-Operator Ort Impuls Kinetische Energie Drehimpuls

14 14 Übung Analogie:

15 15 Harmonischer Oszillator

16 16 Harmonischer Oszillator mit Dämpfung

17 17 Harmonische Schwingungen A = B :

18 18 Gedämpfte Schwingungen

19 19 Freies Elektron (V=0) E Keine Randbedingung alle Energien sind möglich Energiespektrum ist kontinuierlich

20 20 Elektron im Potentialtopf (1D) V x a0 E Energie-Spektrum n C 4C 9C 16C 25C Randbedingung Energiespektrum ist diskret V = 0 freies Elektron

21 21 Elektron im Potentialtopf (1D) Lösung für die Wellenfunktion x/a

22 22 Elektron im Potentialtopf (3D) Orthogonale Lösung

23 23 Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Harmonische Schwingung Potentielle und kinetische Energie Gesamtenergie

24 24 Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators E Energie-Spektrum n ½ ħ 0 3/2 ħ 5/2 ħ 7/2 ħ 9/2 ħ Energieniveaus sind voneinander equidistant entfernt, E = ħ

25 25 Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators

26 26 Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators

27 27 Potentialbarriere (Tunnel-Effekt) III I Keine Randbedingung

28 28 Doppelte Potentialbarriere III V(x) = V 0 V(x) = 0 freies Elektron Energiespektrum aufgrund der Randbedingung, ähnlich wie bei der Potentialbarriere

29 29 Tunnel-Effekt Quanten-mechanischer Effekt Klassisch: nur I (einfache Welle und ihre Reflexion) Anwendung Tunnel-Diode STM (Rastertunnelmikroskopie) QW (quantum wall)

30 30 Wasserstoffatom Sphärisch-symmetrisches Problem im Coulomb-Potential Coulomb-Kraft Coulomb-Potential Stationäre Schrödinger- Gleichung

31 31 Wasserstoffatom Radiusabhängig Winkelabhängig Sphärische Koordinaten

32 32 Wasserstoffatom Winkelabhängiger Teil Separation der Variablen; Separationskonstante m² Azimutalgleichung, ( )Polargleichung, ( ) Beide Gleichungen sind im Zentralfeld vom Potential V(r) unabhängig … Separationskonstante (+1)

33 33 Wasserstoffatom Azimutalgleichung, ( ) Spezielle Lösung für ( ) – 2 -periodisch (m … ganze Zahlen) Normierung Ergebnis m … magnetische Quantenzahl

34 34 Wasserstoffatom Polargleichung, ( ) Verknüpft die Separationskonstanten (+1) und m² Lösung existiert nur für (+1) = 0, 2, 6, 12, 20, … (d.h. für = 0, 1, 2, 3, 4, …) … ganze Zahlen (Nebenquantenzahl, Bahndrehimpuls-Quantenzahl) Bedingung für m: … Legendresche Differentialgleichung … insgesamt (2+1) Werte

35 35 Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, ( ) für m = 0 Legendre-Polynome: für m 0 zugeordnete Legendre-Polynome:

36 36 Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, ( ), normiert Winkelabhängiger Teil, Y m (, )

37 37 Wasserstoffatom … Separationskonstante (+1) Radialgleichung Effektives Potential Lösung L n,l … Laguerre Polynome


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