(Gini-Koeffizient, Lorenz-Kurve) Konzentrationsmaße (Gini-Koeffizient, Lorenz-Kurve) Konzentrationsmaße Kennwert für die wirtschaftliche Konzentration

Verteilung des Geldvermögens unter den einzelnen Bevölkerungsgruppen Typische Beispiele: Verteilung des Geldvermögens unter den einzelnen Bevölkerungsgruppen Verteilung von Marktanteilen Aufteilung der landwirtschaftlichen Nutzflächen in einer Region

Ein Markt wird von 5 Unternehmen beliefert. Die folgende Tabelle beschreibt die Aufteilung der Marktanteile:

Daraus ergeben sich die folgenden Werte für die Punkte auf der Lorenz-Kurve:

Dazu die Lorenz-Kurve:

Berechnung des Gini-Koeffizienten

Landwirtschaftlich genutzte Fläche einer Region

Dazu die Lorenz-Kurve:

Datenmatrix

der absoluten Häufigkeiten Kontingenztafel der absoluten Häufigkeiten

der relativen Häufigkeiten Kontingenztafel der relativen Häufigkeiten

Betriebe und hinterzogene Steuer Kontingenztabelle X: Art des Betriebes 1 = Handelsbetriebe 2 = Freie Berufe (Leistungsbetriebe) 3 = Fertigungsbetriebe Y: Art der hinterzogenen Steuer 1 = Lohnsteuer 2 = Einkommenssteuer 3 = Umsatzsteuer 4 = Sonstige

Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Eigenschaften X und Y unabhängig

X größer Y größer X größer Y kleiner

Positiver strikter Zusammenhang Negativer strikter Zusammenhang

Korrelationskoeffizient bei verschiedenen Konstellationen von Ausprägungen

Korrelationskoeffizient: 1.00

Korrelationskoeffizient: 0.52

Korrelationskoeffizient: 0.0.19

Korrelationskoeffizient: -0.62

Korrelationskoeffizient bei verschiedenen Konstellationen von Ausprägungen

Mögliche Funktionenklassen für die Regressionsrechnung

Lineare Funktionen Polynome Exponentialfunktionen (Exponentielles Wachstum; x ist die Zeit) Gompertz-Kurven Logistische Funktionen

Prinzip der kleinsten Quadrate (Kleinst-Quadrat-Schätzung) Man sucht in der betrachteten Klasse diejenige Funktion f, so dass die Summe der Abweichungsquadrate minimiert wird: Bestimme f, so dass minimal !!

Aufgaben der Regressionsrechnung 1. Extrapolation Stellt man sich für den Moment x als die Zeit vor, so möchte man die beobachteten Werte auf die „Zukunft“ extrapolieren. Man erstellt eine „Prognose“. Dazu bedient man sich der gefundenen Funktion f, um für eine „Zeit“ x der „Zukunft“ den Wert y = f(x) zu schätzen.

2. Interpolation Man interessiert sich für den Wert von y = f(x) für Zwischenwerte von x, d. h. für Werte x, die zwischen 2 beobachteten Werten liegen: Wieder bedient man sich der Funktion f, um eine Interpolation der Werte durchzuführen.

Lineare Regression Finde reelle Zahlen a und b,so dass der Wert von minimal wird! Mit anderen Worten: Finde den „Punkt“ (a ,b), an dem die Funktion ihr Minimum annimmt!

Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

Bestimmtheitsmaß Maß für die Güte der Anpassung der Daten an die Regressionsfunktion Dabei ist

In einem Kaufhauskonzern mit 10 Filialen soll die Wirkung von Werbeausgaben auf die Umsatzsteigerung untersucht werden. Die Daten sind: X: Werbeausgaben in 1000 Euro Y: Umsatzsteigerung in 10 000 Euro

Demonstrationsbeispiel Lineare Regression Varianzen Mittelwerte Kovarianz

Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei