Statistische Methoden I WS 2002/2003 Probeklausur Freitag, 13. Dezember statt Vorlesung - Nächsten Freitag!!!

Die hypergeometrische Verteilung Notation

Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

Wahrscheinlichkeitsdichten

Die Exponential-Verteilung

Die Gauß- oder Normalverteilung

Die Cauchy-Verteilung

Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

Unabhängigkeit Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite die folgenden Aufschriften: 1 Eine Karte wird zufällig gezogen. Ereignisse A, B und C A : Oben steht eine 0 B: In der Mitte steht eine 0 C: Unten steht eine

Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig: d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten. Man hat zwar:

Allgemein definiert man:

Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nichtrauchern ein- geteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

Also haben wir: Allgemein definiert man:

Pfadregel Dann hat man:

Baumdiagramm

Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln. 1. Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. 2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird er- neut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert. Urne mit roten und grünen Kugeln

START /4 1/4 4/5 1/53/52/5 Baumdiagramm

Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM ,- anschaffen, in den verschiedenen Einkommensklassen

Es ergibt sich: Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit: 5

Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

FröhlicheWeihnachten wünscht Shirley

Satz von Bayes

In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen. (Beispiel nach H. Haase: Stochastik für Betriebswirte)

Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Ausländer ist? D: Der Gast ist ein Deutscher I: Der Gast ist ein Italiener A: Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener S: Der Gast bestellt Spaghetti

Nach der Formel für die totale Wahr- scheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

Satz von Bayes

Lernen aus Erfahrung Beispiel Eine Urne enthält 4 Kugeln. Wir wissen, dass eine der folgen- den Situationen A1, A2 oder A3 vorliegt: A1: eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grün A2: zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grün A3: drei Kugeln sind rot, eine ist grün Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind unbekannt. Wir setzen: P(A1) = p1 P(A2) = p2 P(A3) = p3

Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen. Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht. Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel B Dann hat man:

Nach dem Satz von Bayes erhalten wir: Ebenso :

Für große m nähert sich die bedingte Wahrscheinlichkeit für A3 gegeben B dem Wert 1, während sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten für A1 und A2 dem Wert 0 annähern. Unabhängig von den Werten für p1, p2 und p3 hat man: