Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistik der Wahrscheinlichkeitstheorie

Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 Beispiel „Haushaltsgröße“ Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 (laut Schlittgen) Verteilungsfunktion

Zufallsvariablen Verteilung Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsdichte Verteilung Die Verteilung einer ZV ist ein Wahr- scheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen diskret stetig

Wahrscheinlichkeitsfunktion diskret f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion von X stetig f nennt man Dichtefunktion von X

Verteilungsfunktion diskret stetig diskret stetig

Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz

Gegeben seien n Zufallsvariablen Dann gilt immer: Wenn gilt dann hat man auch Gleichheit von Bienaymé

Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 Beispiel „Haushaltsgröße“ Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 (laut Schlittgen)

Erwartungswert und Varianz II Der diskrete unendliche Fall Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz

Erwartungswert und Varianz III Der stetige Fall f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz

Gegeben seien n Zufallsvariablen Dann gilt immer: Wenn gilt dann hat man auch Gleichheit von Bienaymé

Die Binomialverteilung

Erwartungswert Varianz

Die Poisson-Verteilung

Erwartungswert Varianz

Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) (Gaußsche Glockenkurve)

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

Die hypergeometrische Verteilung Notation

Erwartungswert Varianz

Die geometrische Verteilung

Erwartungswert Varianz

Die Exponential-Verteilung

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

Insekteneier Annahmen N : Anzahl der Eier, die ein bestimmtes Insekt legt M : Anzahl der Eier, die sich entwickeln N - M : Anzahl der Eier, die unentwickelt bleiben Annahmen Die Wahrscheinlichkeit, dass das Insekt genau n Eier legt, beträgt d. h. Jedes Ei entwickelt sich mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p Die Eier beeinflussen sich nicht in ihrer Entwicklung

Dann gilt: 1 2 3

Bäckerei Brösel Annahmen X : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr n : Anzahl der betrachteten Haushalte Annahmen Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Haushalt zu der Zeit bei Brösel einkauft, ist bei allen Haushalten gleich Die Haushalte entscheiden unab- hängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht

Dann gilt: d. h.

Nun wird die Anzahl n der betrachteten Haushalte vergrößert. Die „Einkaufswahrscheinlichkeit“ p hänge dabei so von n ab, dass gilt: Dann konvergiert die Verteilung von X gegen eine Poisson-Verteilung. Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich: