Festlegung der Prämissen Value at Risk 2. Marktpreisrisiko Festlegung der Prämissen Varianz- Kovarianz- Ansatz Value at Risk Histor. Simulation Monte-Carlo-Sim. 2.1 Grundlegende Prämissen der VaR-Berechnung  Portfolio  Marktparameter  Beoboachtungszeitraum  Liquidationszeitraums  Wahrscheinlichkeitsniveau Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

Festlegung des Portfolios  Portfolio = Zusammenfassung von Finanzinstrumenten (z.B. Kauf oder Verkauf von Aktien, Anleihen, OTC-Optionen, Gewährung von Krediten)  Gesamtportfolio  Teilportfolio  Frage der Aggregation  Bildung der Teilportfolios in Abhängigkeit der Organisationsstruktur (z.B. nach Regionen und Produkten)  Zerlegung von komplexen Finanzinstrumente in ihre Bestandteile Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

Identifikation der Marktparameter  Marktparameter () (z.B. Währungskurse, Zinssätze, Aktienkurse, Aktienindizes, implizite Volatilitäten)  Funktion zur Bestimmung des Portfoliowertes in Abhängigkeit der Parameter (z.B. Optionspreisformel von Black-Scholes) Festlegung des Beobachtungszeitraums  Beobachtungen der Vergangenheit = Zeitreihe  Frage, wie viele und welche Werte aussagekräftig für Zukunft ?  Anzahl der einbezogenen Werte meist 90 - 250  Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Beobachtungszeitraum von mind. 1 Jahr ! (250 Tage/52 Wochen) Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

Festlegung des Liquidationszeitraums/Haltedauer  Betrachtungszeitraum, für den Wertveränderungen aufgrund von Markteinflüssen beobachtet werden  Annahme: Positionen werden während Haltedauer nicht verändert (stattfindende Handelsaktivitäten werden vernachlässigt)  Haltedauer abhängig von Möglichkeit der Glattstellung  Glattstellung durch Verkauf der Position oder Hedging  Glattstellung abhängig von Liquidität der einzelnen Märkte  Handelsaktivitäten - häufig Haltedauer von 1 Tag („overnight“)  Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Haltedauer von mind. 10 Tagen! (bei Optionen auch kürzer) Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

Festlegung des Wahrscheinlichkeitsniveaus  VaR = Verlustpotential, das mit einer bestimmten Wahrschein- lichkeit P während der Haltedauer nicht überschritten wird  VaR = Verlustpotential, das mit einer bestimmten Wahrschein- lichkeit p (p = 1 - P) während der Haltedauer überschritten wird  P = Konfidenzniveau  p = Quantil  Berechnung des Verlustes aus Normalverteilung in Abhängigkeit von  und   Konfidenzniveau P meist zwischen 95% - 99%  Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Konfidenzniveau von 99% ! Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

2.2 Varianz- Kovarianz-Ansatz  verschiedene Verfahren, die sich hinsichtlich der Modellvariablen unterscheiden (Wertänderungen, Rendite, Marktparameter)  jede der Modellvariablen = Zufallsgröße mit bekannter Verteilung  Darstellung der Berechnungsverfahren  in Realität Verteilung der Zufallsgröße unbekannt  statistische Verfahren zur Ermittlung der Verteilung Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

2.2.1 Varianz-Kovarianz- Ansatz mit Wertänderungen  Annahme: Wertänderung (V = Vt - Vt-1) während Haltedauer einer Position ist normalverteilt!  Normalverteilung: V Mittelwert der Wertänderung V Standardabweichung, Preisvolatilität  bei vorgegebenem Konfidenzniveau Bestimmung des VaR durch Quantil < 2.1 > Ein Investor hält am 31.3.95 eine Position von 100 Millionen CHF (Gegenwert 121,33 Mio DM). In den letzten drei Monaten hatten die täglichen Erträge aus dieser Position einen Mittelwert von 46.093,75 DM und eine Standardabweichung von 268.697,96 DM. Das VaR zu einer Wahrscheinlichkeit von 97,5% kann nun über das 2,5%-Quantil bestimmt werden. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

 Annahme: Wertänderungen eines Portfolios normalverteilt ??  Annahme: Wertänderungen der Assets in Portfolio gemeinsam sind normalverteilt !! < 2.2 > Ein Investor hält am 31.3.95 zwei Positionen: 1. Position: vgl. vorne 2. Position: Shortposition in Höhe von 50 Mio USD (Gegenwert 69,19 Mio DM); Tägliche Erträge der letzten 3 Monate : Mittelwert von 2.679,69 DM (je 1 Mio USD); Standardabweichung von 11.315,68 DM (je 1 Mio USD) U1 = 100, V1 = 121,33 Mio DM, V1 = 460,94 DM, V1 = 2.686,98 DM U2 = -50, V2 = -69,19 Mio DM, V1 = -2.679,69 DM, V2 = 11.315,68 DM Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

U1 = 100, V1 = 121,33 Mio DM, V1 = 460,94 DM, V1 = 2.686,98 DM  Mittelwert der Wertänderungen des Portfolios PF = U1 · V1 + U2 · V2 PF = 100 · 460,94 + (-50) · (-2.679,69) = 0,1801 Mio DM  Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios Intuition!!???? PF = U1 · V1 + U2 · V2 PF = 100 · 2.686,98 + (-50) · 11.315,68 = -297.086  i.d.R. falsch!!! Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

Kovarianz  Korrelationskoeffizient (-1    1)  Analyse der Varianz eines Portfolios muß die Kovarianz bzw. den Korrelationskoeffizienten der Assets berücksichtigen ! Kovarianz  Korrelationskoeffizient (-1    1)  Varianz des Portfolios Position 1: und Position 2: und  Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

Möglichkeitenkurve in Abhängigkeit von   keinerlei Diversifikationseffekt bei  = +1, bei perfekter positiver Korrelation  maximaler Diversifikationseffekt bei  = -1  Portfolio-Volatilität von 0 und sichere Rendite  i.d.R. hyperbelförmiger Verlauf der Möglichkeitenkurve (-1 <  < +1) Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

 bei gegebener Korrelation: 12 = -0,5870 PF = 0,7555 Mio DM VaR des Portfolios zu einer Wahrscheinlichkeit von 97,5% Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

 Übertragung auf beliebig große Portfolios  Mittelwert der Wertänderungen des Portfolios  Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios  VaR des Portfolios Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

2.2.2 Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Renditen  Nachteil: Theoretische Fundierung der Normalverteilung der Wertänderungen kaum möglich 2.2.2 Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Renditen  Renditen der Assets in Portfolio gemeinsam sind normalverteilt !!  Rendite während der Haltedauer  gemeinsame Normalverteilung der Renditen bestimmt durch Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

 Wert der N Assets des Portfolios VT = (V1, V2, ..., VN)  Anteilsvektor vT = (v1, v2, ..., vN) mit  alternativer Anteilsvektor nach Lintner  Mittelwert der Renditen des Portfolios  Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

 Rendite-Quantil zu einer Wahrscheinlichkeit  negative Rendite, deren Betrag mit der vorgegebenen Wahr-scheinlichkeit während der Haltedauer nicht überschritten wird  Rendite-Quantil zu einer Wahrscheinlichkeit  Aus folgt V = Vt-L · rlin  Berechnung der negativen Wertänderung bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit während der Haltedauer : VaR = VPF · rVaR,lin Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

< 2.3 > Ein Investor hält am 31.3.95 zwei Positionen: 1. Position: Long-Position über 100 Mio CHF (= 121.33 Mio DM) 2. Position: Shortposition über 50 Mio USD (= 69,19 Mio DM) Tägliche Rendite der letzten 3 Monate - CHF: Mittelwert von 0,0387% ; Standardabweichung von 0,2260% Tägliche Rendite der letzten 3 Monate - USD: Mittelwert von -0,1794% ; Standardabweichung von 0,7807% Korrelation der Renditen r1,r2 = -0,5845 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

 Rendite-Quantil bei Wahrscheinlichkeitsniveau von 97,5%  VaR Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

 Normalverteilungsannahme der Renditen nicht unproblematisch!  Ränder der tatsächlichen Häufigkeitsverteilung werden durch Normalverteilung unterschätzt  Häufigkeitsverteilung hat um den Mittelwert höhere Werte als die Normalverteilung  Verteilung oft linksschief (mehr Beobachtungen in der linken als in der rechten Seite)  Renditen sind zeitlich korreliert  Aufgabe der Normalverteilungsannahme vernichtet Vorteil, daß Risiko relativ einfach durch Mittelwert und Standardab-weichung Zeitreihenanalyse um Volatilität der Verteilung der Zufalls-variablen zu prognostizieren beschreibbar! Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

2.3 Darstellung der Schätzverfahren  Varianz-Kovarianz-Ansatz: Zufallsvariable  = normalverteilt  Spezifizierung der unbekannten Verteilung durch Schätzung von , ,  (Kovarianzmatrix)  Zeitreihenanalyse, um Volatilität der Verteilung der Zufalls-variablen zu prognostizieren (für Haltedauer = 1 Tag)  Verfahren: - Empirische Schätzungen - Exponentielles Glätten - ARCH und GARCH Modelle - Implizite Volatilitäten Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

2.3.1 Empirische Schätzungen  Annahme: Entwicklung der Parameter gemeinsam folgt einem stationären stochastischen Prozeß ohne zeitliche Korrelation  Beobachtungswerte eines Parameters = Realisation der Zufallsvariable  Schätzung des Mittelwertes durch empirischen Mittelwert,  Schätzung der Volatilität durch empirische Standardabweichung der Zeitreihe Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

 Betrachtung mehrerer Parameter  z.B. Zeitreihen zweier Parameter 1 und 2  Bestimmung des empirischen Korrelationskoeffizienten mit Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

 Wahl des Beobachtungszeitraums!!  Fiktiver Kursverlauf mit steigender Volatilität  Grundannahmen?! - konstante Mittelwerte und Volatilitäten der einzelnen Parameter - Werte einzelner Parameter unkorreliert im Zeitablauf - verschiedene Parameter unkorreliert im Zeitablauf Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

Korrelationsschätzungen (B = 90 Tage) am Beispiel USD/DEM mit JPY/DEM in der Zeit vom 12.5.1993 bis zum 31.07.95   zwischen 0,07 und 0,72 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002