Normalverteilte Zufallsvariablen

Präsentation zum Thema: "Normalverteilte Zufallsvariablen"—  Präsentation transkript:

1 Normalverteilte Zufallsvariablen

2 Beispiele für (approximativ) normalverteilte Zufallsvariable: - Körpergröße (-gewicht, IQ) eines zufällig ausgewählten erwachsenen Bundesbürgers über 18 - Rendite einer Aktie an einem zufällig ausgewählten Börsentag - Anzahl Autos, die in einer Stunde eine Kreuzung passieren - Anzahl Leser des Leitartikels in der FAZ

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4 Eigenschaften der Normalverteilung
Außerdem sind Linearkombinationen von normalverteilten ZVen i.a. wieder normalverteilt (konkret: wenn sie eine gemeinsame Normalverteilung haben).

5 Zentraler Grenzwertsatz:
Seien X₁, … Xn unabhängige Zufallsvariablen mit endlichen und beschränkten Varianzen. Dann nähert sich die Verteilungsfunktion von Zn := X1 + …+ Xn mit wachsendem n immer mehr der Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit Parametern μ= E(Zn ) und σ²= Var(Zn)

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8 5.3 Unabhängige Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wiso-Skript Kap. 8.4

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11 : :

12 Aufgabe: Betrachten sie folgenden beiden Ereignisse beim einfachen Poker (jeder erhält verdeckt fünf Karten): A: Ich habe mindestens drei Asse B. Ich habe mindesten drei Könige Sind A und B unabhängig? Wenn ja, warum. Wenn nein, warum nicht.

13 4 häufige Fehler bei bedingten Wahrscheinlichkeiten:
1. Mentale Kurzschlüsse in der Interpretation des bedingenden Ereignisses 2. Verwechseln von P(A|B) mit P(B|A) 3. Verwechseln von P(A|B) mit P(A|B und C) 4. Reinfallen auf das Simpson-Paradox

14 Vier gleich wahrscheinliche
Möglichkeiten für ein Geschwisterpaar: (M,M), (M,J), (J, M), (J, J)

15 Ich wähle zunächst die linke Tür

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18 3. Fehlertyp. Verwechseln von
P(A|B) mit P(A|B und C)

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20 P(Ehemann ist Mörder| Ehemann hat Frau geschlagen) = 1/2500
P(Ehemann ist Mörder | Ehemann hat Frau geschlagen und Frau ist ermordet worden) = 8/9 Siehe I. Good: „When batterer becomes murderer,“ Nature 391, 1969, S. 481

21 P(A|B) < P(A| nicht B)
Simpson-Paradox (nach E. H. Simpson: The Interpretation of Interaction in Contingency Tables. In: Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 1951, S. 238–241): Es ist möglich, dass P(A|B und Ci) > P( A| nicht B und Ci) für alle i, und trotzdem P(A|B) < P(A| nicht B) >/

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24 Number of women (among 100.000 in the respective age groups) who died from cancer in Germany
Aus: W. Krämer und G. Gigerenzer: “How to confuse with statistics“, Statistical Science 2005

25 Diskriminierung bei der Studienplatzvergabe?
Verteilung der Bewerber auf die Fächer: Journalistik Mathematik insgesamt Männer 100 (10=10%) 400 (200=50%) 500 (210=42%) Frauen (80=20%) (60=60%) (140=28%) rot: akzeptierte Bewerber