18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1 1 Vorlesung 20: Roter Faden: Heute: Schwingungen mit Dämpfung Versuche: Computersimulation

18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 2 2 Formale Einführung der Zahl i Zahlenpaare sind extrem nützlich um Schwingungen zu beschreiben, da eine Schwingung durch ZWEI Zahlen beschrieben wird, nämlich Amplitude und Phase!

18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 3 3 Darstellung der komplexen Zahlen x+iy = r (cos + i sin ) = r e i

18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 4 4 Rechenregel

18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 5 5 Ungedämpfte Schwingungen Lösung mit complexen Zahlen: x(t)=A e i t+. Einsetzen ergibt: -m 2 A e i t+ = -k Ae i t+ x(t) = A e i (k/m) t+ Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl: x(t) = A cos (k/m) t+

18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 6 6 Ungedämpfte Schwingungen Lösung mit complexen Zahlen: x(t)=A e i t+. Einsetzen ergibt: -m 2 A e i t+ = -k Ae i t+ x(t) = A e i (k/m) t+ Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl: x(t) = A cos (k/m) t+

18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 7 7 Energieerhaltung bei ungedämpften Schwingungen Was passiert wenn Energieverluste durch Reibung auftreten? Reibung i.A. proportional v n, oft n 1

18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 8 8 Gedämpfte Schwingungen Addiere Reibungskraft –bv zur Federkraft –kx:

18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 9 9 Gedämpfte Schwingungen Aperiodischer Grenzfall Kriechfall Exponentieller Abfall

18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 10 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 10 x(t)=A e t Einsetzen in mx+bx+kx=0 ergibt: m 2 - b +k =0 oder = -b/2m 1/(2m) (b 2 -4mk) x(t) = A e –bt/2m e (b 2 /4m 2 -k/m) t =A e –bt/2m e i t = (b 2 /4m 2 -k/m) Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl: x(t) = A cos t (Anfangsphase 0 gesetzt) Lösung mit komplexen Zahlen:

18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 11 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 11 Energie der gedämpften Schwingungen

18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 12 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 12 Berechnung des Q-Faktors

18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 13 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 13 Schwingungssimulator

18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 14 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 14 Zum Mitnehmen Gedämpfte Schwingungen beschrieben durch exponentieller Abfall der Amplitude