Synchronisation Vortrag von Johannes Dörr und Thomas Wanschik Fachpraktikum Nichtlineare Dynamik, Universität Göttingen

Was ist Synchronisation? Beispiele Metronome Orgelpfeifen Glühwürmchen Millennium Bridge Tagesrhythmus Gegenbeispiel Wolf-Hase-System Globale Synchronisation (all-to-all) Einseitige Synchronisation (Master/Slave)

Was ist Synchronisation? Voraussetzungen Selbsterregte Schwingungen Dissipation Stabilität, Nichtlinearität Keine zu starke Kopplung Gegenbeispiel:

Was ist Synchronisation? Relevante Größen Phase frei bei selbsterregten Schwingungen Anschaulich: Schiefe Ebene Amplitude Stabil Anschaulich: Minimum

Was ist Synchronisation? Relevante Größen Frequenzen Eigenfrequenzen (ohne Kopplung): Frequenzdifferenz: Beobachtete Frequenz (mit Kopplung): Definition von Synchronisation „Feste“ Phasendifferenz (Phase Locking) „Festes“ Frequenzverhältnis (Frequency Locking)

Einseitige Synchronisation Mathematische Beschreibung: Periodische, externe Kraft mit Periodendauer T klein Externe Kraft

Einseitige Synchronisation Definition der Phase Problem: System nie genau auf Limit Cycle Lösung: Isochronen definieren Phase an jedem Ort Eigenfrequenz:

Einseitige Synchronisation Phasendynamik Man erhält für Änderung der Phase: Es folgt für die Phasendifferenz: 2π-periodisch, T-periodisch 00 2π-periodisch

Einseitige Synchronisation Phasendynamik Einfachster Fall: Störung q Sinus-förmig Adler-Gleichung:

Einseitige Synchronisation Phasendynamik Wenn gilt: Phasendifferenz wird konstant (Phase Locking) stabil instabil

Einseitige Synchronisation Phasendynamik Arnold-Zunge

Einseitige Synchronisation Phasendynamik Übergang zur Synchronisation Beat Frequency:

Einseitige Synchronisation Phasendynamik Vorstellung als Potential Ohne Kopplung Synchronisation Kopplung zu schwach

Synchronisation höherer Ordnung Stroboskopische Beobachtung Bisher: Synchronisation auf selbe Frequenz Auch möglich: rationales Verhältnis Betrachtung: Stroboskopisch Zeitintervall wie Periode T des antreibenden Systems

Synchronisation höherer Ordnung Impulsanregung

Synchronisation höherer Ordnung Arnoldzungen für höhere Ordnungen

Synchronisation höherer Ordnung „Teufelstreppe“

Synchronisation höherer Ordnung Genauere Definition von Synchronisation Frequency Locking: Phase Locking:

Globale Synchronisation Eigenschaften Oszillatoren „einigen“ sich auf gemeinsame Frequenz Quenching möglich: „Tod der Oszillationen“

Globale Synchronisation Kuramoto-Modell Für zwei Oszillatoren: Änderung der Phase für N Oszillatoren:

Globale Synchronisation Änderung der Phase bei N Oszillatoren ergibt sich zu: Oszillator wird von einem „mittlerem Feld“ getrieben Mittlere Amplitude: Mittlere Phase:

Chaotische Oszillatoren Phasensynchronisation Problem: Wie führen wir die Periodendauer ein?

Chaotische Oszillatoren Ähnelt einem Oszillator überlagert mit Rauschen Potentialbild: Kraft darf nicht zu groß aber auch nicht zu klein sein!

Chaotische Oszillatoren Complete Synchronization Betrachte zwei identische Systeme