Optische Bistabilität

Name: Optische Bistabilität
Uploaded: 2017-12-24T20:09:23+00:00
Duration: PTM32S52
Channel: Ottoline Laich
Description: Optische Bistabilität

Optische Bistabilität
Andrea Sengebusch – Alexander Hause

Inhalt Einführung Theoretische Grundlagen
Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Resonator dispersive Bistabilität absorptive Bistabilität mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Beschreibung Bonifacio-Lugiato-Modell Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

Einführung Output Input n1 n2
Bistabiliät beschreibt ein System, das für ein definiertes Eingangssignal zwei mögliche Ausgangszustände einnehmen kann Diese sind abhängig von der Vorgeschichte des Systems Bistabilitäten treten auf unter zwei Voraussetzungen auf: Nichtlineares Medium Feedback Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Output Input n1 n2

Einführung Bei OB wird Licht durch ein nichtlineares optisches Medium geleitet Die Ausgangsintensität in Abhängigkeit der Eingangsintensität folgt einer Hysterese, die zwei stabile Zustände aufweist Diese Zustände können je nach Verlauf des Eingangssignals eingestellt werden Dies eröffnet die Möglichkeit, diese Systeme als optische Speicher bzw. Schalter o.ä. zu benutzen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

Theoretische Grundlagen
Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Maxwell-Gleichungen

Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Wellen-Gleichung Aufspaltung in longitudinalen und transversalen Anteil Ansatz der ebenen Welle Ausbreitung in z-Richtung

Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Einsetzen des Ansatzes und Durchführung der ausführbaren Ableitungen führt zu transversaler und longitudinaler Feldgleichung Kopplung der Gleichungen durch den grad div-Term:

Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben gekoppelte Feldgleichungen: Transversaler Anteil Longitudinaler Anteil

Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Näherung: - in erster Näherung ist der longitudinale Anteil der Felder zu vernachlässigen grad div = 0  Kopplung entfällt = Hintergrund-DK

Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Resultierende Feldgleichung: Dispersionsrelation: Linearisierung bzgl ergibt:

Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Einführung von Absorption und Brechungsindex: Materialgrößen: Absorption relative Brechungsindexänderung

Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Transversale Feldgleichung:

Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Der Resonator stellt die Rückkopplung dar. Aufspaltung in vorwärts und rückwärts laufende Welle:

Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Randbedingungen für den Resonator: = Phasenverschiebung nach einem Umlauf = effektiver Absorptionskoeffizient  sind aus der Feldgleichung zu bestimmen

Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Transmission: - Felder - Intensitäten mit

Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Zerlegen der Feldgleichung Einsetzen und Aufspaltung in Real- und Imaginärteil

Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Dies führt zu: DGL für Amplitude und Phase:

Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Lösung der DGL mit adiabatischer Elimination der Dynamik (Zeitableitungen = 0) d.h. Umlaufzeit im Resonator << Relaxationszeit der angeregten Zustände („bad cavity limit“)

Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Einsetzen der Felder für z = L liefert die Konstanten der Transmission Absorption und Brechungsindexänderung sind i.a. abhängig von der Ladungsträgerdichte N (HL: e-h-pair). Eine starke Diffusion verhindert eine räumliche N-Abhängigkeit und somit Eine z-Abhängigkeit von und

Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Neben dem bisher betrachteten kann es auch zu intensitätsunabhängigen Phasenverschiebungen, wie z.B. Phasensprüngen an den Grenzflächen, kommen = Transmission(Intensitäten)

Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Mittlere Intensität mit ergibt sich eine zweite Bedingungsgleichung für den Resonator Transmission geht linear mit der mittleren Intensität, die Eingangsintensität bestimmt den Anstieg der Geraden.

Dispersive Bistabilität
Feedback: Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Intensitätsabhängigkeit des Brechungsindexes dominant (Airy-Funktionen) Ansatz: Absorption näherungsweise unabhängig von der Intensität Aufspaltung der Phase in einen von der Intensität abhängigen und unabhängigen Teil

Feedback: Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Phase ~ mittlere Intensität Die Lösung lässt sich graphisch als Schnittpunkte der beiden Gleichungen für die Transmission bestimmen. Bereiche mit nur einem Schnittpunkt haben nur eine stabile Lösung, aber für Bereiche mit 2 oder 3 Schnittpunkten sind mehrere Zustände einnehmbar.

Feedback: Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Die Eingangs-Ausgangs-Intensitäts-Kurve weist drei Äste auf, jedoch sind nur der obere (BC) und untere (DA) stabil. Der mittlere stellt zwar auch stationäre Zustände dar, befindet sich aber nur im labilen Gleichgewicht, kleinste Abweichungen führen dazu, dass der obere oder untere Zustand eingenommen wird.

Absorptive Bistabilität
Feedback: Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Intensitätsabhängigkeit des Absorptionskoeffizienten dominant, System in Resonanz (keine Phasenverschiebung)

Feedback: Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Abschwächung der Absorption mit: Das Material wird „durchsichtiger“ mit Erhöhung der Eingangsintensität, da durch die Absorption viele Ladungsträger angeregt sind und für weitere Absorption nicht mehr zur Verfügung stehen = Sättigungsintensität des Mediums

Feedback: Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben graphische Lösung Schnittpunktlösung analog zur dispersiven Bistabilität

Feedback: Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

ohne Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Bei Halbleitern, deren Absorption mit der eingestrahlten Intensität steigt, ist kein Resonator bzw. äußeres Feedback von Nöten. Es ist ein internes Feedback vorhanden. Das Medium wird nur einmal durchlaufen. Für die zunehmende Absorption in Abhängigkeit von der Ladungsträgerdichte wird folgendes einfaches Modell gewählt:

ohne Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Die sprunghafte Änderung der Absorption folgt aus der Absenkung der Bandkante im HL. Auch für Energien kleiner als die Gap-Energie werden Ladungsträgerpaare erzeugt. Dadurch verringert sich die Bandlücke, bis die Photonenenergie gleich der Anregungsenergie der Excitonen ist. Es kommt zu einer starken Erhöhung der Ladungsträgerdichte und damit der Absorption. Absorption in Abhängigkeit von der Ladungsträgerdichte

ohne Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Intensität und Ladungsträgerdichte sind gekoppelt über die Bilanzgleichung der Ladungsträgerdichte: mit = Diffusionskoeffizient = Relaxationszeit Ansatz: stationär, räumlich homogen monochromatische Einstrahlung

ohne Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Dies führt zu: Graphische Darstellung

ohne Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Invertierte Funktion N(I) Die Dichte N(I) springt mit der Intensität, da der Teil der Kurve mit negativem Anstieg nicht stabil ist. mit folgt für die Absorption, dass auch diese in Abh. von der Intensität ein Hystereseverhalten aufweist.

ohne Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Bestimmung des Transmissionsverhaltens Aus der Feldgleichung kann die Intensität bestimmt werden: Es folgt die Intensitätsgleichung mit:

ohne Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Allgemeine Lösung dieser partiellen DGL: Für die Ausbreitung im Vakuum gilt: Analog gilt für das Medium: Transmittierte Intensität:

ohne Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Mittlere Intensität: Annahme: „dünnes Plättchen“ d.h. Pulslänge l >> Plättchendicke L

ohne Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Damit:  Das Hystereseverhalten der Absorption überträgt sich auf

ohne Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Graphische Lösung Transmission weiterhin Im einfachsten Fall besteht eine lineare Abhängigkeit von und A ist dabei der absorbierte Anteil der Intensität. w ist dabei eine dimensionsbehaftete Proportionalitätskonstante

ohne Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Graphische Lösung

Potentialtopf-Beschreibung
Bonifacio-Lugiato-Modell Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Ein weiterer Zugang zur Bistabilität führt über die Potentialbeschreibung der Systemdynamik. Im Folgenden beschränken wir uns auf das Potential-Modell von Bonifacio und Lugiato. Mit y als Input- und x als Output-Parameter kann ein bistabiles System durch eine eindimensionale DGL beschrieben werden. Wenn eine stetige Funktion für alle y ist, lässt sich das dynamische Verhalten des Systems durch die Bewegung eines Teilchens in einem Potential V veranschaulichen. Stabile Zustände des Systems werden durch die Extrema des Potentials bestimmt.

Bonifacio-Lugiato-Modell Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Bonifacio/Lugiato: mean-field-Theorie für absorptive BS Input y Output x Typische Hysterese für C>4 Output x Input y

Bonifacio-Lugiato-Modell Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Output x

Critical Slowing Down (CSD) Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben CSD ist wohlbekannt für Phasenübergänge und beschreibt die Übergangsgeschwindigkeit zwischen den stabilen Zuständen in Abhängigkeit von der Entfernung vom kritischen Punkt. = Response-Zeit, Zeit die benötigt wird um 1/e des Wertes des stabilen Zustandes zu erreichen Für Input-Werte nahe eines Umschaltpunktes, zeigt das Potential ein Plateau  langsame Dynamik, System braucht viel Zeit um stabilen Zustand zu erreichen (Divergenz genau am kritischen Punkt) Mit wachsendem Input wird das Potential steiler und die Verzögerung wird kleiner.

Critical Slowing Down (CSD) Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Experimentelle Beobachtung Das CSD wurde u.a. Anfang der 80er Jahre von F.Mitschke et al. untersucht. Experimenteller Aufbau Als Mechanismus zur Erzeugung der Nichtlinearität wird transversales optisches Pumpen zwischen Zeeman-Niveaus eingesetzt. Das Experiment wurde durchgeführt mit einem Resonator, der mit Natrium-Atomen gefüllt war.

Critical Slowing Down (CSD) Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Experimentelle Beobachtung Sprungverzögerungen bis in den ms-Bereich waren messbar.

Zusammenfassung Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben -Es gibt bei der OB zwei stabile Zustände in Abhängigkeit von der Eingangsintensität und der Vorgeschichte des Systems -die Ausgangsintensität folgt einer Hysterese OB benötigt zwei Voraussetzungen: opt. nichtlineares Medium Feedback (intern oder Resonator) Es existieren je nach Art der Nichtlinearität zwei Formen der OB: absorptive Bistabilität dispersive Bistabilität Nutzungsmöglichkeiten: opt. Speicher, opt. Schalter

Literaturangaben Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben H.Haug, S.Koch, Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors, World Sientific (1990) H.Gibbs, Optical Bistability: Controlling Light with Light, Academic Press (1985) C.F.Klingshirn, Semiconductor optics, Springer (1995) F.Mitschke, C.Boden, W.Lange and P.Mandel, exploring the dynamics of the unstable branch of bistable systems, optics communications vol.71 no. 6 (1989)

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