Forschungsstrategien Johannes Gutenberg Universität Mainz Evaluation & Forschungsstrategien Seminar WS2011/12 Prof. Dr. G. Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz

Sampling - Modellvorstellung Prinzipien des statistischen Schliessens Sampling - Modellvorstellung Population Kennwerte Sampling Stichprobe Theoretische Statistik Welche Verteilung von Kennwerten wird sich ergeben, Wenn man den Sampling Vorgang unendlich oft wiederholt? Herleitung der Kennwerte-Verteilung (Sampling – Distribution) und Beschreibung ihrer Parameter. Methoden zur Schätzung der Parameter aus Stichprobendaten sowohl für univariate, als auch für multivariate Kennwerteverteilungen

Sampling - Modellvorstellung Sampling Distribution (1D) Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Sampling - Modellvorstellung Sampling Distribution (1D) Population Bilde Mittelwert Stichprobe des Umfangs n 1. - mal: 2. - mal: k. - mal: k- maliges Samplen von Stichproben derselben Größe n und Berechnen der Stichprobenmittelwerte führt auf eine Verteilung von Stichprobenmittelwerten (Sampling – Distribution)

Sampling - Modellvorstellung Mittelwerte Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Sampling - Modellvorstellung Mittelwerte Population Verteilung von Stichprobenmitteln k - Stichproben des Umfangs n „Sampling Distribution“ Erwartungswert Erwartungswert Erwartungstreue Die Sampling Distribution hat denselben Erwartungswert wie die Population, aus der die Stichproben gezogen wurden. Schätzstatistiken, die denselben Erwartungswert haben wie die Population, heissen erwartungstreu. Stichprobenmittelwerte sind erwartungstreue Schätzungen des Populationsparameters m

Sampling - Modellvorstellung Varianz Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Sampling - Modellvorstellung Varianz Population Verteilung von Stichprobenvarianzen k - Stichproben des Umfangs n Varianz Erwartungstreue: Die Stichprobenvarianz unterschätzt die Populationsvarianz tendenziell: Stichprobenvarianzen sind keine erwartungstreuen Schätzungen des Populationsvarianz s2

Sampling - Modellvorstellung Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Sampling - Modellvorstellung Bias-Faktor Der Bias bei der Schätzung der Pop.Varianz aus der Stichprobenvarianz ist die Varianz der Stichprobenmittelwerte. Erwartungstreue: Die Stichprobenvarianz berechnet aus korrigiertem Umfang n-1 ist eine erwartungstreue Schätzung der Populationsvarianz

Central Limit Theorem 1. 2. Theoretische Sampling Distribution Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Central Limit Theorem Die Verteilung von Sampling-Mittelwerten nähern sich mit wachsendem Umfang der Sample-Stichproben einer Normalverteilung an. Für n > 30 ist die Approximation schon gut. m+s 0.00 0.05 0.10 Wahrscheinlichkeitsdichte m m+2s m-s m-2s Es gilt: 1. 2. Theoretische Sampling Distribution Die theoretische Sampling Distribution ist die Grundlage des statistischen Schliessens. Aussagen über den Zusammenhang von Stichprobenmittelwerten und Populationen werden mithilfe dieser Verteilung gewonnen (Inferenzstatistischer Schluss).

Anwendung 1. Konfidenz- Intervalle 2. WK- Aussagen z- Verteilung Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Anwendung 1. Konfidenz- Intervalle 2. WK- Aussagen Man habe einen Mittelwert aus einer Stichprobe der Größe n vorliegen. In welchem Bereich um den Mittelwert kann man den Populationsparameter m mit der Wahrscheinlichkeit 1-a erwarten? Der Populationsparameter m sei bekannt. In welchem Bereich um ihn liegen Mittelwerte mit der Wahrscheinlichkeit 1-a? z- Verteilung Mit Y der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Für n < 50 sollte die t- Verteilung mit df = n – 1 verwendet werden.

t - und F-Test t2 – F- Äquivalenz Test- Äquivalenz: Bemerke: Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Hypothesen t - und F-Test H0: m = m0 H1: m ¹ m0 mit Es gilt t2 – F- Äquivalenz Äquivalenz von t- und F- Test Test- Äquivalenz: Eine zweiseitige Wahrscheinlichkeitsbestimmung auf der t – Verteilung ist der (grundsätzlich einseitigen) Wahrscheinlichkeitsbestimmung auf der F - Verteilung äquivalent. Bemerke:

t- Test für unabhängige Stichproben Univariate Mittelwertevergleiche t- Test für unabhängige Stichproben Hypothese (ungerichtet) H0: Der Erwartungswert der Differenzen von Mittelwerten ist Null Sampling Distribution Es gilt: 1. 0.10 2. wird geschätzt aus beiden Stichproben Beide etwa schwellenhalbierung, gitterlerner etwas lt (schwelle fällt auf 75%), bar lerner weniger(auf nur 90%). Bevor man das weiter inferenzstatistisch untersucht und Interpretiert sollte man sich ein 2. Maß ansehen…. 3. ist t- verteilt. Wahrscheinlichkeitsdichte 0.05 0.00 [t-Test ausführlich?]

t- Test für unabhängige Stichproben Univariate Mittelwertevergleiche t- Test für unabhängige Stichproben Statistik Entscheidung: Prüfgrösse t- verteilt mit n0 + n1 – 2 Freiheitsgraden a) Krit. t-Wert Ablehnung von H0, sonst Beibehaltung b) Überschreit- ungs-WK oder Ablehnung von H0, sonst Beibehaltung Beide etwa schwellenhalbierung, gitterlerner etwas lt (schwelle fällt auf 75%), bar lerner weniger(auf nur 90%). Bevor man das weiter inferenzstatistisch untersucht und Interpretiert sollte man sich ein 2. Maß ansehen…. Voraussetzung Für n0 + n1 < 50 normalverteilte Stichprobendaten Homogene Stichprobenvarianzen Unabhängige Messeinheiten innerhalb und zwischen den Samples.

t- Test für abhängige Stichproben Univariate Mittelwertevergleiche t- Test für abhängige Stichproben Hypothese (ungerichtet) H0: Der Erwartungswert der Mittelwerte von Differenzen ist Null Sampling Distribution Es gilt: 1. 0.10 2. wird geschätzt aus Differenzenstichprobe Beide etwa schwellenhalbierung, gitterlerner etwas lt (schwelle fällt auf 75%), bar lerner weniger(auf nur 90%). Bevor man das weiter inferenzstatistisch untersucht und Interpretiert sollte man sich ein 2. Maß ansehen…. 3. ist t- verteilt. Wahrscheinlichkeitsdichte 0.05 0.00

t- Test für abhängige Stichproben Univariate Mittelwertevergleiche t- Test für abhängige Stichproben Statistik Entscheidung: Prüfgrösse t- verteilt mit n – 1 Freiheitsgraden (n = Anzahl Paare) a) Krit. t-Wert Ablehnung von H0, sonst Beibehaltung b) Überschreit- ungs-WK oder Ablehnung von H0, sonst Beibehaltung Beide etwa schwellenhalbierung, gitterlerner etwas lt (schwelle fällt auf 75%), bar lerner weniger(auf nur 90%). Bevor man das weiter inferenzstatistisch untersucht und Interpretiert sollte man sich ein 2. Maß ansehen…. Voraussetzung Für n < 30 normalverteilte Stichprobendaten Homogene Stichprobenvarianzen müssen nicht vorliegen Korrelation der Meßreihen erhöht die Teststärke.

Sample Meßeinheiten Sampling- Distribution Test-Statistik Univariate und multivariate Mittelwertevergleiche Sample univariat multivariat Meßeinheiten unabhängig abhängig unabhängig abhängig Sampling- Distribution Differenzen von Mittelwerten gepoolte Varianzen Mittelwerte von Differenzen Differenzvektor von Centroiden Gepoolte Var-Covar Mat. Centroide von Differenz- vektoren Test-Statistik t t T2 T2 Multivariate Mittelwertsvergleiche sind die direkte Entsprechung zu univariaten Vergleichen. Es gelten dieselben Prinzipien, lediglich angewendet auf mehrstellige Mittelwerte-Vektoren und Varianz-Covarianz Matrizen statt Varianzen.