Komplexe Zahlen und Fourier-Transformation Mathematische Grundlage

Inhalt Exponentialschreibweise eines Vektors Eulersche Beziehung Fourier Transformation

Anwendung der komplexen Zahlen: Der Strukturfaktor Strukturfaktor: für periodische Objekte Summation über die Atome in der Elementarzelle, Koordinaten der Atome, Basis dazu sind die Translations-Vektoren des Gitters Koordinaten des Streuvektors, Basis dazu ist das zu den Translations-Vektoren reziproke Gitter

Geeignete Codierung von Betrag und Winkel: Komplexe Zahl Komplexe Zahlen Imaginäre Zahlen Länge des Vektors: │F│ Phasenwinkel φ Reelle Zahlen Sinnvoll, wenn zwei Größen, Betrag und Winkel, mitzuteilen sind: erfordert einen Vektor mit zwei Komponenten Geeignete Codierung von Betrag und Winkel: Komplexe Zahl

Die Eulersche Beziehung Exponentialschreibweise: Betrag und Phase sind explizit zu sehen. 1 Kartesische Komponenten Eulersche Beziehung Formulierung von Sinus und Kosinus mit Hilfe der Eulerschen Beziehung

Die Fourier Transformation 1 Dichte – Funktion, x x 1 m Orts Koordinate Fourier - Transformierte der Dichte h 1/m Reziproke Koordinate

Fourier Rück-Transformation 1 Rück-Transformation zur Dichte

Bedingung für die Existenz der Fourier-Transformierten 6 2 3 4 5 1 x f(x) Fourier-Transformierbar Das Definitionsintervall kann in endlich viele Intervalle unterteilt werden, in denen f(x) stetig und monoton ist. An jeder Unstetigkeitsstelle xν sind die Grenzwerte zu beiden Seiten definiert Das Integral konvergiere

Fourier-Transformierte für eine Konstante f(x) Nicht Fourier-Transformierbar x 6 2 3 4 5 1 Das Definitionsintervall kann in endlich viele Intervalle unterteilt werden, in denen f(x) stetig und monoton ist. An jeder Unstetigkeitsstelle xν sind die Grenzwerte zu beiden Seiten definiert Das Integral konvergiert „gerade nicht mehr“ Abhilfe: Multiplikation mit einem konvergenzerzeugenden Faktor, z. B mit einer Gauß-Funktion

Gauß – Kurven mit Fläche „1“ und unterschiedlichen Halbwertsbreiten f(x) x „2 σ“ = w =10, w =2

Fourier Transformierte der Gaußkurven F | h | h Transformierte zu w =10, w = 2 Der Phasenwinkel ist konstant Null

Übergang Gaußkurve zur δ Funktion und ihre Transformierte Grenzwert der Gaußkurve mit Fläche 1 bei w  0 ist die δ-Funktion bei 0 Gauß Kurve, die „immer schmaler und höher“ wird Die Fourier-Transformierte der δ-Funktion ist eine Konstante

Zusammenfassung Die komplexe Exponentialschreibweise ist zur Mitteilung von Betrag |F| und Winkel φ geeignet F = |F|·EXP(i·φ) Die Eulersche Beziehung verknüpft cos und sin Funktionen mit EXP(i·φ) cos(φ) = ½ (EXP(i·φ) + EXP(-i·φ)) i·sin(φ) = ½ (EXP(i·φ) - EXP(-i·φ)) Die Fourier-Transformation zerlegt eine beliebige Funktion f(x) in harmonische Anteile: F(h) = ∫ f(x) EXP(2πihx) dx f(x) = ∫ F(h) EXP(-2πihx) dh Grenzen der Integration jeweils von -∞ bis +∞

Die Fourier-Transformierte der δ-Funktion bei 0 ist eine Konstante finis Grenzwert der Gaußkurve mit Fläche 1 bei w  0 ist die δ-Funktion bei 0 Gauß Kurve, die „immer schmaler und höher“ wird Die Fourier-Transformierte der δ-Funktion bei 0 ist eine Konstante