Beugung an Streuzentren

Präsentation zum Thema: "Beugung an Streuzentren"—  Präsentation transkript:

1 Beugung an Streuzentren
Berechnung der Phasen nach dem Huygensschen Prinzip

2 Inhalt Kohärente Streuung an N Streuzentren angeordnet in
einer Dimension (Kette) drei Dimensionen (Raumgitter)

3 Streuung an mehreren punktförmigen Streuzentren

4 Summation der von den Streuzentren ausgehenden Amplituden

5 Wahl des Koordinatensystems
Streuamplitude, Formulierung mit Orts- und Streuvektor Als kovarianter Basisvektor a1 wird der Abstandsvektor der Streuzentren gewählt Streuvektor im reziproken System Streuamplitude, Formulierung mit direkten und reziproken Koordinaten

6 Das Skalarprodukt im Exponenten sieht immer aus „wie orthonormiert“
Vorteile der nicht orthonormierten Koordinatensystems bei ko- und kontravarianten Basen Das Skalarprodukt im Exponenten sieht immer aus „wie orthonormiert“ Die Koordinaten sind dimensionslose Zahlen Die Bedingung für maximale Streuamplitude, ganzzahliges h1, ist unmittelbar zu erkennen Aber: Verbindung zum Experiment nicht unmittelbar ersichtlich, denn die Koordinate h1 ist eine abstrakte Zahl, keine Messgröße

7 Verbindung zum Experiment: Die Braggsche Gleichung
Streudreieck, k0, k1 sind Messgrößen Braggsche Gleichung Streuvektor, Aufstellung in reziproker Basis Betrag des Streuvektors In triklinen Systemen nicht trivial zu berechnen

8 Eigenschaften der Streuamplitude
Bei ganzzahligen reziproken Koordinaten Verstärkung der Streuamplitude um den Faktor N, der Anzahl der Streuzentren Sonst: praktisch verschwindende Amplitude Genaue Rechnung: Geometrische Reihe

9 Berechnung der Streuamplitude für beliebige Werte von h
Geometrische Reihe, Ausklammern von und Nutzung der Eulerschen Beziehung Der Phasenfaktor ist ohne Bedeutung, weil die Intensität das Quadrat des Betrages der Amplitude ist

10 Verlauf der Streuamplitude für 5 Streuzentren

11 Beispiel: Beugung an einer eindimensionalen Struktur
Verkleinerung bis zur „Fraunhofer Beugung“

12 Die Braggsche Gleichung
Streuvektor Zusammenhang zwischen dem Streuwinkel und dem Streuvektor: „Braggsche Gleichung“

13 Darstellung im reziproken Raum: Ewald Konstruktion
h k1 k0 Ursprung der reziproken Koordinaten Ebene mit h1=1

14 Darstellung im reziproken Raum: Ewald Konstruktion
h k1 k0 Ursprung der reziproken Koordinaten Ebene mit h1=1 Es gibt keine realen Objekte im reziproken Raum

15 Berechnung der Beugungswinkel
Braggsche Gleichung, daraus folgt: Bedingung für die Koeffizienten h2 h3 bei gegebenem h1 a1* =1/a h1 = n für maximale Intensität Maxima unter dem Beugungswinkel θ liegen auf dem Umfang einer Kreisscheibe, die aus der Ebene durch n∙ a* senkrecht zu a* von einer Kugel mit Radius 1/ λ ausgeschnitten wird.

16 Streuung an dreidimensional periodisch angeordneten Streuzentren

17 Berechnung der Streuamplitude
Streuamplitude, Summation über alle Streuer Streuvektor im reziproken System aufgestellt, Basis Skalarprodukt Die Amplitude ist das Produkt über drei geometrische Reihen Bedingung für maximalen Betrag der Intensität in periodischen Gittern: Streuvektor mit ganzzahligen Komponenten Huygenssches Prinzip

18 Gitter mit mehren Streuzentren in einer Zelle
Gitter mit einem Teilchen pro Elementarzelle Elementarzelle mit zwei Teilchen pro Elementarzelle

19 Die Summation über die Teilwellen nach Huygens ist eine lineare Operation: Zwei Teilchen pro Zelle, z. B., verdoppeln die Summen Huygenssches Prinzip Streuamplitude, Summation über alle Streuer Ortsvektor zu jedem Streuer Streuvektor mit Basis Basis: Translationsvektoren Basis: reziprok zu den Translationsvektoren Im Gitter: Intensität nur für ganzzahlige h1 h2h3 Strukturfaktor für n identische Streuzentren in einer Elementarzelle

20 Der Strukturfaktor Strukturfaktor für n identische Streuzentren in einer Elementarzelle (ganzzahlige h, k, l ) Ortsvektor zum Streuer innerhalb der Zelle Skalarprodukt zwischen Orts- und Streuvektor Strukturfaktor, nur gültig für Streuvektoren mit ganzzahligen Koeffizienten h, k, l Basis: Translationsvektoren Invariantes Produkt aus direkten u. reziproken Koordinaten

21 Der Atomformfaktor Strukturfaktor
Der Atomformfaktor berücksichtigt die individuelle Streukraft für jedes Streuzentrum der Sorte

22 Übung Berechnung des Strukturfaktors für das Diamant-Gitter (a=0,3567 nm) Interpretation der Information der Internationalen Tabellen für Kristallographie

23 Zusammenfassung Kohärente Strahlung ist die Voraussetzung aller „Beugungsbilder“ Addition der Amplituden nach dem Huygensschen Prinzip gilt für zwei wie für N beliebig angeordnete Streuzentren Im periodischen Gitter gibt es ein bevorzugtes Koordinatensystem, Basisvektoren sind die kürzesten Translationsvektoren Formulierung des Streuvektors in der dazu „reziproken Basis“ zeichnet Gitterpunkte mit ganzzahligen Indizes aus: Amplitudenverstärkung um den Faktor der Elementarzellen Sonst: praktisch verschwindende Intensität Verbindung mit dem Experiment bringt das Streudreieck, daraus folgt die Braggsche Gleichung

24 finis