3.2 und 3.2.1: Räumliches Sehen und Koordinaten und Vektoren

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1 3.2 und 3.2.1: Räumliches Sehen und Koordinaten und Vektoren
David Rival 3.2 und 3.2.1: Räumliches Sehen und Koordinaten und Vektoren Quelle: „Spieleprogrammierung mit DirectX und C++“, U. Kaiser und P. Lensing, Galileo Computing (2007)

2 3.1 Räumliches sehen Mit 2 Augen werden 2 leicht unterschiedliche 2 Dimensionale Bilder erfasst . Aus den Differenzen der beiden Einzelbilder wird die fehlende Tiefeninformation zurück gewonnen und 3D. Verdeckung Perspektive, Tiefe aus dem Verlauf der Kanten Beleuchtung- Schattenwurf Flächenschatten und Schlagschatten Glanzpunkte ( besonders bei gekrümmten Formen in Verbindung mit Flächenschatten) Bewegung ( die Szene, der Blick des Betrachters)

3 3.2.1 Koordinaten und Vektoren (S.139)
Gebundener Vektor als ein Pfeil vom Kreuzungspunkt der beiden Achsen zum Punkt

4 Die Länge des Vektors (S.140)
Die Länge (Betrag) des Vektors Multiplikation des Vektors v mit einem Faktor c (Skalar) Veränderung der Länge durch Veränderung des Faktors

5 Addition von 2 Vektoren (S.141)
Addition von Vektor v1 = ( a1, b1 ) und v2 = ( a2, b2 ) v1 + v2 = (a1, b1) + (a2, b2) = ( a1 + a2, b1 + b2 ) Beide Pfeile laufen zusammen zum Ergebnisvektor:

6 Polarkoordinatendarstellung (S.141)
Beschreibung des Vektors durch seine Länge ‚r‘ und den Winkel ‚α‘ Berechnung der Vektoren durch die Einheitsvektoren e1 = ( 1,0) und e2 = (0,1) e1 und e2 stehen senkrecht aufeinander und haben die Länge 1 Durch Addition, Multiplikation und Skalar kann jeder Vektor der Ebene berechnet werden

7 Winkelmessung (S.142) Messung im Bogenmaß mit Radius = 1 Umfang 2 ת
Jedem Winkel lässt sich ein Bogenmaß zwischen 0 und 2 ת zuordnen Zusammenhang zwischen Winkel ‘ α ‚ und den Achsenabschnitten

8 Sinus und Cosinus beschreiben die Achsenabschnitte (S.143/1)
Die Sinus- und die Cosinus-Funktionen beschreiben die Achsenabschnitte eines im Abstand 1 um den Koordinatenursprung umlaufenden Punktes P in Abhängigkeit vom Winkel α, den die Linie vom Ursprung bis zu diesem Punkt mit der x-Achse bildet. p = ( x,y ) = ( cos(α), sin(α))

9 Radius mit beliebiger Größe (S.143/2)
Ändern des Radius auf eine beliebige Größe r v = r * ( cos(α), sin(α)) Sinus und Cosinus Funktionen geben die x und y Koordinaten eines Vektors, wenn die Polarkoordinaten bekannt sind.

10 Berechnung der Länge (S.144)
Wenn α und r gesucht sind (Polarkoordinaten) Berechnung der Länge mit der Formel des Pythagoras. Berechnung des Quotienten x / y Wird als Tangens des Winels α bezeichnet.

11 Berechnung von α (S.145/1) Wenn x > 0 , dann liegt der gesuchte Bereich um den Ursprung , zwischen – ת/2 und ת/2.

12 Berechnung von α (S.145/2) Der Bereich zwischen – ת/2 und ת/2 läst sich durch die Umkehrfunktion des Tangens, Arcustangens berechnen. Die Funktion wird ermittelt durch Spiegeln des mittleren Asts der Tangensfunktion an der geraden y = x. Für positive Werte von x

13 Berechnung von α (S.146/1) Wenn x < 0, wird der „gegenüber“ liegende Punkt mit den Achsenabschnitten –x und –y betrachtet. Falls x = 0, entscheidet y,

14 Projektion eines Vektors auf einen anderen. (S.146)
2 Vektoren a und b in ihrer Polarkoordinatendarstellung Zwischen Vektoren b und a ist der Winkel α – β

15 Skalarprodukt (S.147) Zwischen Vektoren b und a ist der Winkel α – β
Die Länge l der Projektion des Vektors a auf den Vektor b wird wie folgt berechnet: l = ║a║ * cos ( α – β ) Durch Multiplikation mit b / ║b║ erhalten wir einen Vektor der parallel zu b ist und die Länge hat. Das Ergebnis wird mit ║b║ erweitert: Das Skalarprodukt: ║a║ * ║b║ * cos ( α – β ) = <a,b> Die Projektion a auf b durch: <a,b> / ║b║² * b Einfacher: <a,b> = a1 * b1 + a2 * b2

16 (S.148/1) Projektion des Vektors a auf b
Wenn 2 V. senkrecht stehen, dann hat die Projektion die Länge = 0 ( <a,b> mit Länge=0) Da die Proj. Eines V. auf sich selbst seiner Länge entspricht. Zerlegung eines Vektors bezüglich anderer Vektoren mit dem Skalarprodukt.

17 Zerlegung eines Vektors (S.148/2)
Zerlegung des Vektors w (1,2) bezüglich der Vektoren v1 (-1,2) und v2 (2,1) Die Probe: