K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 1. Vorlesung (15.4.) Kolmogorov-Axiome Mathematische Definition von Wahrscheinlichkeit (damit ist aber noch keine Bedeutung/Interpretation von W. impliziert) Menge S von “Ereignissen” (Stichprobenraum) Jeder Untermenge A von S wird eine reelle Zahl P(A) zugewiesen P(A) = Wahrscheinlichkeit von A so dass gilt für jede Untermenge A von S ist P(A)  0 P(S) = 1 für disjunkte Untermengen A und B (d.h. für AB=Ø) ist P(AB) = P(A) + P(B) K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 1. Vorlesung (15.4.) Statistische Unabhängigkeit A und B heißen statistisch unabhängig (oder unkorreliert) genau dann wenn P(AB) = P(A)P(B) Das bedeutet, dass die Zugehörigkeit eines Ereignisses zu A nichts aussagt darüber, ob es auch zu B gehört oder nicht Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit für A wenn B gegeben ist: Bayes-Theorem: K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 1. Vorlesung (15.4.) Häufigkeits-Interpretation von Wahrscheinlichkeit: relative Häufigkeit eines Ergebnisses einer Messung (Ereignis) im Grenzwert unendlich vieler Wiederholungen dieser Messung Dies ist die Interpretation von Wahrscheinlichkeit in der Quantenmechanik in der statistischen Mechanik Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A (k = Anzahl der Ereignisse k in n Messungen) Alternative Interpretation: subjektive Wahrscheinlichkeit “Bayes-Statistik” (Aussage über den wahren Wert selbst, benötigt a-priori-Wahrscheinlichkeit) K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 1. Vorlesung (15.4.) Diskrete Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeit xi zu erhalten: P(xi) =: fi Kontinuierliche Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeit eine Messung im Intervall [x+dx] zu erhalten P([x+dx]) =: f(x) dx f(x) = Wahrscheinlichkeitsdichte mit (probability density function, p.d.f.) Kumulative Verteilungsfunktion: gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Messergebnis kleiner als x ist. K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 1. Vorlesung (15.4.) Quantil: Median: (50%-Wert) Wahrscheinlichster Wert (most probable value): Maximum vom f(x) Mittelwert (mean value): diskrete Verteilung: K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 1. Vorlesung (15.4.) Erwartungswert einer Funktion a(x): Für a(x) = x erhält man den Mittelwert Die Erwartungswerte von Potenzen von x heißen Momente einer p.d.f. Algebraische Momente: Zentrale Momente: Breite einer Verteilung: Varianz: Standardabweichung: (gleiche Einheit wie x, ) K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05