Mathematik für BiologInnen WS 05 A.o. Univ.-Prof. DI Dr. M. Hintermüller Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen Karl-Franzens Universität Graz

Beobachtungsdaten Skalentypen Nominale Merkmale Ordinale Merkmale Metrische Merkmale Arithmetischer Mittelwert, Standardfehler Gleitende Durchschnitte Mittlere Lebenserwartung

Skalentypen Nominale Merkmale Empirische Daten: Skalierung vor math. Behandlung notwendig. Einfachste Form: Objekteinteilung in Klassen aufgrund qualitativ versch. Merkmale – Klassifizierung. Nominalmerkmale: Merkmale, deren Ausprägung nur eine begriffliche Unterscheidung zulassen. Nominale Skala: Anordnung als Punkte einer Skala.

Skalentypen Einzig mögl. Rechneoperation: Abzählung der Objekte bestimmter Merkmalsprägung Anzahl: Absolute Häufigkeit Bsp.: Die Blutgruppe (AB0-System). Ausprägungen: A,B,AB und 0. Gesamt: N=10000 Personen. A 4323 B 1415 AB 602 3660

Skalentypen Block- oder Stabdiagram Relative Häufigkeit: A B AB

Skalentypen Wirkung -2 -1 +1 +2 #Pers. 2 4 5 9 Ordinale Merkmale Zusätzlich zu Nominalmerkmalen ist Ordnung nach einem Kriterium (Größe, Intensität,…) möglich – ordinales Merkmal oder Rangmerkmal. Ordinale Skala. Rangpositionierung mögl. Bsp.: Subjektive Beurteilung einer Therapiewirkung. N=25 Wie ist die Wirksamkeit der Therapie? Wirkung -2 -1 +1 +2 #Pers. 2 4 5 9

Skalentypen Arithmetische Mittelung nicht zulässig, da Addition der Merkmalsausprägung nicht erlaubt! Betrachte mittlere Position in Reihe der Merkmalsausprägungen in ansteigender Größe - Median. Im Bsp.: 13te Reihe mit Ausprägung +1. Bei einer geraden Anzahl an Merkmalsausprägungen: Median = durch 2 geteilte Summe aus den beiden mittleren Elementen in der geordneten Rangreihe.

Skalentypen Metrische Merkmale Messung = Vergleich der Ausprägung mit einer Maßeinheit. Metrische Skala = wiederholtes Auftragen der Maßeinheit. Die damit meßbaren Merkmale werden als metrisch bezeichnet. Z.B.: Zeit, Länge,… Intervallskalen: willkürlicher Nullpunkt (Zeitskala). Verhältnisskalen: absoluter Nullpunkt (Meterskala).

Arithm. MW, Standardfehler Meßreihe von N Werten, die sich durch N voneinander unabhängigen Messungen ergeben haben. Arithmetischer Mittelwert: Streuung der Meßwerte um den MW:

Arithm. MW, Standardfehler Varianz = mittlere quadrat. Abweichung der Meßwerte vom wahren Wert: Die Quadratwurzel der Varianz wird als Standardabweichung bezeichnet. Interpretation: Mittlerer Fehler der Einzelmessungen.

Gleitende Durchschnitte Glättung von Zeitreihen Zeitreihe: Folge von Beobachtungswerten, die an einem Merkmal X zu aufeinanderfolgenden (oft äqudistanten) Zeitpunkten gewonnen werden.

Gleitende Durchschnitte Glättung mit (2k+1)-gliedrigem Durchschnitt: Für berechne

Mittlere Lebenserwartung Datenmaterial: In einer Gruppe von Individuen, die einem gemeinsamen Ereignis ausgesetzt sind, wird die Zahl der Überlebenden im Laufe der Zeit registriert (z.B. Geburtenkohorte). Aussterben einer Geburtenkohorte von Tsetsefliegen Alter a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zahl 120 119 117 115 102 88 69 47 31 22

Mittlere Lebenserwartung Unterschiedl. Kohortengröße -> Normierung dch. Anfangsgröße (z.B. = 100 oder = 1). Lebensraten: Anzahl der Individuen der Kohorte, die im Altersintervall zw. a und a+1 sterben: Todesrisiko im Alter a: altersspezifische Sterberate

Mittlere Lebenserwartung Annahme: Ein im Altersintervall zw. a und a+1 sterbendes Individuum verlebt im Durchschnitt die halbe Zeiteinheit in diesem Intervall. Gesamtanzahl an Zeiteinheiten zw. a und a+1: Die das Alter a erlebenden Individuen verleben in den verbleibenden Zeitintervallen bis zum Aussterben:

Mittlere Lebenserwartung eines a Zeiteinheiten alten Individuums.

Mittlere Lebenserwartung Kohorten-Sterbetafel a 1000 8 650 1 992 17 555 2 975 464 3 958 108 113 371 …