Geostatistik in der Geoinformation II Kovarianzfunktionen & stochastische Prädiktion Referent: Jens Saatkamp Betreuer: Prof. Dr.-Ing. Wolf-Dieter Schuh Boris Kargoll

Meßreihe: Modellansatz Ort Meßwert l(Ort) Trend = Ax Signal + Rauschen =z+n l=Ax+z+n Meßwerte setzen sich zusammen aus: Trend: modellierbar mit determinis-tischem Modell (Andreas) stochastischem Signal Rauschen > zufällig 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Bezug zur Geoinformation Wo tritt so etwas in Geoinformations-systemen auf? Messungen / Ermittlungen von: Grundwasserständen Stoffkonzentrationen im Wasser geochemischen Variablen (Erzgehalte) topographischen Höhenmaßen Können über Ortskoordinaten räumlich eingeordnet werden. 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

GIS > stochastisches Signal Beispiel: Geländemodell große Gebirge > angenähert durch Trend kleine „Hügel" werden hier nicht erfaßt „Hügel“ einfach als zufällig verteilt angenommen = stochastisches Signal grober Trend feinere Betrachtung 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion Motivation Signal z(x) Problem: An einer Stelle fehlt eine Messung. Abhilfe: Wert dort rechnerisch vorhersagen = prädizieren! Bestimmen einer Funktion. Ort x Berechnen des Funktionswertes. 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Stochastischer Ansatz Meßwert annehmen als Realisierung einer Zufallsvariable, d.h. jeder Meßwert besitzt eine eigene Verteilungsfunktion Inwieweit sind die Meßwerte stochastisch voneinander abhängig = korreliert? Inwieweit hängt die Korrelation der Meßwerte vom Ort ab? Aufgabe: untersuchen des räumlichen Zusammenhangs Verteilungsfunktionen betrachten 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Grundlagen: Momente von Zufallsvariablen Erwartungswert: E {z(xi)}=mz Autokorrelation: rxixj=E {z(xi) * z(xj)} Erwartungswert des Produktes zweier Meßwerte aus einer Meßreihe Autokovarianz: Cov (xi, xj) = E {[z(xi) - mz} ] * [z(xj) - mz]} Erwartungswert des Produktes der Abweichungen zweier Meßwerte vom Mittelwert Sonderfall i=j: Varianz 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Schwache Stationarität die Meßreihe muß schwach stationär sein Mittelwert der Messungen unabhängig vom betrachteten Ort: mxi = const. Meßreihe schwankt um einen konstanten Wert hier: mxi = 0 Autokorrelation = Autokovarianz 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Schwache Stationarität Autokorrelation (hier =Autokovarianz) ist: nur abhängig vom Abstand zwischen den Meßstellen = relative Lage auf der x-Achse nicht abhängig von der absoluten Lage auf der x-Achse Cov (xi,xj) =Cov (|xj-xi|)=Cov(s) Definition: s= |xj-xi| Varianz ist endlich 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Wie den Zusammenhang ermitteln? Idee: Ermitteln einer Kovarianzfunktion 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion Diagramm Berechnung der Kovarianzen für alle möglichen Meßwertkombinationen nur „Nachbarwerte“ betrachten! d.h. weglassen aller Kovarianzen von Punkten, deren Abstand auf der x-Achse z.B. mehr als 100 beträgt Auftragen im Diagramm in Abhängigkeit vom Abstand s der Meßstellen untereinander s > Abstand zi*zj > Kovarianz 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion Klassenbildung s > Abstand zi*zj > Kovarianz Problem: keine Funktion erkennbar Lösung: Abstandsintervalle = Abstandsklassen 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion Mittelbildung s > Abstand zi*zj > Kovarianz Lösung: Abstandsintervalle = Abstandsklassen Bilden des Mittels in jeder Abstandsklasse für den Abstand 0 eigene Klasse bilden = Varianz 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion > Abstand zi*zj > Kovarianz Lösung: Abstandsintervalle = Abstandsklassen Bilden des Mittels in jeder Abstandsklasse empirische Kovarianz-funktion 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Mathematische Kovarianzfunktionen empirische Kovarianzfunktionen > diskrete Werte Wie erreicht man kontinuierliche Werte? mathematische Kovarianzfunktionen müssen positiv definit sein, d.h. positiv definite Kovarianzmatrizen erzeugen ermitteln z.B. mit einem Gauß-Markoff-Modell 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Ansätze für mathematische Kovarianzfunktionen Funktionen müssen positiv definit sein! Cov s Cov e-as e-as² s 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Ansätze für mathematische Kovarianzfunktionen Weitere Ansätze: Sinc-Funktion Funktionen der Form cos(as), sin(as) beliebige Linearkombinationen, Produkte, Quotienten der hier genannten Funktionen Cov sinc(as)= as sin as s 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Merkmale von Kovarianzfunktionen Amplitude maximale Kovarianz Cov s 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Merkmale von Kovarianzfunktionen Amplitude maximale Kovarianz Krümmung im Ursprung Veränderung bei unmittelbar benachbarten Meßwerten Cov s 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Merkmale von Kovarianzfunktionen Amplitude maximale Kovarianz Krümmung im Ursprung Veränderung bei unmittelbar benachbarten Meßwerten Halbwertsbreite Abstand, bis zu dem die Kovarianz auf die Hälfte zurückgeht Cov s 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Beispiel 1 Meßreihe über 560km jeden Kilometer eine Messung empirische Kovarianzfunktion mathematische Kovarianzfunktion 80*e-4,4*10-3*s² 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Beispiel 2 Meßreihe über 560km jeden Kilometer eine Messung empirische Kovarianzfunktion mathematische Kovarianzfunktion 50*e-1,2*10-3*s² 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion Anwendung Wie kann die ermittelte Kovarianzfunktion zur Prädiktion genutzt werden? Kollokation Kolmogoroff-Wiener-Prädiktion 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion Schätzfunktion Annahme: „wahre“ Funktion f(x) existiert für beliebige Orte x beschreibt das Signal Ansatz: schätzen von f(x) durch eine Funktion n: Anzahl der Meßwerte bekannt: z(xi) Meßwerte gesucht: li (x) 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kleinste Quadrate - Schätzung Erwartungswert des quadratischen Schätzfehlers: eingesetzt: Minimumaufgabe: minimieren von e² in Abhängigkeit von den li: ermitteln der li 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion Ergebnis Ergebnis: D sind Kovarianzmatrizen: linke Matrix (1xn): Kovarianzen von gemessenen Werten und dem Wert an der zu prädizierenden Stelle ist also für jedes x einzeln zu ermitteln 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion Ergebnis Ergebnis: D sind Kovarianzmatrizen: rechte Matrix (nxn): Kovarianzen von Meßwerten kann direkt bestimmt werden, ohne daß bekannt ist, welche Werte zu prädizieren sind ist zu invertieren 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion Ergebnis Ergebnis: z ist ein nx1 Vektor: enthält die Meßwerte im voraus bekannt 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion Zusammenfassung 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion Anleitung zum Rechnen den Trend eliminieren (> Andreas) Berechnung der empirischen Kovarianzfunktion Modellierung der empirischen durch eine positiv definite mathematische Kovarianzfunktion Berechnung der Matrix D(xj,xi) Berechnen von D(xj,xi)-1*z für einzelne zu prädizierende x: Berechnung von D(x,xj) Bestimmen des Funktionswertes der geschätzten Funktion: 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion Beispiel 1 Meßwerte zwischen 300km und 330km prädizierte Werte jeweils um 0,5km versetzt Kovarianzen berechnet mit der Funktion: 80*e-4,4*10-3*s² 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion Bewertung Vorteile dieses Ansatzes: geschätzte Funktion ist harmonisch Funktion gilt für den gesamten Bereich: vermeidet Problem der Unstetigkeiten bei Splines und anderen stückweisen Funktionen Nachteil: Funktion enthält Inverse einer nxn Matrix: großer Rechenaufwand in der Geostatistik werden in der Regel andere Verfahren verwendet: Variogramme > Kriging Wird hier dasselbe nur mit einem anderen theoretischen Ansatz gemacht? Jeff 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion E N D E 19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion