Stochastik in der Sekundarstufe I Didaktische Bemerkungen

Stochastik in der Sekundarstufe I – Didaktische Bemerkungen 1 Pädagogische Rechtfertigung für den Stochastikunterricht 2 Gründe für die Behandlung von Stochastik 3 Modellierungskreisläufe beim Bearbeiten von Aufgaben aus der Stochastik 4 Beispiel Rosinenproblem

1 Pädagogische Rechtfertigung für den Stochastikunterricht Trägt zum besseren Verständnis der natürlichen und gesellschaftlichen Welt bei. Hilft, menschliches Verhalten besser zu verstehen. Hilft, höhere Kritikfähigkeit gegenüber vorgelegten Behauptungen zu erlangen. (Winter 1976)

2 Gründe für die Behandlung von Stochastik Die Wirklichkeit enthält deterministische Phänomene und nicht- deterministische (also zufallsbedingte) Erscheinungen. Modellbildung wird sehr schön deutlich. Wahrscheinlichkeitstheorie ist reich an substantiellen Erkenntnissen. Trifft auf Interesse bei vielen Kindern. Lässt sich gut in den übrigen Unterricht integrieren. Entstehungsgeschichte ist interessant. (Kütting 1994, S. 21ff)

3 Modellierungskreisläufe beim Bearbeiten von Aufgaben aus der Stochastik Modellierungskreislauf (auch: Modellbildungskreislauf genannt) nach Blum 1985

3 Modellierungskreisläufe beim Bearbeiten von Aufgaben aus der Stochastik Modellierungskreislauf (Blum 2006)

3 Modellierungskreisläufe beim Bearbeiten von Aufgaben aus der Stochastik Mathematische Modelle aus der Stochastik Kombinatorik-Figuren Formel zur Berechnung von Lageparametern / Streuungsparametern Baumdiagramm Pfadregeln …

4 Beispiel: Rosinenproblem Aufgabe: In den Teig für 100 Rosinenbrötchen werden 500 Rosinen gemischt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig ausgewähltes Brötchen tatsächlich Rosinen enthält? Vorgehen nach Modellierungskreislauf 1. Schritt: Problem verstehen  Situationsmodell In einem beliebigen Brötchen (von den 100 Brötchen) sollen Rosinen sein. Man hat ein Problem, wenn man die Begriffe nicht kennt/unterschiedlich interpretieren kann.

4 Beispiel: Rosinenproblem In den Teig für 100 Rosinenbrötchen werden 500 Rosinen gemischt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig ausgewähltes Brötchen tatsächlich Rosinen enthält? 2. Schritt: Vereinfachen / Strukturieren / Präzisieren  Realmodell Hier ist die Aussage „enthält tatsächlich Rosinen“ zu präzisieren. Der Rest ist klar. Wir präzisieren: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig ausgewähltes Brötchen mindestens eine Rosine enthält?

4 Beispiel: Rosinenproblem In den Teig für 100 Rosinenbrötchen werden 500 Rosinen gemischt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig ausgewähltes Brötchen tatsächlich Rosinen enthält? 3. Schritt: Mathematisieren  Mathematisches Modell Wenn man ein fest gewähltes Brötchen betrachtet, so kann jede der 500 Rosinen in dem Brötchen sein (oder eben nicht). X sei die Anzahl der Rosinen in dem fest gewählten Brötchen. Wir interpretieren das Problem als Bernoulli-Kette der Länge 500, wobei die Erfolgs-Wahrscheinlichkeit für eine Rosine, in das fest gewählte Brötchen zu gelangen, p=1/100 ist ( X ist binomialverteilt).

4 Beispiel: Rosinenproblem In den Teig für 100 Rosinenbrötchen werden 500 Rosinen gemischt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig ausgewähltes Brötchen tatsächlich Rosinen enthält? 4. Schritt: Mathematisch arbeiten  Mathematisches Ergebnis P(X≥1) = 1 – P(X=0) = 1 – 99 100 500 ≈ 0,99343 Zwei Kalküle: Regel zum Nutzen der Gegen-Wahrscheinlichkeit und Formel für die Binomialverteilung 5. Schritt: Ergebnis Interpretieren  Reales Resultat Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Brötchen mindestens eine Rosine enthält beträgt ca. 99,3%.

4 Beispiel: Rosinenproblem In den Teig für 100 Rosinenbrötchen werden 500 Rosinen gemischt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig ausgewähltes Brötchen tatsächlich Rosinen enthält? Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Brötchen mindestens eine Rosine enthält beträgt ca. 99,3%. 6. Schritt: Ergebnis validieren: Simulieren? Alternative mathematisches Modelle: Baumdiagramm (500 Stufen), Laplace – Wahrscheinlichkeit

Aufgabe Erstellen Sie einen Überblick über stochastische Themen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I anhand der Lehrpläne.

Literatur Blum, Werner. 1985. Anwendungsorientierter Mathematikunterricht in der didaktischen Diskussion. Mathematische Semesterberichte 32 (2), S. 195–232. Blum, Werner. 2006. Modellierungsaufgaben im Mathematikunterricht – Herausforderungen für Schüler und Lehrer. In: Büchter et al.: Realitätsnaher Mathematikunterricht – vom Fach aus und für die Praxis, S. 8–23. Kütting, Herbert (1994): Didaktik der Stochastik. Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik, Band 23, herausgegeben von Norbert Knoche und Harald Scheid. Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich: BI-Wissenschaftsverlag. Winter, Heinrich (1976): Erfahrungen zur Stochastik in der Grundschule (Klasse 1-6). In: Didaktik der Mathematik 1, S. 22-37. Griesel, Heinz u.a. (2011): Elemente der Mathematik, Qualifikationsphase, Grund- und Leistungskurs, Schroedel.