Paradoxien in der Stochastik

Präsentation zum Thema: "Paradoxien in der Stochastik"—  Präsentation transkript:

1 Paradoxien in der Stochastik
Anna Chekhanova Markus Dietz Fakultät 1 Institut für Stochastik Prüferstraße 6 09599 Freiberg 25. Frühjahrsakademie Mathematik 2018 26. Februar 2018

2 Geburtstagsparadoxon
Wenigstens 366 Personen nehmen an einer Veranstaltung teil. Man kann mit 100%-Sicherheit behaupten (Schaltjahre lassen wir außer acht), dass wenigstens 2 von ihnen am selben Tag des Jahres ihren Geburtstag haben. Wie viele Personen sind benötig um mit 50%-Wahrscheinlichkeit behaupten zu können, dass mindestens 2 Personen Geburtstage am selben Tag haben? Bei nur 23 Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit 51%. Bei 40 Personen ist die Wahrscheinlichkeit 89 %. Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

3 Geburtstagsparadoxon
Sei 𝑘 – Anzahl der Personen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Versammelten unterschiedliche Geburtstage haben, beträgt: 365 𝑘 ∙𝑘! 365 𝑘 = 365! 365−𝑘 !∙ 365 𝑘 . Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2 Versammelten denselben Geburtstag haben, beträgt: 𝑃=1− 365! 365−𝑘 !∙ 365 𝑘 . Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

4 Geburtstagsparadoxon
- mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben Mit der Anwendung der Stirlingformel 𝑘!≈ 2𝜋𝑘 𝑘 𝑒 𝑘 , 𝑘→∞. bekommt man die Wahrscheinlichkeit: 𝑃=1− 365! 365−𝑘 !∙ 365 𝑘 ≈1− −𝑘 365,5−𝑘 ∙ 𝑒 −𝑘 . Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

5 Geburtstagsparadoxon
- mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben 𝒏 P 10 0, 15 0, 17 0, 20 0, 23 0, 30 0, 40 0, 45 0,940974 50 0, 55 0, 57 0, 60 0, 68 0, 70 0, 75 0, Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

6 Geburtstagsparadoxon
- genau zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei aus einer Gruppe an dem selben Tag Geburtstag haben, beträgt: 𝑃= 𝑘 2 ∙365∙ 𝑘−2 ∙ 𝑘−2 ! 365 𝑘 = 𝑘 2 ∙365∙ 364! 364−(𝑘−2) ! 𝑘 𝑃= 𝑘! 𝑘−2 !∙2 ∙ 365! 366−𝑘 !∙ 365 𝑘 . Nach der Anwendung der Stirlingformel 𝑘!≈ 2𝜋𝑘 𝑘 𝑒 𝑘 , bekommt man die Näherung für die Wahrscheinlichkeit: 𝑃≈ 𝑘 𝑘−2 𝑘+0,5 ∙ −𝑘 365,5−𝑘 ∙ (𝑘−2) −𝑘 ∙ 0,5𝑒 −1−𝑘 .

7 Geburtstagsparadoxon
- genau zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben Anzahl Wahrscheinlichkeit Anzahl Wahrscheinlichkeit 5 0, 8 0, 10 0, 13 0, 15 0, 18 0, 20 0, 27 0, 28 0, 29 0, 33 0, 37 0, 60 0, 70 0, 80 0, 85 0, 150 1,26838E-14 Für 𝑛=28 beträgt die Wahrscheinlichkeit 38,6%. Ab diesen Wert fällt die Zahlenfolge streng monoton; d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Personen aus einer Gruppe am selben Tag Geburtstag haben, wird kleiner. Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

8 Geburtstagsparadoxon
- für einen bestimmten Tag Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das jemand heute, am 26. Februar seinen Geburtstag hat? - Die Wahrscheinlichkeit beträgt: 𝑝= ~ 0,27%. Wahrscheinlichkeit am 26. Februar NICHT Geburtstag zu haben: 𝑞=1−𝑝=1− ~ 99,73%. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine von zwei Personen am 26. Februar Geburtstag hat, beträgt: 𝑃=1− 𝑞 2 . Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine von 𝑛 Personen am 26. Februar Geburtstag hat, beträgt: 𝑃=1− 𝑞 𝑘 .

9 Geburtstagsparadoxon
- für einen bestimmten Tag Anzahl Wahrscheinlichkeit 50 0, 80 0, 100 0, 200 0, 300 0, 400 0, 500 0, 900 0, 1000 0, 2000 0, 5000 0, 10000 1 Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

10 Geburtstagsparadoxon
- für einen bestimmten Tag Aus der Formel: 𝑃=1− 𝑞 𝑘 , kann man ausrechnen, wie viele Personen man benötigt, um eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zu erzielen: 𝑘= ln⁡(1−𝑃) ln⁡(1− ) . Für die Wahrscheinlichkeit 55% benötigt man: 𝑘= ln⁡(1−0,55) ln⁡(1− ) ≈291.

11 Das Unabhängigkeitsparadoxon
Ein Junge soll drei Tennis-Matchs mit seinem Vater und seiner Mutter spielen, und er soll dabei mindestens zwei Matchs nacheinander gewinnen. Die zugelassenen Reihenfolgen sind „Vater – Mutter – Vater“ oder „Mutter – Vater – Mutter“. Der Vater spielt besser als die Mutter. Der Junge darf selber die für ihn günstigere Reihenfolge wählen. Intuitiv denkt man: „Mutter – Vater – Mutter“ sollte bessere Chancen für Gewinn liefern. Andererseits muss der Junge gegen den Vater unbedingt gewinnen. Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

12 Das Unabhängigkeitsparadoxon
Sei 𝑝 𝑣 – Wahrscheinlichkeit, dass Junge den Vater besiegt; 𝑝 𝑚 – Wahrscheinlichkeit, dass Junge die Mutter besiegt (0< 𝑝 𝑣 < 𝑝 𝑚 ). Die Wahrscheinlichkeit der Gewinnchancen für Reihenfolge „V – M – V“ beträgt: 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 1− 𝑝 𝑣 + 1− 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 + 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 =2 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 − 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 . Die Wahrscheinlichkeit der Gewinnchancen für Reihenfolge „M – V – M“ ist: 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 1− 𝑝 𝑚 + 1− 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 + 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 =2 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 − 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 . Da 𝑝 𝑣 < 𝑝 𝑚 → 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 < 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 , daraus folgt 2 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 − 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 > 2 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 − 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 . Das heißt für den Jungen ist es günstiger die Reihenfolge „V – M – V“ auszuwählen.

13 Einen schönen und interessanten Aufenthalt in Freiberg!

14 Verwendete Quellen: Gábor J. Szekely. Paradoxa klassische und neue Überraschungen aus der Wahrscheinlichkeits-rechnung und mathematischer Statistik.- Thun; Frankfurt am Main: Deutsch, Wikipedia Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik