Harmonische Schwingungen Von Kortine, Christopher und Lennart
Herleitung der Differenzialgleichung Federpendel: Auslenkung~Rückstellkraft: s(t)~F F(t)= -D*s(t) Grundgesetze der Mechanik: F=m*a(t)=m*s´´(t) m*s´´(t)= -D*s(t) s´´(t)= - D/m *s(t) D/m= k² Alle Gleichungen der Form f ´´(t)=-k²*f(t) erfüllen die Differenzialgleichung Gilt nur für: f(t)=A*sin (k*t+c)
Beispiel: Räuber-Beute Gegeben: 120 Katzen(Räuber), 3400 Mäuse(Beute) r und b beschreiben Schwankungen der Populationen um Ausgangswerte r´(t)=0,01*b(t) und b´(t)= -0,7*r(t) Differenzialgleichung von r und b Harmonische Schwingung b´´(t)= -0,7*r´(t) r´(t)= b´´(t)/-0,7 r´´(t)= 0,01*b´(t)b´(t)= r´´(t)/0,01 eingesetzt in gegebene Gleichungen: r´´(t)= -0,007*b(t) b´´(t)= -0,007*r(t) ergibt: k² = 0,007 also k =
Räuber-Beute r(t) und b(t) bestimmen: gegeben: r(0)= 80;b(0)= -600 r(0)=200r(0)=A*sin c r´(0)= *A*cos c = 0,01*b(0) c= 0,539 und A=390 r(t)=390*sin ( *t+0,539) b(0)=2800 b(0)= A*sin c b´(0)= *A*cos c = -0,7*r(0) c= -1,032 und A= -3262 b(t)= -3262*sin( *t-1.032) Räuber Beute Modell.xls