Wahlteil 2009 – Geometrie II 1

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1 Wahlteil 2009 – Geometrie II 1
Aufgabe II 1 Die 𝑥 1 𝑥 2 -Ebene beschreibt eine flache Landschaft, in der ein Flugplatz liegt. Eine Radarstation befindet sich im Punkt 𝑅1(6|3|0). Das Radar erfasst ein Testflugzeug 𝐹1 um 7:00 Uhr im Punkt 𝑃(7|29|7) und ermittelt als Flugbahn des Flugzeugs 𝑓 1 : 𝑥 = 𝑡 3 −2 −1 (𝑡 in Minuten nach 7:00 Uhr, Koordinatenangaben in km).

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a) In welchem Punkt befindet sich das Flugzeug um 7:01 Uhr? Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug im Sinkflug befindet? Unter welchem Winkel fliegt das Flugzeug auf den Boden zu? Zu welcher Uhrzeit und in welchem Punkt würde es bei Beibehaltung dieser Flugbahn auf dem Boden aufsetzen? (6 VP)

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b) Eine weitere Radarstation befindet sich im Punkt 𝑅2(17|9|0). Der Anflug des Testflugzeugs 𝐹1 auf den Flugplatz ist optimal, wenn die Flugbahn 𝑓1 und die beiden Radarstationen in einer Ebene liegen. Prüfen Sie, ob das zutrifft. Die Radarstation 𝑅2 übernimmt die Flugüberwachung zu dem Zeitpunkt, ab dem sich das Flugzeug von 𝑅1 entfernt. Um wieviel Uhr ist dies der Fall? (6 VP)

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c) Die Flugbahn eines zweiten Testflugzeugs 𝐹2 wird beschrieben durch 𝑓 2 : 𝑥 = 𝑡 (𝑡 in Minuten nach 7:00 Uhr, Koordinatenangaben in km) Wie weit sind die Flugzeuge 𝐹1 und 𝐹2 um 7:04 Uhr voneinander entfernt? Berechnen Sie, wie nahe sich die beiden Flugzeuge kommen. (4 VP)

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𝑓 1 : 𝑥 = 𝑡 3 −2 −1 Wahlteil 2009 – Geometrie II 1 Lösung a) Position von 𝑭 𝟏 zum Zeitpunkt 𝒕=𝟏: Setze 𝑡=1 und erhalte: 𝑥 = −2 −1 = Ergebnis: Um 7:01 befindet sich das Flugzeug im Punkt 𝑄(10|27|6). Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug im Sinkflug befindet? Mit zunehmender Zeit 𝑡 nimmt die 𝑥 3 -Koordinate also die Höhe immer mehr ab. Das Flugzeug befindet sich daher im Sinkflug.

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𝑓 1 : 𝑥 = 𝑡 3 −2 −1 𝑄(10|27|6) Wahlteil 2009 – Geometrie II 1 Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h: Zum Zeitpunkt 𝑡=0 befindet sich 𝐹 1 im Punkt 𝑃(7|29|7). Bestimme zunächst die Entfernung der Punkte 𝑃 und 𝑄. Diese Entfernung wird in einer Minute zurückgelegt. Daraus ergibt sich die Geschwindigkeit. Es folgt: 𝑠= − = − = − ≈3,74

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𝑓 1 : 𝑥 = 𝑡 3 −2 −1 𝑄(10|27|6) Wahlteil 2009 – Geometrie II 1 Für die Geschwindigkeit gilt dann: 𝑣= 𝑠 𝑡 = 3,74 km 1 min = 60⋅3,74 km 60⋅1 min =224,5 km h Ergebnis: Zum Zeitpunkt 𝑡=1 fliegt das Flugzeug mit einer Geschwindigkeit von 224,5 km h .

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𝑓 1 : 𝑥 = 𝑡 3 −2 −1 Wahlteil 2009 – Geometrie II 1 Schnittwinkel: Der Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ist gegeben durch sin α = ∣ 𝑛 ⋅ 𝑢 ∣ ∣ 𝑛 ∣ ⋅ ∣ 𝑢 ∣ wobei 𝑛 der Normalenvektor der Ebene und 𝑢 der Richtungsvektor der Geraden ist. Mit 𝑛 = und 𝑢 = 3 −2 −1 folgt 𝑛 ⋅ 𝑢 =1 und ∣ 𝑛 ∣ ⋅ ∣ 𝑢 ∣ =1⋅ −2 2 + −1 2 = 14 ⇒sin α = 1 14 ⇒α≈15,5° Ergebnis: Der Schnittwinkel zwischen Flugbahn und Boden beträgt etwa 15,5°.

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𝑓 1 : 𝑥 = 𝑡 3 −2 −1 Wahlteil 2009 – Geometrie II 1 Aufsetzpunkt und Aufsetzzeit am Boden Eine Ebenengleichung für die 𝑥 1 𝑥 2 -Ebene lautet 𝐸: 𝑥 3 =0. Für den Schnittpunkt 𝑓 1 mit 𝐸 setzen wir 𝑓 1 in 𝐸 ein: 7−𝑡=0⇒𝑡=7 Einsetzen in 𝑓 1 liefert −2 −1 = Ergebnis: Das Flugzeug 𝐹 1 setzt um 7:07 im Punkt 𝑃 am Boden auf.

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Lösung b) Test, ob 𝒇𝟏, 𝑹𝟏 und 𝑹𝟐 in einer gemeinsamen Ebene liegen: Die beiden Radarstationen 𝑅1 und 𝑅2 befinden sich zwar am Boden, aber zwei Punkte alleine beschreiben noch keine Ebene. Die Frage ist also, ob es möglich ist, eine Ebene 𝐸 zu finden, die 𝑅1, 𝑅2 und die Gerade 𝑓1 enthält. Hierzu nehmen wir den Stützvektor von 𝑓1 als Stützvektor von 𝐸 und den Richtungsvektor von 𝑓1 als einen der beiden Richtungsvektoren von 𝐸. Damit ist sichergestellt, dass ganz 𝑓1 in 𝐸 liegt. Den zweiten Richtungsvektor von 𝐸 bilden wir aus der Differenz des Stützvektors und 𝑅1. Daraus erhalten wir eine vollständige Ebenengleichung für 𝐸 und wir haben zu testen, ob auch 𝑅2 in dieser Ebene liegt.

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Somit gilt: 𝐸: 𝑥 = 𝑟 3 −2 −1 +𝑠 7−6 29−3 7−0 ⇒𝐸: 𝑥 = 𝑟 3 −2 −1 +𝑠 Jetzt setzen wir den Ortsvektor von 𝑅2 für 𝑥 ein und testen, ob die Gleichung erfüllt wird: = 𝑟 3 −2 −1 +𝑠 ⇒ 10 −20 −7 =𝑟 3 −2 −1 +𝑠 Wir erhalten das folgende lineare Gleichungssystem:

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10 −20 −7 =𝑟 3 −2 −1 +𝑠 Wahlteil 2009 – Geometrie II 1 3𝑟+1𝑠=10 −2𝑟+26𝑠=−20 −1𝑟+7𝑠=−7 3𝑟+1𝑠=10 −2𝑟+26𝑠=−20 22𝑠=−11 + ⇒ ⇒ 𝑠=−0,5 ⋅3 ⇒ −2𝑟−13=−20 ⇒ −2𝑟=−7 ⇒ 𝑟=3,5 Das lineare Gleichungssystem ist eindeutig und ohne Widerspruch lösbar, denn mit den gefundenen Werten ist auch die erste Gleichung erfüllt. Das bedeutet, dass die beiden Radarstationen mit der Flugbahn 𝑓1 in einer Ebene liegen. Ergebnis: Die Flugbahn ist optimal.

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Um wieviel Uhr übernimmt die Radarstation 𝑹𝟐 die Flug- überwachung? Es sei 𝑃 𝑡 der Punkt an dem sich das Flugzeug 𝐹 1 zum Zeitpunkt 𝑡 befindet. Wir bestimmen den Zeitpunkt der kürzesten Entfernung von 𝐹 1 zu 𝑅 1 . Ab diesem Zeitpunkt entfernt sich 𝐹 1 von 𝑅 1 und 𝑅 2 übernimmt die Flugüberwachung. Mit 𝑓 1 : 𝑥 = 𝑡 3 −2 −1 folgt 𝑃 𝑡 (7+3𝑡|29−2𝑡|7−𝑡).

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𝑃𝑡(7+3𝑡|29−2𝑡|7−𝑡) 𝑅1(6|3|0) Wahlteil 2009 – Geometrie II 1 Der Abstand zur Radarstation 𝑅1 ist dann gegeben durch: 𝑑= ∣ 𝑃 𝑡 𝑅 1 ∣ = − 7+3t 29−2t 7−𝑡 = −1−3t −26+2t −7+𝑡 = −1−3t −26+2t −7+𝑡 2 Diesen Term geben Sie im Y-Editor Ihres GTR ein und ermitteln mit 2ND CALC minimum die Koordinaten des Minimums. Sie erhalten: 𝑥=4 und 𝑦=22,4. Ergebnis: Der kürzeste Abstand von 𝐹 1 zu 𝑅 1 wird um 7.04 Uhr erreicht und beträgt dann 22,4km. Ab 7.04 Uhr übernimmt die Radar station 𝑅2 die Flugüberwachung.

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Lösung c) Wie weit sind die beiden Flugzeuge um 7.04 Uhr voneinander entfernt? Um die beiden Punkte zu erhalten, in denen sich 𝐹1 und 𝐹2 um 7.04 Uhr befinden, setzen wir 𝑡=4 in die jeweilige Flugbahn ein und erhalten 𝐹 1 : 𝑝 = −2 −1 = und 𝐹 2 : 𝑞 = =

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Für den Abstand gilt dann: 𝑑= ∣ 𝑃𝑄 ∣ = − = 7 −2 4 = − = − ≈8,31 Ergebnis: Der Abstand der beiden Flugzeuge um 7.04 Uhr beträgt etwa 8,31 km.

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Kleinster Abstand der beiden Flugzeuge: Bestimmen Sie zuerst die beiden Punkte 𝑃 𝑡 und 𝑄 𝑡 in denen sich die beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt 𝑡 befinden. Aus b) wissen wir bereits, dass für 𝐹 1 𝑃 𝑡 (7+3𝑡|29−2𝑡|7−𝑡) gilt. Aus 𝑓 2 : 𝑥 = 𝑡 erhalten wir für 𝐹 2 𝑄 𝑡 (18+2𝑡|11+2𝑡|7). Für den Abstand gilt dann: 𝑑= ∣ 𝑃 𝑡 𝑄 𝑡 ∣ = 18+2𝑡 11+2𝑡 7 − 7+3𝑡 29−2𝑡 7−𝑡 = 11−𝑡 −18+4𝑡 𝑡 = 11−𝑡 2 + −18+4𝑡 2 + 𝑡 2

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Den Ausdruck 11−𝑡 2 + −18+4t 2 + 𝑡 2 geben Sie im Y-Editor Ihres GTR ein. Lassen Sie sich mit GRAPH die Kurve zeichnen und berechnen Sie mit 2ND CALC minimum das Minimum. Sie erhalten: 𝑦=7,89. Ergebnis: Die beiden Flugzeuge können sich höchsten etwa 7,9 km nahe kommen.