Gleichgewichte in Netzen KW Axhausen IVT ETH Zürich Frühlingssemester 2018 1

Literaturhinweise Schnabel / Lohse: Kapitel 10.14.7 Ortúzar / Willumsen: Kapitel 10.1 – 10.5, 11 Vrtic, M. (2005) Verkehrsverteilungsmodelle, Materialien zur Vorlesung Verkehrsplanung, IVT, ETH, Zürich Vrtic, M. (2005) Best-Wege-Suche, Materialien zur Vorlesung Verkehrsplanung, IVT, ETH, Zürich 2 2

Heute Umlegung und Routenwahl Kürzeste Wege in Netzen Gleichgewichte in Netzen Umlegungsverfahren Unterrichtsbeispiel AVs: Einfluss der Navigationssysteme 3 3

Umlegung und Routenwahl Die Umlegung ist der letzte Schritt des „Vier-Stufen-Ansatzes“ Umlegung ist die Verteilung der Nachfrage zwischen zwei Orten auf die möglichen Routen zwischen diesen Orten unter Einhaltung bestimmter Randbedingungen Routenwahl ist die Modellierung der Wahl der Reisenden zwischen den möglichen Routen zwischen zwei Orten Ziel der Umlegung: Gleichgewicht in der Routenwahl 4 4

Beispiel: Zwei Strecken zwischen A und B Annahme: Nachfrage ist bekannt und fest Folgerung: Alternativen gleich ist 5

Beispiel: Strecke 1 6

Beispiel: Strecke 1 7

Beispiel: Strecke 1 8

Beispiel: Strecke 1 9

Beispiel: Strecke 2 Fahrtzeit Belastung auf Strecke 2 60 45 30 15 1000 1000 800 600 400 200 Belastung auf Strecke 2 10

Beispiel: Strecke 2 Fahrtzeit Belastung auf Strecke 2 60 45 30 15 1000 1000 800 600 400 200 Belastung auf Strecke 2 11

Beispiel: Strecke 2 Fahrtzeit Belastung auf Strecke 2 60 45 30 15 1000 1000 800 600 400 200 Belastung auf Strecke 2 12

Beispiel: Strecke 2 Fahrtzeit Belastung auf Strecke 2 60 45 30 15 1000 1000 800 600 400 200 Belastung auf Strecke 2 13

Mittlere Fahrzeit Fahrtzeit Belastung auf den Strecken 60 45 30 15 1000 200 800 400 600 600 400 800 200 1000 Belastung auf den Strecken 14

Mittlere Fahrzeit Fahrtzeit Belastung auf den Strecken 60 45 30 15 1000 200 800 400 600 600 400 800 200 1000 Belastung auf den Strecken 15

Mittlere Fahrzeit Fahrtzeit Belastung auf den Strecken 60 45 30 15 1000 200 800 400 600 600 400 800 200 1000 Belastung auf den Strecken 16

Mittlere Fahrzeit Fahrtzeit Belastung auf den Strecken 60 45 30 15 1000 200 800 400 600 600 400 800 200 1000 Belastung auf den Strecken 17

Systemoptimum Fahrtzeit Belastung auf den Strecken 60 45 30 15 1000 1000 200 800 400 600 600 400 800 200 1000 Belastung auf den Strecken 18 18

Zum Nutzergleichgewicht 60 45 Fahrtzeit 30 15 1000 200 800 400 600 600 400 800 200 1000 Belastung auf den Strecken 19 19

Nutzergleichgewicht > Systemoptimum 60 45 Fahrtzeit 30 15 1000 200 800 400 600 600 400 800 200 1000 Belastung auf den Strecken 20

Umlegung: Aufgaben Verteilung der Nachfrage zwischen zwei Orten auf mögliche und sinnvolle Routen:  Identifikation der sinnvollen Routen, die die Orte verbinden. Festlegung des Verteilungsgrundsatzes für die Nachfrageverteilung. 21 21

Kürzeste Wege in Netzen 22 22

Verkehrsnetze Strecken – Beispiele: Wege Strassen Eisenbahnen Seilbahnen Wasserstrassen und Kanäle Luftstrassen Knoten – Beispiele: Kreuzungen Parkierungsanlagen Bahnhöfe und Haltestellen Häfen Flughäfen 23 23

Logische Netze Beschreibung von Netzen als N(k, s) K Knoten ki (geographische Orte : A,B,C....) S Strecken, s = 1, ...., S Anfangs- und Endknoten Richtung Länge Leistungsfähigkeit Zulässige Geschwindigkeit Technologie; v = fs(Verkehrsstärke) z.b. Fz. pro Stunde 24 24

Logische Netze: Beispiel (Nb) 6 A B 5 2 C 2 1 5 E D 1 25 25

Logische Netze: Nachbarschaftsmatrix Beschreibung der Verknüpfungen durch eine quadratische Nachbarschaftsmatrix N[K,K], die angibt, ob es eine Verbindung zwischen zwei Knoten gibt. N[i,j] = 1, falls Verbindung vorhanden; sonst 0 Beispiel: A B C D E A 0 1 0 1 0 B 1 0 1 1 0 C 0 1 0 0 1 D 0 0 1 0 1 E 0 1 1 1 0 26 26

Logische Netze: Bewertete Nachbarschaftsmatrix Die bewertete Nachbarschaftsmatrix gibt an, wie gross die Kosten (ci,j) auf den vorhandenen Strecken (für eine gegebene Belastung) sind Nb[i,j] = ci,j = cs = fs(q‘s), sonst  Beispiel cs = fs(0): A B C D E A  6  1  B 6  5 2 2 C  5   5 D 1 2   1 E 0 2 5 1  27 27

Berechnung «kürzester Wege» Vielzahl von Algorithmen; Annahme c`s = konstant Drei Grundklassen: Matrixverfahren (Beispiel Floyd) Verfahren mit eingeschränkten Kandidatenlisten (Beispiel Dijkstra) Verfahren mit offenen Kandidatenlisten (Beispiel Moore) Unterschiede in Speicherplatz, Rechenzeit, Komplexität des Kodes 28 28

Algorithmus von Dijkstra (1) Grundidee: Schrittweiser Aufbau des Baums der kürzesten Wege vom Startknoten aus zu allen anderen Knoten Initialisierung: Setze aktuell-knoten w Setze start-knoten w = a Setze liste C(K), für die gesamten Kosten von a nach k. K = zahl der Knoten Setze liste F(K), 1 falls Knoten besucht war, sonst 0 29 29

Algorithmus von Dijkstra (2) Berechnung: Bis F(K) = 1 für alle Knoten: Für alle Knoten j, die von w aus direkt erreichbar sind, und F[j] = 0: C[j] = min(C[j],C[w] + Cw,j) Unter allen Knoten k, für die gilt F[k] = 0, suche den Knoten k‘ mit dem minimalen W[k] Setze F[k] = 1 (auf kürzestem Weg erreicht) w = k‘ Gehe zu Schritt 1) 30 30

A B C E D Beispiel Dijkstra (Initialisierung) w = A 6 5 2 2 1 5 1 k C(k) F(k) A 1 B  C D E 6 A B 5 2 C 2 1 5 E D 1 w = A 31 31

A B C E D Beispiel Dijkstra (Schritt 1.1) w = A 6 5 2 2 1 5 1 k C(k) F(k) A 1 B 6 C  D E 6 A B 5 2 C 2 1 5 E D 1 w = A 32 32

A B C E D Beispiel Dijkstra (Schritt 1.2) w = D 6 5 2 2 1 5 1 k C(k) F(k) A 1 B 6 C  D E 6 A B 5 2 C 2 1 5 E D 1 w = D 33 33

A B C E D Beispiel Dijkstra (Schritt 2.1) w = D 6 5 2 2 1 5 1 k C(k) F(k) A 1 B 3 C  D E 2 6 A B 5 2 C 2 1 5 E D 1 w = D 34 34

A B C E D Beispiel Dijkstra (Schritt 2.2) w = E 6 5 2 2 1 5 1 k C(k) F(k) A 1 B 3 C  D E 2 6 A B 5 2 C 2 1 5 E D 1 w = E 35 35

A B C E D Beispiel Dijkstra (Schritt 3.1) w = E 6 5 2 2 1 5 1 k C(k) F(k) A 1 B 3 C 7 D E 2 6 A B 5 2 C 2 1 5 E D 1 w = E 36 36

A B C E D Beispiel Dijkstra (Schritt 3.2) w = B 6 5 2 2 1 5 1 k C(k) F(k) A 1 B 3 C 7 D E 2 6 A B 5 2 C 2 1 5 E D 1 w = B 37 37

A B C E D Beispiel Dijkstra (Schritt 4.1) w = B 6 5 2 2 1 5 1 k C(k) F(k) A 1 B 3 C 7 D E 2 6 A B 5 2 C 2 1 5 E D 1 w = B 38 38

A B C E D Beispiel Dijkstra (Schritt 4.2) w = C 6 5 2 2 1 5 1 k C(k) F(k) A 1 B 3 C 7 D E 2 6 A B 5 2 C 2 1 5 E D 1 w = C 39 39

Vor- und Nachteile Dijkstra Vorteile: Geringer Speicherplatzbedarf ( s) Kürzere Rechenzeiten ( k²) Nachteil: Neue Varianten (z.B. A* Suche) sind schneller Funktioniert nicht mit negativen Kosten 40 40

Kürzeste Wege im öffentlichen Verkehr (Hypernetze) Die Suche nach kürzesten Wege muss berücksichtigen: Haltestellen ersetzen Knoten Unterschied zwischen Bedienung, Linie und Fahrplan Unterschiedliche Gewichtung der verschiedenen Elemente der Kosten, zum Beispiel: Umsteigen Umsteigezeit Wartezeit Preise Komfort  Mehrere „kürzeste“ Wege je nach Kriterium 41 41

Kürzeste Wege im öffentlichen Verkehr Ebene Bedienung: Abbildung der Bedienung einer Strecke mit dem ÖV Durchschnittliche und konstante Fahrtzeit für alle Angebote Wartezeit ist gleich für alle Angebote Keine weiteren Differenzierungen Hilfsstrecken zur Abbildung der durchschnittlichen Wartezeit 42 42

Kürzeste Wege im öffentlichen Verkehr Ebene Linie: Trennung der Linien Mittlere Wartezeiten und Umsteigezeiten können dargestellt werden Umsteigezeiten als Strecken 43 43

Kürzeste Wege im öffentlichen Verkehr Ebene Fahrplan: Verknüpfung mit zeitscheibenfeinen Nachfragematrizen Genauere Abbildung der Wartezeiten Genaue Abbildung der Umsteigezeiten Wiederholte Abbildung „Linie“ für jeden Kurs 44 44

Bemerkung: Lokalisierung der Nachfrage Um die Nachfrage in Zonen zu lokalisieren, werden oft zusätzliche Strecken- und Knotentypen eingeführt: Zonenschwerpunkte als geographischer Ort der Nachfrageentstehung oder Anziehung Zonenanbindung als Verknüpfung zwischen Schwerpunkt und Netz: Fixe oder variable Anteile und konstante Kosten auf der Anbindung Variable Anteile und belastungsabhängige Kosten 45 45

Gleichgewichte in Netzen 46 46

Wahl Verteilungsgrundsatz Systemoptimum: Minimale Gesamtnutzerkosten Nutzergleichgewicht: Alle verwendeten Alternativen eines Quell-Ziel-Paars haben die selben generalisieren Kosten (negativer Nutzen), die nicht genutzten Alternativen haben höhere. (In der mathematischen Umsetzung gilt das im Rahmen der numerischen Genauigkeit der Berechnungen, respektive der gewählten Toleranzen.) 47

Verteilungsgrundsatz: Systemoptimum (SO)   Die Gesamtreisezeit (Summe der generalisierten Kosten) ist minimal. das heisst: für alle Routen r zwischen allen i,j mit q‘rijm > 0 Wo k = Kosten r = Strecke m = Verkehrsmittelwahl  q = Kapazität 48 48

Systemoptimum: zum Beispiel zwei Strecken 40 30 Fahrtzeit [min] 20 Systemoptimum (SO) 10 1000 200 800 400 600 600 400 800 200 1000 Belastung auf den Strecken 49 49

Verteilungsgrundsatz: Wardrop’s Nutzergleichgewicht Alle Wege, die zwischen einem Quell-Ziel-Paar benutzt werden, haben dieselbe Reisezeit (generalisierten Kosten). Alle nicht benutzten Wege haben eine höhere Reisezeit (generalisierte Kosten). k‘ijm = k‘rijm(q‘rijm), für alle Routen r zwischen i und j mit q‘rijm > 0; für alle i, j Das heisst: Routen sind „kürzeste“ (kosten-minimale) Routen Wardrop (1952) 50 50

Wardrop’s Nutzergleichgewicht: z.B. Zwei Strecken 40 30 Fahrtzeit [min] 20 SO Nutzergleichgewicht (UE) 10 1000 200 800 400 600 600 400 800 200 1000 Belastung auf den Strecken 51 51

Verteilungsgrundsatz: Stochastisches Nutzergleichgewicht Der Anteil jeder Route zwischen Zonen i und j entspricht der Wahrscheinlichkeit mit der diese von den Nutzern als die beste betrachtet wird, d.h. unter Berücksichtigung der nicht direkt messbaren Nutzenkomponenten. q‘rijm = q‘ijm * P(r) , für alle r, i und j P(r) = f(k‘rijm(q rijm)) wird mit einem geeigneten Modell berechnet. Die Reisezeiten auf den Routen müssen nicht gleich sein. Maher (2001) 52 52

Stochastisches Nutzergleichgewicht: z.B. Zwei Strecken 40 30 Fahrtzeit [min] 20 Stochastisches Nutzergleichgewicht (SUE) SO 10 UE 1000 200 800 400 600 600 400 800 200 1000 Belastung auf den Strecken 53 53

Beispiel: Nutzergleichgewicht (DUE) 54 54

Beispiel: DUE [ nach Distanzklassen] rot = < 50 km blau=50-100 km grün= >100 km 55 55

Beispiel: Differenz SUE-DUE grün= mehr; rot= weniger 56 56

Beispiel: Differenz SO-DUE grün= mehr; rot= weniger 57 57

«The Price of Anarchy» «The Price of Anarchy» (PoA) ist die systemweite zusätzliche Reisezeit, die im schlechtesten Nutzergleichgewicht im Vergleich zum Systemoptimum anfällt. Es kann gezeigt werden (Roughgarden, 2003), dass das PoA-Verhältnis von UE zu SO von den Verhältnissen zwischen Fluss und Reisezeit auf den einzelnen Strecken (Widerstandsfunktionen) abhängt. Bsp.: Lineare Verhältnisse -> PoA = 4/3 Quadratische Verhältnisse -> PoA = 1.626 UE PoA = UE-SO SO Roughgarden (2003) 58 58

Zusammenfassung Verteilungsgrundsätze Routenwahr- Kriterium Konsistente nehmung Lösung Ohne Fehler Nutzerkosten Nutzergleichgewicht (DUE) (objektiv) Soziale Kosten Systemoptimum (SO) Mit Fehler Nutzerkosten Stochastisches Nutzergleichgewicht (subjektiv) (SUE) (für gegebenen Satz an Routen und das verwendete Entscheidungsmodell) 59 59

Umlegungsverfahren 60 60

Verteilung der Nachfrage Alle Verfahren sollten auf einem Modell des Routenwahlverhaltens der Reisenden aufbauen Explizit durch Verwendung eines Entscheidungsmodells Implizit durch eine Zielfunktion, die eine Verhaltensregel abbildet, zum Beispiel Wardrop‘s Gleichgewicht als Ausdruck der Nutzenmaximierung 61 61

Verfahren: „Alles oder Nichts“ - Umlegung Berechnung (sehe Seite 50): 1) Berechne die kürzesten Wege zwischen allen i und j 2) Ermittle die Streckenbelastung auf s als:       62 62

Verfahren: UE mit Method of Successive Averages (MSA) Initialisierung: Zuordnen der Verkehrsströme auf kürzeste Wege bei unbelastetem Netz («alles oder nichts») und neue Fahrtzeiten bestimmen. Iteration bis Abbruchkriterium erfüllt ist: Berechnung der kürzesten Wege Hilfsflüsse = alle Verkehrsströme auf kürzeste Wegen Zuordnung der Verkehrsströme mit: Fneu = (1-Φ) * Falt + Φ * Hilfsflüsse Berechnen der neuen Reisezeiten auf Grund Belastung Φ: nach Bedarf gewählter Parameter: 0 < Φ < 1 F: zu berechnender Verkehrsstrom auf Strecke 63

Verfahren: Nutzergleichgewicht mit Frank-Wolfe   Vorteil: Legt Umverteilungsfaktor (hier ) optimal fest. Berechnung nach Initialisierung: 1) Erhöhe Iterationszähler: n = n + 1 2) «alles oder nichts»-Umlegung mit ergibt Hilfsflüsse 3) Löse für :     4) Neue Belastungen: 5) Neue Reisezeiten: = 6) Zurück zu 1), falls nicht: Beckmann et al. (1956) 64 64

Reisezeitenberechnung: Widerstandsfunktionen Dienen der Abbildung der Technologie der Strecke Repräsentieren Zusammenhang zwischen Belastung und generalisierten Kosten (Fahrtzeit) auf einer Strecke Bei statischen Modellen ist es notwendig, die stochastischen Schwankungen der Nachfrage innerhalb der Umlegungsperiode zu berücksichtigen 65 65

Harte Widerstandsfunktionen Widerstandsfunktionen mit harter Abbildung der Leistungsfähigkeitsgrenze, z.B. Davidson: t0i: Fahrtzeit bei unbelasteter Strecke i Li: Leistungsfähigkeit J: Parameter q: Verkehrsfluss, Belastung 66 66

Weiche Widerstandsfunktionen Widerstandsfunktionen mit weicher Abbildung der Leistungsfähigkeitsgrenze, z.B. Bureau of Public Roads (BPR-Funktion): t0i: Fahrtzeit bei unbelasteter Strecke i Li: Leistungsfähigkeit ,: Parameter q: Verkehrsfluss, Belastung 67 67

Vergleich harte und weiche Widerstandsfunktion 68 68

Umlegung des ÖVs Grundsätzlich: Obige Verfahren angewandt auf Hypernetze Hauptproblematik: «Common Lines Problem» Alternativen (inkl. Umsteigen), welche nehmen? - Verlässliches Fahrplanbasiertes Angebot => Eine klare, beste Route im Hypernetz, d.h. analog MIV-Umlegung Dienste (weltweit Regelfall) Verhaltensstrategien in XY Umsteigen auf Linie Z; wenn Linie B zuerst, dann … Ortuzar-Willumsen, S.373ff 69 69

Umlegung des ÖVs – Vorgehen Umlegung der Nachfrage von Zone A nach Zone B: Identifikation verschiedener, möglicher Verhaltensstrategien Verteilung der Nachfrage auf Verhaltensstrategien nach Abfahrtsfrequenzen Strategien (Spiess und Florian (1989)) Annahme: Strategien, die alle x Minuten funktionieren, werden öfter gewählt als Strategien, die nur alle y > x Minuten funktionieren. Hinweise: Abbildung der zum Teil sehr komplexen Bezahlsysteme (Zonen, Zeitkarten etc.) schwierig Berücksichtigung von Überlastungen in ÖV-Fahrzeugen komplex, da nur sehr beschränkte Auswirkungen auf Reisezeiten Ortuzar-Willumsen, S.373ff, Spiess und Florian (1989) 70 70

Schwächen der obigen Umlegungsverfahren Abstraktion der Verkehrsinfrastruktur in Strecken und Knoten Kostenberechnung kann nicht alle Aspekte abdecken (teilweise abgedeckt durch SUE) Annahme perfekter Information über Verkehrssituation Vernachlässigung von der Tag-zu-Tag Variationen im Verkehrsaufkommen Widerstandsfunktionen bilden Fluss-Reisezeit-Verhältnis abstrahiert ab Dynamik des Verkehrs wird nicht abgebildet Beschreibungen der Netzelemente Ortuzar-Willumsen, S.381ff 71 71

Dynamische Umlegung Statische Umlegung (obige, klassische Umlegungsverfahren): Modellierung der durchschnittlichen Belastung über längere Zeiträume: Spitzenstunden (1h, 2h oder 4h) Tag Dynamische Umlegung: Modellierung der Belastungen in kurzen Intervallen (Sekunden bis Minuten) mit Berücksichtigung der Wechselwirkungen zwischen den Intervallen (Warteschlangen) 72 72

Verfahren Dynamische Umlegung Detaillierte Abbildung von räumlich-zeitlichen Wechselwirkungen für grössere Netze ist ein extrem komplexes Problem: Fluss auf Strecke hängt nicht nur von Verkehrsaufkommen auf Strecke ab (Annahme bei Widerstandsfunktionen), sondern auch von Verkehrsaufkommen auf Strecken fluss-abwärts und von Kreuzungsdynamiken vor und nach Strecke Verkehrsaufkommen auf Strecke hängt über Routenwahlen von Verkehrssituation in gesamtem Netzwerk ab Lichtsignale und Fahrverhalten führen zu Wellenmustern in der Nachfrage Analytische Lösung nicht möglich. => Approximation der Lösung mit iterativen Simulationen 73 73

Dynamische Umlegung mit Simulationen Beispiel Verkehrssimulation MATSim Zeitliche Auflösung 1 Sekunde => Zeitliche Dynamik des Verkehrs erfasst Strecken als Warteschlangen von Autos simuliert Wenn Warteschlange voll, keine neuen Autos mehr auf Strecke => Rückstau auf Strecken flussaufwärts => Räumliche Dynamik und Wechselwirkungen 74 74

Autonome Fahrzeuge (AV‘s) Derzeit vermeiden Leute Stau durch Erfahrung Stattdessen nutzen Autonome Fahrzeuge ein „Navigationssystem“ Klassische Navigationssysteme führen alle Leute über den gleichen Weg – „All or nothing“ Moderne online Systeme können Stau vermeiden durch automatische Aktualisierung der Reisezeiten 75 75

Umlegung der freien AVs AVs werden oft leere Fahrten haben Was passiert, wenn die AV’s an einem anderen Ort gebraucht werden? Sollen sie die kürzeste Route dorthin nehmen? Wie wirken sie sich auf AV‘s oder normale Autos aus, die schon Mitfahrer haben? Verlängern der Reisezeit Sollen die leeren Autos eine Umleitung machen? Verlängert die Wartezeit der Mitfahrern System Optimum statt individueller Optima 76

Zusammenfassung Kürzeste Wege: Dijkstra-Algorithmus Gleichgewichte: Nutzergleichgewicht vs. Systemoptimum Umlegungsverfahren: «alles oder nichts»-Umlegung Method of Successive Averages Umlegung von ÖV, Hypernetze Widerstandsfunktionen: BPR vs. Davidson 77 77

Literaturhinweise Vorlesung 3 (nächste Vorlesung) Schnabel / Lohse: Kapitel 9 Ortúzar / Willumsen: Kapitel 3.5 78 78

Quellen Beckmann, M.J., C.B. McGuire und C.B. Winsten (1956) Studies in the Economics of Transportation, Yale University Press, New Haven. Maher M. (2001) Stochastic user equilibrium assignment with elastic demand, Traffic Engineering & Control, 42 (5), 163-167. Ortuzar, J. de D. und L.G. Willumsen (2011) Modelling Transport, 4th edition, Wiley, Chichester Roughgarden, T. (2003) The price of anarchy is independent of the network topology, Journal of Computer and System Sciences, 67 (2), 341-364. Sheffi, Y. (1985) Urban Transportation Networks, Prentice-Hall, Inglewood. Spiess, H. und M. Florian (1989) Optimal strategies: a new assignment model for transit networks, Transportation Research, 23B, 82-102. Wardrop, J.G. (1952) Some theoretical aspects of road traffic research, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, 2 (1), 325-378.