Computing orthogonal drawings with the minimum number of bends

Präsentation zum Thema: "Computing orthogonal drawings with the minimum number of bends"—  Präsentation transkript:

1 Computing orthogonal drawings with the minimum number of bends
Shape optimization Computing orthogonal drawings with the minimum number of bends

2 Überblick Berechnung einer orth. Repräsentation für eine gegebene Einbettung (4-planare Graphen) Orth. Repräsentationen von Graphen mit höherem Knotengrad Simple-podevsnef Effiziente Datenstruktur zur Repräsentation aller Einbettungen eines Graphen (SPQR-Bäume) Branch-and-bound Algorithmus zur Berechnung der optimalen orth. Repräsentation Aufzählungsschema der Einbettungen benutzt den berechneten SPQR-Baum des Graphen Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

3 2 unterschiedliche Ansätze
Algorithmen für dieses Problem lassen sich grob in folgende zwei Ansätze einteilen: draw-and-adjust topology-shape-metrics besteht aus folgenden drei Schritten: planarization orthogonalization compaction Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

4 Zwei unterschiedliche orthogonale Zeichnungen derselben orthogonalen Repräsentation
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5 Algorithmus von Tamassia[1987]
Transformation in ein Min-Cost-Flow-Problem Planare Einbettung ) Fluss-Netzwerk Wert eines gültigen Flusses , orth. Repräsentation mit der selben Anzahl von Knicken Berechneter Fluss ) orth. Repräsentation Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

6 Konstruktion des Fluss-Netzwerks
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7 Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

8 Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

9 Eine Fluss-Einheit entspricht Winkel von 90°
Knoten produzieren 4 Fluss-Einheiten Innere faces konsumieren 2*deg(f) – 4 Flusseinheiten Externes face konsumiert 2*deg(f) + 4 Flusseinheiten 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

10 Knoten-face Kanten: Face-face Kanten:
Min. Fluss 1, Kapazität 4, Kosten 0 Face-face Kanten: Min. Fluss 0, Kapazität 1, Kosten 1 1 3 1 90° 270° Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

11 Graphen mit höherem Knotengrad
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12 Orth. Zeichnung von Graphen mit Kontengraden > 4
Expandierte Knoten Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

13 Orth. Zeichnung von Graphen mit Kontengraden > 4
Nicht-expandierte Knoten podevsnef Konvention (planar orthogonal drawing with equal vertex size and nonempty faces) Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

14 Simple-podevsnef Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

15 Konstruktion des Fluss-Netzwerks
Knoten-face Kanten: Kapazität 4-deg(u), Kosten 0 Face-face Kanten: Kapazität 1, Kosten 1 Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

16 Konstruktion des Fluss-Netzwerks
Face-Knoten Kanten: Kapazität 1, Kosten 1 Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

17 Konstruktion des Fluss-Netzwerks
0° 0,0 1,1 0,0 0,0 0,0 Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

18 Minimale Anzahl von Kantenknicken in zwei unterschiedlichen Einbettung desselben Graphen
Anzahl der Knicke: 8 Anzahl der Knicke: 5 Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

19 SPQR-Bäume Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

20 Split pair und split components
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21 Rekursiver Aufbau des SPQR-Baums
t e Pertinent Graph zum Paar (t,s) s Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

22 Trivial Case: Q Parallel Case: P Serial Case: S Rigid Case: R s t s t

23 Beispiel Serial Case e Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

24 Beispiel Serial Case S Skeleton von S R Q P 30.11.2018
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25 Repräsentation aller möglichen Einbettungen des Graphen durch den SPQR-Baum
v t Q u w u S v s R P Q e v … P S Q Q Q w w S Q Q Q Q Q s Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

26 Der branch-and-bound Algorithmus
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27 Repräsentation aller möglichen Einbettungen des Graphen durch den SPQR-Baum
… P S Q Q Q S Q Q Q Q Q Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

28 Beispiel für einen Such-Baum
- - - 0 - - 1 - - 0 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends

29 Vermeidung von mehrfacher Betrachtung derselben Einbettung
Partieller Graph zum Knoten (0, -, -) des Suchbaums: - - - 0 - - 0 0 - 0 1 - e 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 liegt außen Orthogonal DrawingComputing orthogonal drawings with the minimum number of bends