Algorithmen für Geographische Informationssysteme

Algorithmen für Geographische Informationssysteme
2. Vorlesung: 2. Mai 2017 Thomas van Dijk basiert auf Folien von Jan-Henrik Haunert

Map Matching ? !

Map Matching ...als Teil von Fahrzeugnavigationssystemen
Bildquelle: Quddus 2006

Map Matching Schwierigkeit: ungenaue Beobachtungen
Bildquelle: Wikipedia GPS: Positionsgenauigkeit ca. 20 m

Repräsentation als Graph
Map Matching Schwierigkeit: ungenaue Beobachtungen abstrahierte/vereinfachte Repräsentation des Straßennetzes tatsächliche Straßenkreuzung Repräsentation als Graph Bildquelle: Quddus 2006

Unterschiede zweier Datensätze
Map Matching Schwierigkeit: ungenaue Beobachtungen abstrahierte/vereinfachte Repräsentation des Straßennetzes Unterschiede zweier Datensätze Bildquelle: Quddus 2006

Unterschiede zweier Datensätze
Map Matching Aufgabenteile: Auf welcher Kante befindet sich das Fahrzeug? Wo auf der Kante befindet sich das Fahrzeug? Unterschiede zweier Datensätze Bildquelle: Quddus 2006

getrennt für jede Positionierung
Map Matching getrennt für jede Positionierung Punkt-zu-Punkt-Zuordnung Algorithmus? Bildquelle: Quddus 2006

Map Matching getrennt für jede Positionierung Punkt-zu-Kante-Zuordnung Bildquelle: Quddus 2006

Map Matching getrennt für jede Positionierung weitere Verbesserung: Vergleiche Fahrtrichtung mit Kantenrichtung Punkt-zu-Kante-Zuordnung Bildquelle: Quddus 2006

Map Matching Problemformulierung Gegeben:
Das Straßennetz als planar eingebetteter Graph 𝐺= 𝑉,𝐸 Die GPS-Trajektorie als Folge 𝑃= 𝑝 1 , 𝑝 2 ,…, 𝑝 𝑚 von Punkten Gesucht: Weg in 𝐺, der minimale Distanz zu 𝑃 hat.

Map Matching 𝑃 1 𝑃 2

Minimaler euklidischer Abstand zwischen
Map Matching Minimaler euklidischer Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 , 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑑 𝑃 1 , 𝑃 2 =min 𝑑 𝑝 1 , 𝑝 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 , 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑃 1 𝑑 𝑃 1 , 𝑃 2 𝑃 2

Map Matching Minimaler euklidischer Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 , 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑑 𝑃 1 , 𝑃 2 =min 𝑑 𝑝 1 , 𝑝 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 , 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑃 1 𝑑 𝑃 1 , 𝑃 2 𝑃 2 𝑃 1 und 𝑃 2 hier: Polygonzüge allgemeiner: Punktmengen

Minimaler euklidischer Abstand zwischen Als Distanzmaß ungeeignet!
Map Matching Minimaler euklidischer Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 , 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑑 𝑃 1 , 𝑃 2 =min 𝑑 𝑝 1 , 𝑝 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 , 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑃 1 𝑑 𝑃 1 , 𝑃 2 𝑃 2 Wird zu Null, wenn sich 𝑃 1 und 𝑃 2 schneiden! Als Distanzmaß ungeeignet!

Map Matching Minimaler euklidischer Abstand zwischen einem festen Punkt 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 und einem beliebigen Punkt 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 =min 𝑑 𝑝 1 , 𝑝 2 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑝 1 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑃 2

gerichtete Hausdorff-Distanz
Map Matching gerichtete Hausdorff-Distanz 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 mit 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 =min 𝑑 𝑝 1 , 𝑝 2 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑃 1 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 𝑃 2

Map Matching gerichtete Hausdorff-Distanz 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 mit 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 =min 𝑑 𝑝 1 , 𝑝 2 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑃 1 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 𝑑 hdorff 𝑃 2 , 𝑃 1 𝑃 2 Achtung: Allgemein gilt 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 ≠ 𝑑 hdorff 𝑃 2 , 𝑃 1 .

Map Matching Hausdorff-Distanz
𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑑 hdorff 𝑃 2 , 𝑃 1 mit 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 und 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 =min 𝑑 𝑝 1 , 𝑝 2 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑃 1 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 𝑃 2

Map Matching Berechnung für zwei Polygonzüge: Hausdorff-Distanz 𝑃 1
𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 𝑃 2 Bezieht immer eine Ecke und eine Kante oder zwei Ecken ein.

Map Matching Berechnung für zwei Polygonzüge:
Hausdorff-Distanz Berechnung für zwei Polygonzüge: 𝑃 1 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 𝑃 2 Bezieht immer eine Ecke und eine Kante oder zwei Ecken ein. Naiver Algorithmus braucht 𝑂 𝑚𝑛 Zeit.

Map Matching Besserer Algorithmus: Hausdorff-Distanz
Alt et al. 1995: Approximate Matching of Polygonal Shapes. Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 13(1995)

𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 𝑃 1 𝑝 1 𝑃 2

𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 Voronoi-Diagramm für 𝑃 2 kann in 𝑂 𝑛 log 𝑛 Zeit berechnet werden hat 𝑂 𝑛 Kanten 𝑝 1 𝑃 2

𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 𝑃 1 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 nimmt ab 𝑝 1 𝑃 2

𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 𝑃 1 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 nimmt ab 𝑝 1 𝑃 2 Es reicht aus, für 𝑝 1 Schnitte von 𝑃 1 mit Voronoi-Kanten und Ecken von 𝑃 1 zu betrachten!

𝑃 2 𝑃 1 𝑝 1

𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 𝑃 1 𝑝 1 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 nimmt ab 𝑃 2

𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 𝑃 1 𝑝 1 𝑃 2 Pro Voronoi-Kante kommen nur zwei Schnitte für 𝑝 1 in Betracht!

diskrete Menge mit 𝑂 𝑚+𝑛 Elementen Besserer Algorithmus: 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈𝑆 𝑃 1 𝑝 1 𝑃 2 Pro Voronoi-Kante kommen nur zwei Schnitte für 𝑝 1 in Betracht!

diskrete Menge mit 𝑂 𝑚+𝑛 Elementen Besserer Algorithmus: 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈𝑆 𝑃 1 𝑝 1 𝑃 2 𝑆 kann in 𝑂 𝑚+𝑛 log 𝑚+𝑛 gefunden werden. (Sweep Line Algorithmus)

Map Matching Besserer Algorithmus: Hausdorff-Distanz Laufzeit:
Voronoi-Diagramm 𝑂 𝑛 log 𝑛 Menge 𝑆 𝑂 𝑚+𝑛 log 𝑚+𝑛 Maximum finden 𝑂 𝑚+𝑛

Map Matching Besserer Algorithmus: Hausdorff-Distanz Laufzeit:
Voronoi-Diagramm 𝑂 𝑛 log 𝑛 Menge 𝑆 𝑂 𝑚+𝑛 log 𝑚+𝑛 Maximum finden 𝑂 𝑚+𝑛 Gesamt 𝑶 𝒎+𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝒎+𝒏

Map Matching Typische Aufgabe (Point Pattern Matching)
Hausdorff-Distanz Typische Aufgabe (Point Pattern Matching) Gegeben zwei diskrete Punktmengen 𝑃 1 , 𝑃 2 Finde Rotation/Verschiebung 𝑓 so dass 𝑑 hdorff 𝑓 𝑃 1 , 𝑃 2 minimal ist. 𝑃 1 𝑃 2

Hausdorff-Distanz Typische Aufgabe (Point Pattern Matching) Gegeben zwei diskrete Punktmengen 𝑃 1 , 𝑃 2 Finde Rotation/Verschiebung 𝑓 so dass 𝑑 hdorff 𝑓 𝑃 1 , 𝑃 2 minimal ist. 𝑓 𝑃 1 𝑃 2

Hausdorff-Distanz Typische Aufgabe (Point Pattern Matching) Gegeben zwei diskrete Punktmengen 𝑃 1 , 𝑃 2 Finde Rotation/Verschiebung 𝑓 so dass 𝑑 hdorff 𝑓 𝑃 1 , 𝑃 2 minimal ist. 𝑓 𝑃 1 Lösbar in 𝑂 𝑃 𝑃 log 2 𝑃 1 𝑃 2 Zeit (Chew et al. 1997, CGTA) 𝑃 2

Map Matching gerichtete Hausdorff-Distanz 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 mit 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 =min 𝑑 𝑝 1 , 𝑝 2 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 stellt für 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 einen Bezug zu einem Punkt 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 her für Map Matching wichtig!

Map Matching gerichtete Hausdorff-Distanz 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 mit 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 =min 𝑑 𝑝 1 , 𝑝 2 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑃 2 𝑞 1 𝑟 1 𝑃 1 𝑝 1

Map Matching gerichtete Hausdorff-Distanz 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 mit 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 =min 𝑑 𝑝 1 , 𝑝 2 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑟 2 𝑃 2 𝑞 1 𝑟 1 𝑃 1 𝑝 2 𝑞 2 𝑝 1

Map Matching gerichtete Hausdorff-Distanz 𝑑 hdorff 𝑃 1 , 𝑃 2 =max 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 𝑝 1 ∈ 𝑃 1 mit 𝑑 𝑝 1 , 𝑃 2 =min 𝑑 𝑝 1 , 𝑝 2 𝑝 2 ∈ 𝑃 2 𝑟 2 𝑃 2 Reihenfolge 𝑝𝑞𝑟 wird nicht eingehalten! 𝑃 1 𝑝 2 𝑞 2 Zuordnung der Punkte nicht plausibel!

Fréchet-Distanz Herrchen läuft entlang 𝑃 1 ohne jemals umzukehren. Hund läuft entlang 𝑃 2 ohne jemals umzukehren. Herrchen und Hund sind über Hundeleine verbunden. Wie lang ist die Hundeleine mindestens? 𝑃 2 𝑃 1

Fréchet-Distanz 𝑃 2 𝑃 1 Polygonzug als parametrisierte Kurve:
𝑝 1 (𝑡) mit 0≤𝑡≤𝑚−1 ist ein Punkt auf 𝑃 1 . Für ganzzahlige 𝑡 ist 𝑝 1 (𝑡) die 𝑡+1 -te Ecke von 𝑃 1 . Ansonsten ist 𝑝 1 𝑡 = 𝑝 1 𝑡 + 𝑡− 𝑡 ⋅ 𝑝 1 𝑡 +1 − 𝑝 1 𝑡 Beispiel: 𝑝 = 𝑝 ⋅ 𝑝 1 3 − 𝑝 1 2 𝑃 2 𝑃 1

Fréchet-Distanz Definition: 𝑑 fréchet = min 𝛼: 0,1 → 0,𝑚−1 𝛽: 0,1 → 0,𝑛− max 𝑡∈ 0,1 𝑑 𝑝 1 𝛼 𝑡 , 𝑝 2 𝛽 𝑡 wobei 𝛼 und 𝛽 monoton wachsende und stetige Funktionen sind und 𝛼 0 =𝛽 0 =0, 𝛼 1 =𝑚−1, 𝛽 1 =𝑛−1. 𝑃 2 𝑃 1

Fréchet-Distanz Definition: 𝑑 fréchet = min 𝛼: 0,1 → 0,𝑚−1 𝛽: 0,1 → 0,𝑛− max 𝑡∈ 0,1 𝑑 𝑝 1 𝛼 𝑡 , 𝑝 2 𝛽 𝑡 wobei 𝛼 und 𝛽 monoton wachsende und stetige Funktionen sind und 𝛼 0 =𝛽 0 =0, 𝛼 1 =𝑚−1, 𝛽 1 =𝑛−1. Für Knotenabstände = 1: 𝛼 𝑡 = Entfernung, die nach Zeit 𝑡 zurückgelegt wurde. 𝑃 2 𝑃 1

Fréchet-Distanz Löse Entscheidungsproblem: Ist 𝑑 fréchet ≤𝜖?
Berechnung: Löse Entscheidungsproblem: Ist 𝑑 fréchet ≤𝜖? dann parametrische Suche... 𝑃 2 𝑃 1

Fréchet-Distanz Ist 𝑑 fréchet ≤𝜖? Spezialfall: 𝑝 1 0.6 𝑝 2 0.75 𝜖 𝑃 1
𝑝 𝑃 2 𝑝 𝜖

𝑝 Zuordnung 0.6,0.75 ist zulässig! 𝑃 2 𝑝 𝜖

Zuordnung 0.1,0.9 ist nicht zulässig! 𝑃 2 𝑝 𝑝 𝜖

Fréchet-Distanz Ist 𝑑 fréchet ≤𝜖? Spezialfall: 𝑝 1 1 𝑝 2 0 𝑝 2 1 𝑝 1 0
𝑃 1 𝑝 1 1 𝑃 1 𝑃 2 1 𝑝 2 0 𝑝 2 1 𝑝 1 0 𝑃 2 1 𝜖

Fréchet-Distanz Ist 𝑑 fréchet ≤𝜖? Spezialfall: 𝜖 𝑃 1 𝑃 1 𝑃 2 𝑃 2
Zuordnung 0.6,0.75 ist zulässig! 𝑃 1 𝑃 2 1 𝑃 2 1 𝜖

Fréchet-Distanz Ist 𝑑 fréchet ≤𝜖? Spezialfall: 𝜖 𝑃 1 𝑃 1 𝑃 2 𝑃 2
Zuordnung 0.6,0.75 ist zulässig! Zuordnung 0.1,0.9 ist nicht zulässig! 𝑃 1 𝑃 2 1 𝑃 2 1 𝜖

Fréchet-Distanz Ist 𝑑 fréchet ≤𝜖? Spezialfall: 𝜖 Freiraum
𝐹 𝜖 = 𝑠,𝑡 ∈ 0, 𝑑 𝑝 1 𝑠 , 𝑝 2 𝑡 ≤𝜖 Spezialfall: hat die Form einer Ellipse! 𝑃 1 Zuordnung 0.6,0.75 ist zulässig! Zuordnung 0.1,0.9 ist nicht zulässig! 𝑃 1 𝑃 2 1 𝐹 𝜖 𝑃 2 1 𝜖

Fréchet-Distanz Anhand 𝑭 𝝐 entscheiden! Ist 𝑑 fréchet ≤𝜖? Spezialfall:
Freiraum 𝐹 𝜖 = 𝑠,𝑡 ∈ 0, 𝑑 𝑝 1 𝑠 , 𝑝 2 𝑡 ≤𝜖 Spezialfall: hat die Form einer Ellipse! 𝑃 1 Anhand 𝑭 𝝐 entscheiden! 𝑃 1 𝑃 2 1 𝐹 𝜖 𝑃 2 1 𝜖

Fréchet-Distanz 𝑑 fréchet ≤𝜖 ⇔ Es gibt einen Pfad von 0,0 nach 1,1
Freiraum 𝐹 𝜖 = 𝑠,𝑡 ∈ 0, 𝑑 𝑝 1 𝑠 , 𝑝 2 𝑡 ≤𝜖 hat die Form einer Ellipse! 𝑑 fréchet ≤𝜖 ⇔ Es gibt einen Pfad von 0,0 nach 1,1 im inneren von 𝐹 𝜖 , der in beide Richtungen monoton ist. 𝑃 1 1 𝐹 𝜖 𝑃 2 1

Freiraum 𝐹 𝜖 = 𝑠,𝑡 ∈ 0, 𝑑 𝑝 1 𝑠 , 𝑝 2 𝑡 ≤𝜖 hat die Form einer Ellipse! 𝑑 fréchet ≤𝜖 ⇔ Es gibt einen Pfad von 0,0 nach 1,1 im inneren von 𝐹 𝜖 , der in beide Richtungen monoton ist. 𝑃 1 1 𝐹 𝜖 𝑃 2 1 Hier gibt es ihn nicht, da 0,0 ∉ 𝐹 𝜖 !

Freiraum 𝐹 𝜖 = 𝑠,𝑡 ∈ 0, 𝑑 𝑝 1 𝑠 , 𝑝 2 𝑡 ≤𝜖 hat die Form einer Ellipse! 𝑑 fréchet ≤𝜖 ⇔ Es gibt einen Pfad von 0,0 nach 1,1 im inneren von 𝐹 𝜖 , der in beide Richtungen monoton ist. 𝑃 1 1 𝐹 𝜖 𝑃 2 1 Für größeres 𝜖 gibt es einen Pfad!

Fréchet-Distanz nicht monoton! 𝑑 fréchet ≤𝜖 ⇔ Es gibt einen Pfad
Freiraum 𝐹 𝜖 = 𝑠,𝑡 ∈ 0, 𝑑 𝑝 1 𝑠 , 𝑝 2 𝑡 ≤𝜖 hat die Form einer Ellipse! 𝑑 fréchet ≤𝜖 ⇔ Es gibt einen Pfad von 0,0 nach 1,1 im inneren von 𝐹 𝜖 , der in beide Richtungen monoton ist. 𝑃 1 nicht monoton! 1 𝐹 𝜖 𝑃 2 1 Für größeres 𝜖 gibt es einen Pfad!

Fréchet-Distanz 𝑑 fréchet ≤𝜖 ⇔ Es gibt einen Pfad von 0,0 nach 𝑚,𝑛
Freiraum 𝐹 𝜖 = 𝑠,𝑡 ∈ 0,𝑚−1 × 0,𝑛−1 𝑑 𝑝 1 𝑠 , 𝑝 2 𝑡 ≤𝜖 𝑃 2 𝑑 fréchet ≤𝜖 ⇔ Es gibt einen Pfad von 0,0 nach 𝑚,𝑛 im inneren von 𝐹 𝜖 , der in beide Richtungen monoton ist. 𝑃 1 𝜖 𝑃 2 𝑃 1

Fréchet-Distanz 𝑑 fréchet ≤𝜖 ⇔ Es gibt einen Pfad von 0,0 nach 𝑚,𝑛
Freiraum 𝐹 𝜖 = 𝑠,𝑡 ∈ 0,𝑚−1 × 0,𝑛−1 𝑑 𝑝 1 𝑠 , 𝑝 2 𝑡 ≤𝜖 𝑃 2 𝑑 fréchet ≤𝜖 ⇔ Es gibt einen Pfad von 0,0 nach 𝑚,𝑛 im inneren von 𝐹 𝜖 , der in beide Richtungen monoton ist. 𝑃 1 𝜖 𝑃 2 𝐹 𝜖 kann in 𝑂 𝑚𝑛 Zeit berechnet werden. 𝑃 1

Fréchet-Distanz TODO: Finde zulässigen Pfad in 𝐹 𝜖 . 𝑑 fréchet ≤𝜖
Freiraum 𝐹 𝜖 = 𝑠,𝑡 ∈ 0,𝑚−1 × 0,𝑛−1 𝑑 𝑝 1 𝑠 , 𝑝 2 𝑡 ≤𝜖 𝑃 2 𝑑 fréchet ≤𝜖 ⇔ Es gibt einen Pfad von 0,0 nach 𝑚,𝑛 im inneren von 𝐹 𝜖 , der in beide Richtungen monoton ist. 𝑃 1 𝜖 𝑃 2 TODO: Finde zulässigen Pfad in 𝐹 𝜖 . 𝐹 𝜖 kann in 𝑂 𝑚𝑛 Zeit berechnet werden. 𝑃 1

Fréchet-Distanz Kanten einer Freiraumzelle:
𝐵 𝑖,𝑗 𝐹 , 𝐵 𝑖,𝑗+1 𝐹 , 𝐿 𝑖,𝑗 𝐹 , 𝐿 𝑖+1,𝑗 𝐹

𝐵 𝑖,𝑗 𝐹 , 𝐵 𝑖,𝑗+1 𝐹 , 𝐿 𝑖,𝑗 𝐹 , 𝐿 𝑖+1,𝑗 𝐹 Teile dieser Kanten, die von (0,0) aus erreichbar sind: 𝐵 𝑖,𝑗 𝑅 , 𝐵 𝑖,𝑗+1 𝑅 , 𝐿 𝑖,𝑗 𝑅 , 𝐿 𝑖+1,𝑗 𝑅

𝐵 𝑖,𝑗 𝐹 , 𝐵 𝑖,𝑗+1 𝐹 , 𝐿 𝑖,𝑗 𝐹 , 𝐿 𝑖+1,𝑗 𝐹 Teile dieser Kanten, die von (0,0) aus erreichbar sind: 𝐵 𝑖,𝑗 𝑅 , 𝐵 𝑖,𝑗+1 𝑅 , 𝐿 𝑖,𝑗 𝑅 , 𝐿 𝑖+1,𝑗 𝑅 𝑳 𝒊,𝒋 𝑹 𝐵 𝑖,𝑗 𝑅 , 𝐿 𝑖,𝑗 𝑅 bekannt 𝑩 𝒊,𝒋 𝑹 =∅

𝐵 𝑖,𝑗 𝐹 , 𝐵 𝑖,𝑗+1 𝐹 , 𝐿 𝑖,𝑗 𝐹 , 𝐿 𝑖+1,𝑗 𝐹 𝑩 𝒊,𝒋+𝟏 𝑹 Teile dieser Kanten, die von (0,0) aus erreichbar sind: 𝐵 𝑖,𝑗 𝑅 , 𝐵 𝑖,𝑗+1 𝑅 , 𝐿 𝑖,𝑗 𝑅 , 𝐿 𝑖+1,𝑗 𝑅 𝑳 𝒊+𝟏,𝒋 𝑹 𝑳 𝒊,𝒋 𝑹 𝐵 𝑖,𝑗 𝑅 , 𝐿 𝑖,𝑗 𝑅 bekannt ⇒ 𝐵 𝑖,𝑗+1 𝑅 , 𝐿 𝑖+1,𝑗 𝑅 𝑩 𝒊,𝒋 𝑹 =∅

Fréchet-Distanz Algorithmus

Fréchet-Distanz Löse Entscheidungsproblem: Ist 𝑑 fréchet ≤𝜖? 𝑃 2 𝑃 1
Berechnung: Löse Entscheidungsproblem: Ist 𝑑 fréchet ≤𝜖? 𝑃 2 𝑃 1

Fréchet-Distanz 𝑂 𝑚𝑛 log 𝑚𝑛 Zeit
Berechnung: Löse Entscheidungsproblem: Ist 𝑑 fréchet ≤𝜖? 𝑂 𝑚𝑛 log 𝑚𝑛 Zeit dann parametrische Suche... (hier ohne Details) 𝑃 2 𝑃 1

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