Trigonometrie 1. Seitenbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck 2. Winkel-Seitenbeziehungen 3. Winkelfunktionen beliebiger Winkel im Einheitskreis 4. Zweideutigkeit der allgemeinen Winkelfunktionen 5. Sinussatz im allgemeinen Dreieck 6. Cosinussatz im allgemeinen Dreieck
1. Seitenbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck H: Hypotenuse C GK: Gegenkathete AK AK: Ankathete GK A H B Jedem Winkel lässt sich ein bestimmtes Seitenverhältnis zuordnen: sin( ) = GK H Sinusbeziehung Begründung für die Eindeutigkeit der Zuordnung: cos( ) = AK H Cosinusbeziehung Strahlensätze tan( ) = GK AK Tangensbeziehung
2. Winkel-Seitenbeziehungen sin, cos, tan Winkel gegeben ergibt Seitenverhältnis sin-1, cos-1, tan-1 ergibt Winkel Seitenverhältnis gegeben Spezielle Winkel – spezielle Seitenverhältnisse 30° 45° 60°
3. Winkelfunktionen beliebiger Winkel im Einheitskreis Im ersten Quadranten gelten für einen Punkt P = (x / y) (bzw. Winkel ) gemäss den Definitionen im rechtwinkligen Dreieck: Die Definitionen für einen beliebigen Winkel (bzw. beliebigen Punkt P = (x / y) auf dem Einheitskreis) lassen sich entsprechend erweitern:
4. Zweideutigkeit der allgemeinen Winkelfunktionen Spezielle Funktionswerte: 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315°
h 5. Sinussatz im allgemeinen Dreieck C a b h B c A Die Seiten in einem allgemeinen Dreieck verhalten sich wie die Sinuswerte der entsprechenden (gegenüberliegenden) Winkel. Begründung: Die Höhe h teilt das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke:
6. Der Cosinussatz im allgemeinen Dreieck B A C a b c h q a2 = b2 + c2 - 2bc·cos( ) p b2 = c2 + a2 - 2ca·cos( ) c2 = a2 + b2 - 2ab·cos( ) Begründung: Die Höhe h teilt das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Hypothenusen- abschnitten p und q: h = b·sin(a) ; p = b·cos(a) ; q = c – p ; einsetzen in a2 = h2 + q2 ergibt: a2 = b2 ·sin(a)2 + c2 - 2bc·cos(a) + b2·cos(a)2 = b2(sin(a)2 + cos(a)2) + c2 - 2bc·cos(a) mit sin(a)2 + cos(a)2 = 1 ergibt sich der Cosinussatz