RFAG-Mathematik KT Bergische Region1 Flächensätze Korrelationskoeffizient präsentiert von Michael Spielmann Das Skalarprodukt in Geometrie und Statistik.

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1 RFAG-Mathematik KT Bergische Region1 Flächensätze Korrelationskoeffizient präsentiert von Michael Spielmann Das Skalarprodukt in Geometrie und Statistik

2 RFAG-Mathematik KT Bergische Region2 Welches Anliegen hat der Vortrag? Vernetzung im Sinne eines Spiralcurriculums Verankerung des Begriffes in verschiedenen Kontexten Ermöglichung differenzierter Sicht auf mathematische Begriffe

3 RFAG-Mathematik KT Bergische Region3 Welche Klassenstufen werden angesprochen? Klasse 8: Ähnlichkeit Klasse 9: Kathetensatz, Pythagoras Klasse 10: Cosinus-Satz Klasse 11: Statistik, Regression Klasse 12: Vektorgeometrie

4 RFAG-Mathematik KT Bergische Region4 Gliederung des Vortrages Geometrie: Ähnlichkeit -> Projektionssatz (speziell Kathetensatz, Pythagoras) Projektionssatz -> Cosinus-Satz Cosinus-Satz -> Skalarprodukt Statistik: Listen sind Vektoren Korrelationskoeffizient ist Skalarprodukt

5 RFAG-Mathematik KT Bergische Region5 Wir beschränken uns auf spitzwinklige Dreiecke. 1.Teil:Geometrie

6 RFAG-Mathematik KT Bergische Region6 Höhen erzeugen ähnliche Teildreiecke.

7 RFAG-Mathematik KT Bergische Region7 Man kann die Höhen ins Verhältnis setzen; das führt aber zu einem anderen Thema.

8 RFAG-Mathematik KT Bergische Region8 Wir betrachten Seitenverhältnisse:

9 RFAG-Mathematik KT Bergische Region9 Rechteck-Flächen? Flächen Verhältnis

10 RFAG-Mathematik KT Bergische Region10 Bevor wir die Rechtecke betrachten, beschreiben wir AD und AE. AD ist die orthogonale Projektion von AC auf AB. Oder Projektion p bc von b auf c Seite c Seite b

11 RFAG-Mathematik KT Bergische Region11 In der neuen Schreibweise notieren wir:

12 RFAG-Mathematik KT Bergische Region12 Das erinnert an den Kathetensatz und an den Pythagoras. Wir ergänzen die Figur. flächengleiche Rechtecke sind auch hier denkbar

13 RFAG-Mathematik KT Bergische Region13

14 RFAG-Mathematik KT Bergische Region14 Beim spitzwinkligen Dreieck sind die Projektionsrechtecke mit gemeinsamer Ecke flächengleich. Zwei Projektionsrechtecke sind zu Kathetenquadraten geworden.

15 RFAG-Mathematik KT Bergische Region15

16 RFAG-Mathematik KT Bergische Region16 Trigonometrie

17 RFAG-Mathematik KT Bergische Region17 Wir sind beim Cosinussatz angekommen. Und der ist ja als Verallgemeinerung des Pythagoras bekannt.

18 RFAG-Mathematik KT Bergische Region18 Definitionen geometrisch algebraisch Skalarprodukt

19 RFAG-Mathematik KT Bergische Region19 Das erinnert uns an den Cosinus-Satz! Und an die Projektionsrechtecke! Wir nutzen die Definition mit cosinus. Die Fläche des Rechtecks war

20 Das Skalarprodukt kann man sich als Rechteckfläche veranschaulichen: Die eine Rechteckseite ist die Länge des einen Vektors, die andere Seite ist die Projektionslänge des anderen auf den ersten Vektor.

21 RFAG-Mathematik KT Bergische Region21 Regressionsanalyse Regressionsanalyse bringt zwei Messreihen in Verbindung linearer Zusammenhang gesucht Methode der kleinsten Quadrate Qualitätsmaß (Korrelation) 2.Teil:Statistik

22 RFAG-Mathematik KT Bergische Region22 Covarianz Varianzen Steigung Korrelationskoeff. Diese Formeln sind bekannt.

23 RFAG-Mathematik KT Bergische Region23 Das sind Skalarprodukte n-dimensionaler Vektoren. Wir ahnen etwas.

24 RFAG-Mathematik KT Bergische Region24 Vektoren transformieren Regressionsgerade verläuft durch den Schwerpunkt der Wolke Koordinatensystem in Schwerpunkt legen

25 RFAG-Mathematik KT Bergische Region25 Covarianz Varianzen Steigung Korrelationskoeff. Nach Transformation erhalten wir

26 RFAG-Mathematik KT Bergische Region26 XYUVW 2223-22-27 3825-6-25 3136-13-14 3655-85 5754134 65672117 59901540 445000 Ziel: w so bestimmen, dass w=mu Lineare Funktion, Proportionalität, minimale Quadratsumme W -26,3 -7,2 -15,5 -9,5 15,5 25,1 17,9 0 Spaltenvektoren

27 RFAG-Mathematik KT Bergische Region27 Als Regressionsgerade ist gesucht ein Vektor mit der Eigenschaft „Proportionalität“.

28 RFAG-Mathematik KT Bergische Region28 UVW -22-27 -6-25 -13-14 -85 134 2117 1540 W -26,3 -7,2 -15,5 -9,5 15,5 25,1 17,9

29 RFAG-Mathematik KT Bergische Region29 ist die Menge der (transformierten) Werte der unabhängigen Größe, die Menge der (nicht passenden) abhängigen Größe, die Menge der (proportionalen) angepassten abhängigen Größe.

30 RFAG-Mathematik KT Bergische Region30 Die Steigung der Regressionsgeraden (Proportionalitätsfaktor m) ist ein Skalarprodukt oder Projektionslänge geteilt durch Länge u

31 RFAG-Mathematik KT Bergische Region31 Länge von w ist Projektion von v auf u w hat Richtung von u, und Länge ist Projektion v auf u.

32 RFAG-Mathematik KT Bergische Region32 Wie hatten wir w angepasst? Methode der kleinsten Quadrate: soll minimal sein Dieser Betrag ist offenbar das „Lot“ (was sicher minimal ist).

33 RFAG-Mathematik KT Bergische Region33 Korrelation Als Qualitätsmaß der Regressionsbeziehung dient der Korrelationskoeffizient.

34 RFAG-Mathematik KT Bergische Region34 r ist ein Skalarprodukt geometrisch geschrieben, also: der Cosinus des „Winkels“ zwischen den Vektoren Sei z.B.

35 RFAG-Mathematik KT Bergische Region35 Die Vektoren u und v schließen einen „Winkel von 37° “ ein. Wir erhalten eine andere Lesart der Qualität der Regressionsbeziehung! r nahe 1 bedeutet hohe Korrelation. Vektoriell gesehen ist dann der Winkel zwischen u und v klein.

36 RFAG-Mathematik KT Bergische Region36 Vielen Dank für Ihr Interesse!