Geometrisch-topologische Konsistenz in Geo-Informationssystemen Dipl.-Inform. Gerhard Gröger Institut für Umweltwissenschaften Hochschule Vechta 14. Mai 1999

Rigorosum 06.06.2018 00:08 Problemstellung GIS-Anwendung: Geo-Daten dürfen keine Fehler enthalten (Konsistenz) Geo-Daten: größter Kostenfaktor entstehender Markt Zuverlässige Verfahren erforderlich Fokus: geometrisch-topologische Konsistenz: Überlagerungsfreiheit von Flächen (Anwendungen: Amtliche Statistik, Kataster, ..... ) Problemstellung: Wie wird die Überlagerungsfreiheit von Flächen zuverlässig und möglichst effizient sichergestellt? Konzeptioneller Ausgangspunkt: Landkarte Zu voll Mosaikzerlegung einmal erwähnen verdichten Zuverlässigkeit (105 %) Automatisch raus

Landkarten II I D Außen C A B Schnittfreier Graph mit Knoten, Kanten und Maschen Maschen werden von einem einfachen Zyklus begrenzt Maschen überlagern sich nicht und überdecken die Ebene vollständig Explizite Repräsentation topologischer Beziehungen: Topologie(Kantenname, Anfangsknoten, Endknoten, Linke_Masche, Rechte_Masche) D Außen II C A I B

Überlagerungsfreiheit: existierende Verfahren Rigorosum 06.06.2018 00:08 Überlagerungsfreiheit: existierende Verfahren Kommerzielle GIS (z.B. Arc/Info): nicht nachvollziehbar und nicht verifizierbar Axiome: nachvollziehbar, aber nachweisbar nicht vollständig (erkennen nicht jeden Fehler): U.S. Bureau of the Census (1979) Gruppe um Martien Molenaar (ITC, Enschede, 1998) Europäische Vornorm ENV 12160 „Raumbezugs-schema“ (1998); Anwendung: ALKIS/ATKIS Überlagerungsfreiheit von Flächen kann bisher nicht zuverlässig sichergestellt werden Mathematische Definition: ungeeignet (WEG)

Axiome des „U.S. Bureau of the Census“ 1. Schnittfreiheit der Kanten 2. Jede Kante hat zwei Maschen auf verschiedenen Seiten 3. Jede Masche wird von einem einfachen Zyklus begrenzt 4. Jeder Knoten hat einen Zyklus von Kanten und Maschen

Bisherige Axiome: Nicht aufgedeckter Fehler Konsistente Landkarte Topologie-Relation unverändert Inkonsistenz zwischen Geometrie und Topologie

Neue, beweisbar vollständige Axiome 1. Schnittfreiheit der Kanten 2. Jede Kante hat zwei Maschen auf verschiedenen Seiten 3. Jede Masche wird von einem einfachen Zyklus begrenzt 4. Kein Mittelpunkt einer Kante liegt in einer Masche

Teure Axiome Axiom 1 (Schnittfreiheit): Unbedingt erforderlich, Aufwand von O(n log n) ist optimal Axiom 4 (Überlagerungsfreiheit): Punkt-in-Polygon-Verfahren für jede Kante und jede Masche:  Aufwand quadratisch in der Anzahl der Kanten: O(n²)  Vollständigkeit wird durch hohe Kosten erkauft Anzahl der Schnittpunkte gerade: außerhalb ungerade: innerhalb

Neue, beweisbar vollständige und effiziente Axiome 1. Schnittfreiheit der Kanten 2. Jede Kante hat zwei Maschen auf verschiedenen Seiten 3. Jede Masche wird von einem einfachen Zyklus begrenzt 4. Es gibt genau eine unbeschränkte Masche

„Effizientes“ Axiom 4 Es gibt genau eine unbeschränkte Masche Summe der Innenwinkel: 5 * 180 – 360 = 540 Summe der Außenwinkel: 5 * 180 + 360 = 1260 lokal überprüfbar, Aufwand linear in der Anzahl der Knoten: O(n) wesentlich effizienter als das „naive“ Axiom 4 (O(n²))

Kosten n² n log n n Aufwand „naives“ Axiom 4: O(n²) Schnittaxiom: O(n log n) „effizientes“ Axiom 4: O(n) n² 2,5109 2109 1,5109 109 n log n 5108 n 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 Anzahl n der Kanten

Äquivalenz: „Naives“ und „effizientes“ Axiom 4 Rigorosum 06.06.2018 00:08 Äquivalenz: „Naives“ und „effizientes“ Axiom 4 Satz: Wenn es nur ein „Außen“ gibt, dann überlagern sich Maschen nicht Beweis durch Widerspruch: Wenn sich zwei Maschen überlagern, dann gibt es zwei „Außen“  Widerspruch zu „effizientem“ Axiom 4 (genau ein „Außen“)

Überlagerungsfreiheit: Widerspruchsbeweis Behauptung: Wenn sich zwei Maschen („Rot“ und „Blau“) überlagern, dann gibt es zwei „Außen“ Beweisidee: Gleich, wo man sich hinbewegt, man ist immer in zwei verschiedenen Maschen Rot = Blau kann nicht vorkommen dann hätte man eine Masche betreten, in der man bereits ist Widerspruch zu Axiom 3 („Jede Masche hat einfachen Zyklus“) Es gibt zwei „Außen“ M M‘  M M M‘  M M‘ M M‘ = Außen

Rigorosum 06.06.2018 00:08 Zwischenresümee Bisherige Axiome: Überlagerungsfreiheit von Flächen nicht sichergestellt Axiom „Kein Mittelpunkt einer Kante liegt in einer Masche“ Überlagerungsfreiheit beweisbar sichergestellt nicht effizient Axiom „Es gibt genau eine unbeschränkte Masche“ effizient: asymptotisch optimaler Aufwand (geringer als optimaler Aufwand für Schnittfreiheit) Zwischenresümee

Rigorosum 06.06.2018 00:08 Verallgemeinerung Inseln (z.B. Berlin in Brandenburg) „Blau“ hat mehrere Zyklen Mehrere disjunkte Kontinente „Blau“ hat mehrere Zyklen Mehrere Kontinente, die sich in genau einem Punkt berühren „Blau“ hat nichteinfachen Zyklus Isthmen: linienhafte Verbindung zwischen disjunkten Kontinenten z.B. Hindenburgdamm/Sylt „Blau“ hat nicht-einfachen Zyklus Vorher angepasste Gliederung für jedes Thema 1 Folie hier nur Stichpunkte

Rigorosum 06.06.2018 00:08 Erweiterung Hierarchisch strukturierte Objekte Geschachtelte Landkarten Integration mit Digitalen Geländemodellen (2,5D) Bedingte Delaunay-Triangulation Digitale Stadtmodelle (2,75D) 2D Topologie, 3D Koordinaten Integration von Unschärfe Adaption statistischer Verfahren Diskretisierung der Geometrie Vorher angepasste Gliederung für jedes Thema 1 Folie hier nur Stichpunkte

Resümee Problem: Zuverlässige Verfahren zur Überprüfung der Überlagerungsfreiheit von Flächen Problem der geometrisch-topologischen Konsistenz Bisherige Ansätze decken nicht jeden Fehler auf Neu: Verfahren (Axiome) für Landkarten: jeder Fehler wird beweisbar aufgedeckt effizient (asymptotisch optimal) Verallgemeinerungen und Erweiterungen Prototyp Beitrag zur Zertifizierung von Geo-Daten