Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II Vorlesung 7 25.05.00 Voronoi-Diagramme.

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2 Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II Vorlesung 7 25.05.00 Voronoi-Diagramme

3 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.002 Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle?

4 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.003 Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle?

5 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.004 Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle?

6 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.005 Zu Beginn eine interaktive Animation Quelle: Fern Universität Hagen http://wwwpi6.fernuni-hagen.de/Geometrie-Labor/VoroGlide/

7 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.006 Voronoi-Diagramm Gegeben ist eine Menge von n Punkten Das Voronoi-Diagramm zerlegt die Ebene in Gebiete gleicher nächster Nachbarn Die Voronoi-Region eines Punktes p enthält alle Punkte q, die näher an p als an jedem anderen Punkt p‘ liegen Das Voronoi-Diagramm wird gebildet aus den Voronoi-Regionen und ihren begrenzenden Voronoi- Knoten und –Kanten

8 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.007 Anwendungen Kollisionsproblem: welche 2 Punkte haben den kleinsten Abstand (Roboter, Flugzeuge,...) Das Filialenschließungsproblem: welches Paar von Filialen macht sich gegenseitig die größte Konkurrenz... Postamts-Problem: wo liegt das nächste Postamt (Krankenhaus,...) Einzugs- und Einflussgebiete von Versorgungsstationen (und ihre Größe) Bewertung von Standorten Biologie Archäologie

9 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.008 Konvexe Menge, konvexe Hülle Eine Menge P von Punkten ist konvex, wenn zu jedem Punktepaar p und q auch die verbindende Strecke pq ganz in P enthalten ist Die konvexe Hülle CH(P) einer Punktemenge P ist die kleinste konvexe Menge, die alle Punkte aus P enthält

10 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.009 Voronoi-Regionen (Polygone) beschränkte Voronoi- Regionen unbeschränkte Voronoi- Regionen Übung: Die Konvexe Hülle ver- bindet die unbeschränkten Voronoi-Regionen Übung: Jede Voroni-Region ist konvex!

11 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0010 Konstruktion des Voronoi-Diagramms „Divide and Conquer“ 1.Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten 2.Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P 1 und P 2 3.Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P 1 und P 2 4.Merge: Verknüpfe die beiden in Schritt 3 gebildeten Diagramme 5.Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist; dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal O(n * log n) wenn „Divide“ and „Merge“ nicht mehr als n Schritte benötigen,

12 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0011 Was ist der schwierigste Teilschritt? Zerlegung der Punktmenge in gleich große Teilmengen –Sortieren nach y-Koordinate –Bilden des Medians –Einfach Offenbar der letzte Schritt: „Merge“: Konstruktion des trennenden Kantenzuges Einfachster Fall von Merge: jede der beiden Teilmengen enthält genau einen Punkt; der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte beider Punkte

13 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0012 P1P1 P2P2 Aufteilung der Menge P in P 1 und P 2 P

14 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0013 Voronoi-Diagramm von P 1

15 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0014 Voronoi-Diagramm von P 2

16 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0015 Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge

17 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0016 Konstruktion des trennenden Kantenzuges Was wissen wir über den trennenden Kantenzug? monoton in Nord-Süd-Richtung jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte) zwischen einer roten und einer grünen Region Problem: sukzessive Identifikation der benachbarten roten und grünen Punkte die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind unbeschränkt, also Halbgeraden die benachbarten roten und grünen Punkte bilden dort unbeschränkte Voronoi-Regionen sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen konvexen Hülle beginnen wir also mit den beiden Tangenten

18 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0017 Tangente

19 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0018 Tangente – konvexe Hülle

20 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0019 Konvexe Hülle

21 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0020 Vereinigung Mittelsenkrechte bilden

22 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0021 Vereinigung

23 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0022 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen

24 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0023 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD

25 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0024 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD Mittelsenkrechte zuwischen den aktiven VD

26 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0025 Vereinigung Schnittpunkte suchen

27 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0026 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

28 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0027 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

29 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0028 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

30 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0029 Vereinigung Schnittpunkte suchen

31 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0030 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

32 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0031 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

33 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0032 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

34 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0033 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

35 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0034 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

36 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0035 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

37 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0036 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

38 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0037 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

39 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0038 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

40 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0039 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

41 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0040 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

42 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0041 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Verknüpfung mit der Mittel- senkrechten vom Anfang

43 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0042 Vereinigung

44 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0043 Löschen der überflüssigen Segmente

45 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0044 Löschen der überflüssigen Segmente

46 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0045 Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P

47 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0046 Datenstruktur für Voronoi-Diagramm Doppelt verkettete Kantenliste Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen

48 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0047 Kosten wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges? Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den benachbarten Voronoi-Regionen

49 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0048 Länge des Kantenzuges im Worst Case O(n)

50 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0049 Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n)

51 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0050 O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton war jetzt alles umsonst?

52 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0051 O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!

53 „Investitionen müssen sich amortisieren“ Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“ Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten  O(n) Konvexität der Voronoi-Regionen  höchstens zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken! Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 7 - 25.05.0052