Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Präsentation zum Thema: "Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder"—  Präsentation transkript:

1 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder
Diplomand: Nico Oehlert Betreuer T-Systems: Dipl.Ing. Patrick Aretz Betreuer HTWK: Prof.Dr.rer.nat. Voigt

2 2. Vortrag - Eigenschaften konvexer Körper
Gliederung: Definition konvexer Körper Minkowskiaddition Projektion auf die Gaußkugel Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

3 Definition konvexer Körper 1
Eine ebene Figur heißt konvex, wenn sie die Verbindungsstrecke von je zwei beliebigen Punkten der Figur ganz in sich enthält. Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

4 Definition konvexer Körper 2
Unter dem Durchschnitt zweier (oder mehrerer) Figuren versteht man die Figur, die aus allen Punkten besteht, welche in beiden (bzw., in allen) Figuren liegen. Eine Figur heißt beschränkt, wenn sie ganz innerhalb eines gewissen Kreises liegt. Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

5 Definition konvexer Körper 3
Ein Punkt einer Figur heißt innerer Punkt, wenn es um ihnen ein Kreis (mit hinreichend kleinem Radius) gibt, der ganz der Figur angehört. Ein Punkt heißt äußerer Punkt in Bezug auf eine Figur, wenn um ihn ein Kreis existiert, der keine Punkte der Figur enthält. Ein Punkt heißt Randpunkt einer Figur, wenn jeder um diesen Punkt stets sowohl innere als auch äußere Punkte enthält. Die Ranpunkte bilden eine Linie, eine Kurve oder einen Streckenzug (auch Polygonzug). Diese Kurve heißt Rand der Figur. Ist eine ebene Kurve Rand der Figur, so heißt sie konvexe Kurve oder, falls sie ein Streckenzug ist, konvexes Vieleck (konvexes Polygon. Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

6 Definition konvexer Körper 4
Satz: Jede Gerade die durch einen inneren Punkt einer konvexen Figur hindurchgeht, schneidet den Rand in höchstens zwei Punkten. Eine beschränkte Figur heißt konvex, wenn jede Gerade, die durch einen beliebigen inneren Punkt dieser Figur hindurchgeht, ihren Rand in zwei Punkten schneidet. Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

7 Definition konvexer Körper 5
Es sei A eine beliebige ebene Figur. Eine Gerade g heißt Stützgerade der Figur A, wenn sie durch mindestens einen Randpunkt der Figur hindurchgeht und die die ganze Figur auf einer Seite der Geraden g gelegen ist. An jede beschränkte konvexe Figur lassen sich genau zwei zu einer gegebenen Richtung parallele Stützgeraden ziehen. Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

8 Definition konvexer Körper 6
Der Punkt O ist regulärer Punkt der Figur A begrenzenden konvexen Kurve K, wenn die Gerade g einzige Stützgerade im Punkt O ist. Der Punkt O ist singulärer Punkt (Ecke) wenn alle Punkte der Figur im inneren des Winkels MON liegen. Daher wird jede Gerade die durch den Scheitel des Winkels MON‘ des Winkels MON hindurch geht eine Stützgerade der Figur A sein. Eine beschränkte Figur heißt konvex, wenn durch jeden ihrer Randpunkte mindestens eine Stützgerade hindurch geht. Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

9 Definition konvexer Körper 7
Konvexe Körper im Raum Die Berandung eines konvexen Körpers heißt konvexe Fläche. Besteht diese aus ebenen Vielecken, so heißt sie konvexes Polyeder. Bei der Betrachtung von inneren und äußeren Punkten werden aus Kreisen Kugeln. Aus Stützgeraden werden Stützebenen. Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

10 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder
Minkowskiaddition 1 Parallelogrammprinzip: Addition vektorieller Größen/ Summe von Punkten der Ebene Liegen A und B auf einer Geraden so ist es ein entartetes Parallelogramm und AC=OB. A+B=B+A , (A+B)+C=A+(B+C) und A+O=A Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

11 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder
Minkowskiaddition 2 Translation (Verschiebung): A+b:={a+b:a Î A} ist die Translation eines Bildes A Î R² Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

12 Minkowskiaddition Addition
A Î R² und B Î R² AÅB:= heißt Minkowskiaddition AÅB ergibt sich aus der Vereinigungsmenge all jener Bilder, die durch Translation des Bildes A mit allen Punkten b des Bildes B entstanden sind. Das Ergebnis besteht schließlich aus der Vereinigungsmenge der Bilder die entstehen, wenn sich das Bild A auf einem Liniensegment von a+b1 bis a+b2 bewegt. Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

13 Minkowskiaddition Subtraktion
A Î R² und B Î R² A B:= heißt Minkowskisubtraktion A B ergibt sich aus der Schnittmenge all jener Bilder, die durch Translation des Bildes A mit allen Punkten b des Bildes B entstanden sind. Die Translation des Bildes A mit dem Punkt b1 verändert das bild nicht, da b1 im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Alle übrigen Translationen mit den Punkten des Liniensegments B verschieben das Initialbild A nach rechts oben, so dass sich als Ergebnis der rote Bereich ergibt. Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

14 Minkowskiaddition Dilation und Erosion
Befindet sich das Bild B im Ursprung des Koordinatensystems, so bewirkt die Minkowskiaddition der Bilder A und B eine Vergrößerung des Initialbildes A. Man spricht von einer Dilation des Bildes A. D(A,B):= AÅB Umgekehrt bewirkt die Minkowskisubtraktion eines Bildes A und eines sich im Ursprung befindenden Bildes B eine Verkleinerung des Initialbildes A. Hier spricht man von einer Erosion des Bildes A. E(A,B):=A B Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

15 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder
Minkowskiaddition 6 Die Modifikation des Initialbildes wird ausschließlich von der geometrischen Form des Bildes B bestimmt. Das Bild B wird in diesem Zusammenhang auch strukturierendes Element genannt. Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder