3D-GIS I Simpliziale Komplexe Kerstin Herms.

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1 3D-GIS I Simpliziale Komplexe Kerstin Herms

2 Inhalt Simplizes Simpliziale Komplexe
Einschränkungen und Erweiterungen für 3D-GIS Topologische Beziehungen Anwendungsmöglichkeiten in 3D-GIS Literatur

3 Simplizes (Wh. aus GIS1) Ein 0-Simplex ist ein Punkt
Ein 1-Simplex ist eine gerade Kante Ein 2-Simplex ist ein Dreieck (Inneres + 3 Kanten + 3 Knoten) Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder aus: Skript zur GIS-I Vorlesung

4 Simplizes (Definition)
Die Punkte P0, ..., Pn heißen affin unabhängig, falls die n Vektoren von P0 aus linear unabhängig sind. Sei P eine Menge von (d+1) affin unabhängigen Punkten. Ein Simplex der Dimension d ist die konvexe Hülle von P.

5 Simplizes (Aufbau) Simplizes bestehen selber aus Simplizes einer
niedrigeren Dimension (sog. „face“ Simplizes). Im n-dimensionalen Raum hat ein n-Simplex „face“-Simplizes der Dimension d. Zur Erinnerung:

6 Beispiel: Ein 3-Simplex im 3-dimensionalen Raum besteht aus: Knoten Kanten Dreiecken Tetraeder

7 Simpliziale Komplexe aus: Hecht5

8 Simpliziale Komplexe (Definition)
Ein simplizialer Komplex ist ein endlicher Satz von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: Der Schnitt zweier beteiligter Simplizes ist entweder leer oder ein „face“-Simplex beider Simplizes. Mit jedem Simplex sind auch alle seine „face“-Simplizes definiert. (D.h. alle „face“-Simplizes sind wieder Teil des Simplizialen Komplex.)

9 Simpliziale Komplexe (Beispiele)
Simplizialer Komplex kein Simplizialer Komplex nicht alle „face“-Simplizes sind definiert aus: Hecht5

10 Simpliziale Komplexe (Gegenbeispiel)
der Schnitt ist nicht leer, aber selber auch kein „face“-Simplex

11 Simpliziale Komplexe (Dimension)
Die Dimension d eines Simplizialen Komplexes ist gleich der maximalen Dimension der Simplizes, aus denen der Simpliziale Komplex zusammengesetzt ist.

12 Simpliziale Komplexe (Dimension)
aus: Hecht5 Þ Dimension 3

13 Simpliziale d-Komplexe (Einschränkung)
Vereinfachung: d-dimensionale Komplexe, die nur aus d-dimensionalen Simplizes bestehen

14 Simpliziale 3-Komplexe (Tetraedernetze)
aus: Hecht5 Entfernen aller Simplizes der Dimension 0, 1 und 2, die nicht „face“-Simplex eines Tetraeders sind

15 Darstellung als UML-Diagramm
0-Komplex Punkt-objekt 1 2-Komplex Flächen-objekt 1-Komplex Linien-objekt 2-Simplex Dreieck 1-Simplex Kante 0-Simplex Knoten 3-Simplex Tetraeder 1..* 0..2 0..* 4 3 2 geändert nach: Lenk6 3-Komplex Raum-objekt

16 Erweiterung der Simplizialen Komplexe
3D-Darstellungen benötigen räumliche Information Umsetzung: Speichern von Topologie und Geometrie Þ e-Komplex (e = extended) Definition von Nachbarschaften

17 Nachbarschaften Ein d-Simplex mit Nachbarschaft (d > 1) besteht aus einem Simplex der Dimension d und maximal d+1 adjazenten Simplizes der Dimension d. 2-Simplex adjazenter 2-Simplex (Nach dieser Definition müssen keine Nachbarschaften existieren!)

18 Nachbarschaften in 3D aus: Breunig3

19 Topologische Beziehungen
Anwendung: Ausdruck räumlicher Relationen Konsistenzprüfung von digitalisierten, interpolierten oder editierten räumlichen Daten (z.B. Schnittfreiheit von Tetraedern)

20 4-Schnitt-Modell (Wh. aus GIS1)
6 grundlegende Beziehungen aus: Skript zur GIS-I Vorlesung

21 Topologie für Simpliziale 2-Komplexe
aus: Breunig1

22 Weitere topolog. Beziehungen
Für 3D-GIS reicht es nicht aus, nur Objekte gleicher Dimension zu betrachten Darstellung von Lagebeziehungen von Objekten verschiedener Dimension (z.B. Punktlage bzgl. Linie, Dreieck oder Tetraeder)

23 Weitere topolog. Beziehungen (Beispiele)
aus: Breunig2

24 Anwendungsmöglichkeiten in 3D-GIS
Frage: Wozu sind Simpliziale Komplexe geeignet? Betrachtung zweier Beispiele: Geologie (Modellierung von Bodenschichten) Stadtmodelle

25 3D-Modellierung von Bodenschichten
Geologische Anwendungen erfordern eine Verwaltung von Volumina Vorteile der Verwendung von simplizialen Komplexen: Darstellung von Punkten, Linien, Flächen und Volumina Simplizes bestehen aus der einfachsten Geometrie wenig Fallunterscheidungen bei einem geometrischen Algorithmus auch unregelmäßig verteilte Messpunkte werden erfasst

26 3D-Modellierung von Bodenschichten
Was ist zu Modellieren? Querschnitte (sections) Schichtgrenzen (stratigraphic boundaries) Störungen / Verwerfungen (faults) (durch tektonische Deformation)

27 Beispiel: Niederrheinische Bucht Arbeit des SFB 370 der Uni Bonn
aus: Breunig2

28 Ablauf der Modellierung
Gegeben: digitalisierte Punktdaten aus Messungen aus: Breunig2 Linien aus Punktdaten generieren Flächen aus Linien generieren Volumen aus Flächen generieren

29 Oberfläche einer Bodenschicht
aus: Breunig2

30 Stadtmodelle Beispiel: „Bauklötzchen-Modell“
Darstellung von Häuserblöcken mit Simplizialen Komplexen

31 Zerlegung von Blöcken mindestens 5 Tetraeder benötigt

32 Zerlegungsmöglichkeiten
Darstellung nicht eindeutig

33 Fazit Simpliziale Komplexe sind für Geologische Modelle gut geeignet
Simpliziale Komplexe sind für Stadtmodelle weniger gut geeignet

34 Literatur Breunig, M.: Komponentenbasierte 3D/4D-Geoinformationssysteme für Anwendungen in der Geologie, Habil. Thesis. Breunig, M.: Integration of Spatial Information for Geo-Information Systems. In: Lecture Notes in Earth Sciences, No. 61. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1996. Breunig, M.: On the Way to Component-Based 3D/4D Geoinformation Systems. In: Lecture Notes in Earth Sciences, No. 94. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2001. Cremers, A.B.; Bode, T.; Breunig, M.; Floeren, J. and S. Shumilov: Object Oriented 3D/4D Geo Information System (GIS). Bonn, Abrufbar unter:

35 Literatur (Fortsetzung)
Hecht, S.: Konzeption und Implementierung topologischer 3D-Beziehungen in einem GeoToolKit. Bonn, Abrufbar unter: Lenk, U. und C. Heipke: Neue Untersuchungen zur Integrationvon DGM und DSM mittels Triangulationen zur Berechnung integrierter 2.5D-Landschaftsmodelle. Abrufbar unter: aga01_mit_bildern.pdf Skript zur GIS1-Vorlesung. Abrufbar unter:

36 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!