1 Stichprobenverfahren zur Qualitätssicherung Hilfestellung der Statistik in der Wirtschaftsprüfung

2 Rahmenbedingungen und Anwendungsvoraussetzungen Zeitliche Begrenzung des zulässigen Prüfaufwandes Unmöglichkeit sämtliche Belege zu prüfen Grosse Transaktionsmengen Viele ähnliche Transaktionen Ähnliche Sachverhalte in den Transaktionen

3 Anwendungsziele Qualitätssicherung der Revision bei grossen Datenmengen Hoher Wirkungsgrad des Prüfaufwandes Aussagen über die Qualität geprüfter und nicht geprüfter Bereiche mit einer bestimmten Sicherheit machen können Den Geprüften Gewissheit über die Erreichung von im voraus bestimmten Qualitätsstandards vermitteln

4 Anwendungsbeispiele Zahlungsverkehr der Staatskasse Spesenabrechnungen Einschätzung von Steuerpflichtigen Beiträge an bedürftige Berner Stipendienempfänger

5 Die Stichprobenziehung aus der Grundgesamtheit So oder so?

6 Erfordernisse an eine Stichprobe Unverzerrtheit: jedes Element der Grundgesamtheit besitzt dieselbe Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe aufgenommen zu werden: Zufallszahlengenerator Ausreichender Umfang Homogene Grundgesamtheit bezogen auf das untersuchte Risiko Risikorelevante Messgrössen Zusammenhängende Elemente ziehen, wenn bestimmte Risiken nur so identifiziert werden können

7 Annahmen über die Fehlerhäufigkeit Der genaue Anteil von Fehlern in der Grundgesamtheit ist unbekannt Es muss eine Bandbreite festgelegt werden, innerhalb derer die tatsächliche Fehlerhäufigkeit mit grosser Wahrscheinlichkeit liegt, bzw. liegen muss Die Qualität der Stichprobe erlaubt Rückschlüsse über diejenige der Grundgesamtheit

8 Häufigkeit der Beobachtungen gut ungenügend gut kritisch ungenügend Streuung der Qualität eines Prozesses

9 Checkliste für homogene Grundgesamtheit Grösster tolerierter Fehleranteil Kleinster zu akzeptierender Fehleranteil Umfang der Grundgesamtheit ausreichend, um eine Stichprobenziehung zu rechtfertigen

10 Normalverteilung der Qualität in der Grundgesamtheit Mittelwert 0, Standardabweichung 1, Vertrauensintervall für Fehleranteil z Häufigkeiten Dichtefunktion

11 Berechnung des Stichprobenumfangs Z Häufigkeiten

12 Der benötigte Stichprobenumfang ist... unabhängig von der Grösse der Grundgesamtheit positiv und quadratisch abhängig von der Breite des Vertrauensintervalls auf der Z- Achse negativ und quadratisch abhängig von der Anzahl Realisierungen, die im Vertrauensintervall liegen (Fläche unter der Normalverteilung) positiv abhängig von p 1 (Anteil der kritischen und fehlerhaften Realisierungen) negativ abhängig von (1-p 1 ) Anteil der guten Realisierungen)

13 Kritischer Wert einer Stichprobe Der kritische Wert einer Stichprobe besagt, wieviele fehlerbehaftete Beobachtungen in der Stichprobe entdeckt werden dürfen, ohne die Annahme zu widerlegen, dass die Grundgesamtheit einen bestimmten Qualitätsstandard einhält. Der kritische Wert wird als Prozentanteil der Stichprobe ermittelt.

14 Kritischer Wert in einer Stichprobe Zulässiger Fehleranteil in der Stichprobe z Häufigkeiten

15 Der kritische Wert ist... positiv abhängig vom zulässigen Fehleranteil (p 0 ) positiv abhängig vom z-Wert (Quantil) für den Anteil der guten Realisierungen positiv abhängig von p 0 (Anteil der fehlerhaften Realisierungen) negativ abhängig von (1-P 0 ) (Anteil der guten und kritischen Realisierungen) negativ abhängig von der Grösse der Stichprobe

16 Normalverteilung Mittelwert 0, Standardabweichung 1, Verschiedene Wahrscheinlichkeiten z Häufigkeiten

17 Planung einer Qualitätsprüfung desto grösser die Stichprobe desto niedriger der kritische Wert der Stichprobe Je breiter das Vertrauensintervall... Je schmaler das Vertrauensintervall.... desto kleiner die Stichprobe desto höher der kritische Wert der Stichprobe Eine mittlere Vertrauensintervallbreite ist für die Prüfung optimal

18 Vertrauensintervall, Stichprobenumfang und kritischer Wert %5%10%15%20% Breite Vertrauensintervall (Abstand zwischen alpha und beta) Grösse erforderliche Stichprobe 2.5% 2.7% 2.9% 3.1% 3.3% 3.5% 3.7% 3.9% Kritischer Wert in Stichprobe Stichprobenumfang Kritscher Wert für Stichprobe Optimaler Bereich

19 Zufallszahlen für einen bestimmten Bereich

20 Checkliste bei heterogener Grundgesamtheit Gibt es mehr als ein wesentliches Risiko? –Anzahl Steuerpflichtige, Steueraufkommen Richtige Risikofaktoren identifiziert? –Falscheinschätzung, fehlerhafter Steuerbetrag Sollten geschichtete Stichproben gezogen werden? –2 Schichten, die je gleichviel zum Steueraufkommen beitragen –3 bis 4 Schichten, die je gleichviel zum Steueraufkommen beitragen