1 H. Schupp, UdS Rund um den Fermat-Punkt Vortrag am im Rahmen der Ring-Vorlesung Welt der Mathematik – Mathematik der Welt an der Universität des Saarlandes

2 Gliederung: 0 Vorspann 1 1 Problem 2 Lösung 3 Folgerung Welt der Mathematik Optimale Netze Mathematik der Welt 5 Anwendung

3 0 Vorspann Für welchen Punkt P ist die Summe seiner Entfernungen von den Ecken A, B, C, D des Vierecks ABCD minimal? für P = S (Diagonalenschnittpunkt)

4 1 Problem Für welchen Punkt P ist die Summe seiner Entfernungen von den Ecken A, B, C des Dreiecks ABC minimal?

5 Pierre de Fermat ( ) stellt dieses Problem 1643 in Methodus de maximis et minimis vor. Lösungen von Cavalieri ( ) Torricelli ( ) Viviani ( ) J.E.Hofmann ( ) Bearbeitungen von Steiner (1848), Sturm (1910), Dörrie (1939), Kazarinoff (1961) Coxeter (1963), Pickert (1986), Tikhomirov (1990) Sieber (1965), Fricke (1984), Führer (1984), Quaisser; Sprengel (1986), Wittmann (1987), Claus (1992), Sch. (1984, 1992, 1998) Darstellungen in Courant;Robbins: Was ist Mathematik? und in „Spektrum“ (2010)

6 Das computergraphische Experiment zeigt: Vom gesuchten Punkt aus erscheint jede Seite unter einem Winkel von 120°. Dieser Fermat-Punkt stimmt i.a. nicht mit den bekannten Transversalenschnittpunkten überein.

7 Wie erhält man ihn außerhalb des Experiments? Umfangswinkel zwischen Sehne und Bogen sind maßgleich, nämlich halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

8 Man erhält den Fermat-Punkt mittels gleichseitiger Drei- ecke über den Seiten des Ausgangsdreiecks und den zugehörigen Umkreisen.

9 Aber Vorsicht: Ist  > 120°, liegt F außerhalb und trägt nicht mehr die minimale Summe. Diese trägt nun der Scheitel des stumpfen Winkels.

10 Erstaunlich: Die Gerade durch A und F verläuft auch durch E. Grund: 60°-Winkel über der Sehne BE.

11 Gilt analog für die Geraden durch BF und CF. Noch erstaunlicher: Die Strecken AE, BG und CD sind gleichlang.

12 Begründung: Drehung um B mit 60°: A → D, E → C, also AE → DC Drehung um A mit 60°: D → B, C → G, also DC → BG

13 Drehung um A mit 60°: C → G, F → F‘ mit F‘ auf BG also FC → F‘G daraus folgt: d(B;G) = d(B;F) + d(F;F‘) + d(F‘;G) = d(F;B) + d(F;A) + d(F;C) = minimale (?) Summe

14 gleiches Verfahren für einen Konkurrenzpunkt K auch für K ist d(K;B) + d(K;A) + d(K;C) = d(B;K) + d(K;K‘) + d(K‘;G) aber d(B;K) + d(K;K‘) + d(K‘;G) > d(B;G) = d(F;A) + d(F;B) + d(F;C) wegen der Dreiecksungleichung ■ Beweis von J.E.Hofmann 1929

15 2 Lösung Hat ein Dreieck keinen Winkel > 120°, so trägt derjenige Punkt der Ebene die minimale Summe seiner Entfernungen von den Ecken dieses Dreiecks, von dem aus alle seine Seiten unter dem Winkel 120° erscheinen.

16 3 Folgerung

17 Satz von Napoleon (??): Die Mittelpunkte der drei gleichseitigen Dreiecke bilden selbst auch ein gleichseitiges Dreieck. Nachweis über:

18 Vivianis Beweis

19 4 Optimale Netze Gegeben: n Punkte in der Ebene Gesucht: Kürzestes Wegenetz zwischen ihnen 4.1 n = n = 3

n = 4 zunächst: die 4 Ecken des Einheitsquadrats w = 3 w = 2√2 ≈ 2,8 w = 1 + √3 ≈ 2,7

21 Experiment: Glasplattenpaar in Seifenlauge Beim Herausheben stellt sich die Seifenhaut mit minimaler Fläche ein. Deshalb steht sie über dem optimalen Wege- netz zwischen den 4 Stabfüßen.

22 Bienen bauen regelmäßige Sechseckwaben, weil sie so weniger Material brauchen als beim Bau mit Quadraten.

23 Andere Lage der 4 Punkte: Konstruktion analog zu n = 3

24 weitere mögliche Lagen:

n = 5 hier nur: regelmäßiges Fünfeck mit Seitenlänge 1 w ≈ 3,89 w = 4

n = 6 Überraschung (?) beim regelmäßigen Sechseck

27 5 Anwendung Optimales Netz zwischen 49 amerikanischen Städten, vom Computer ermittelt