Planimetrische Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal

Präsentation zum Thema: "Planimetrische Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal"—  Präsentation transkript:

1 Planimetrische Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal
Thomas Cassebaum Geometrie Planimetrische Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal

2 Inhaltsübersicht Punkte und Geraden Halbieren einer Strecke
Halbieren eines Winkels Errichtung einer Senkrechten Fällen des Lotes vom Punkt Q auf eine Gerade g Aufgabe zu Punkten und Geraden Winkel und Kreise Sätze zum Kreis 5. Tangenten, die durch einen Punkt P verlaufen Aufgaben zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal

3 Punkte und Geraden Punkte: Großbuchstaben A, B, P, S
l1 B P h g A S g2 Punkte: Großbuchstaben A, B, P, S Geraden: Kleinbuchstaben g, h, l1, g2 Parallele Geraden: (kein Punkt gemeinsam) g||g1 Schnittgeraden (Punkt P gemeinsam) P = g∩h Punkt p liegt auf den Geraden g und h Pg, Ph Zusammenfall (alle Punkte gemeinsam) g2 = l1 Strecke von A nach B AB = g Orientierte Gerade h, orient. Strecke AB h AB = g

4 1. Halbieren einer Strecke
Zeichne Kreisbögen um die Punkte A, B mit einem Radius r > AB/2 P Die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen P, Q werden verbunden. g M A B Der Schnittpunkt der Ge-raden durch P und Q ist der gesuchte Mittelpunkt M Q

5 2. Halbieren eines Winkels
Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt U und kennzeichne die Schnitt-punkte mit den Geraden g1 und g2. g1 S1 Q g2 U S2 Ziehe erneut Kreisbögen, diesmal von den Schnittpunkten S1 und S2 aus. Beide Kreisbögen schneiden sich im Punkt Q. Verbinde die Punkte U und Q und die Winkelhalbierende ist fertig konstruiert.

6 3. Errichtung einer Senkrechten
Zeichne Kreisbögen um M und kennzeichne die zwei Schnittpunkte A,B P Q Vergrößere den Zirkel radius leicht und zeichne von den Punkten A und B je einem Kreisbogen nach oben. g A M B Verbinde den Schnittpunkt Q der beiden Kreisbö-gen um A und B mit dem Ausgangspunkt M.

7 4. Fällen eines Lotes vom Punkt Q auf eine Gerade g
Zeichne einen Kreisbo-gen um Q und kennzeich-ne zwei Schnittpunkte A,B mit der Geraden. Q g A B Ziehe Kreisbögen mit glei-chem Radius um A und B, die sich in Q und Q‘ schneiden. Q‘ Verbinde die Schnittpunkte der beiden Kreisbö-gen Q und Q‘ zum gesuchten Lot.

8 Aufgabe Konstruiere zu einem vorgege-benen beliebigen Dreieck die Schnittpunkte aller drei Winkelhalbierenden Mittelsenkrechten Seitenhalbierenden Konstruiere den Außen- und den Innenkreis!

9 Winkel und Kreise Die Tangente t schneidet k in genau einem Punkt T.
Die Sekante s schneidet k in den zwei Punkten S1, S2. Die Strecke S1S2 ist eine Sehne .  M t S1 r T Winkel: griechische Kleinbuchstaben α, β, γ, δ Kreis k aus Mittelpunkt M und Radius r k := KR(M,r) S1, und S2 sind Schnittpunkte von s und k {S1,S2}:= s∩k Dreieck mit den Eckpunkten ABC ∆ABC Winkel α im Eckpunkt M von ∆S1MS2 α = ∢S1MS2 Punkt S1 liegt auf dem Kreis k S1k, S2k

10 Sätze zum Kreis s S2 Jeder Zentriwinkel  ist doppelt so groß, wie der Peripheriewinkel  über demselben Bogen. Alle Peripheriewinkel x über dem-selben Bogen sind gleich. β M α1 S1 α2 t M  T Jeder Peripheriewinkel  über dem Halbkreis ist ein rechter Winkel. (Satz des Thales). Eine Tangente t, die den Kreis im Punkt T berührt, steht zu dem Radius r rechtwinklig, der den Punkt P schneidet.

11 5. Tangenten, die durch einen Punkt P verlaufen
Verbinde die Punkte P und M und konstruiere deren Mittelpunkt Z. M k S1 Zeichne einen Kreisbo-gen h um den Punkt Z mit dem Radius ZM. S2 Z h Verbinde die Schnitt- punkte S1 und S2 mit dem Punkt P zu den Tangenten. P

12 Konstruiere mit Zirkel und Lineal!
Ein gleichseitiges Sechseck mit Seitenlänge s. Ein gleichseitiges Achteck, das in einen Kreis mit dem Radius r genau hineinpasst. Die Länge des Umfangs eines Dreiecks. Die Länge des Umfangs eines Trapezes. Einen Kreis k, der eine Gerade g in einem Punkt A berührt und durch einen Punkt B (AB) geht. Die Menge der Mittelpunkte aller Kreise kn, die durch zwei gegebene Punkte A und B gehen. Die inneren Tangenten, die sich zwischen zwei gegebenen Kreisen k1,k2 kreuzen.