Geometrische Iterationen – Konvergenz von Dreiecksformen

Präsentation zum Thema: "Geometrische Iterationen – Konvergenz von Dreiecksformen"—  Präsentation transkript:

1 Geometrische Iterationen – Konvergenz von Dreiecksformen
H. Humenberger, F. Embacher Geometrische Iterationen – Konvergenz von Dreiecksformen

2 Konvergenz Folgen und Reihen (auch aus der Geometrie: meist unendliche geometrische Reihen), Analysis, etc. „Konvergenz von Formen“ unüblich Es gibt elementare Phänomene bei „Konvergenz von Formen“, die mit DGS schön exploriert werden können Ohne DGS wäre dieses Thema nicht geeignet Der Schwierigkeitsgrad zugehöriger Begründungen variiert ziemlich, für den Regelunterricht in der Schule eignen sich schwierigere nicht

3 Problem 1 (Idee: F. E.) Gegeben: Beliebiges Dreieck A0B0C0. Die Berührpunkte seines Inkreises bilden das nächste Dreieck A1B1C1, usw. Beobachtung: Dreiecke AnBnCn werden „immer gleichseitiger“ -) Ist das immer so? -) Begründung? Offener: Was kann man bei der Form der Dreiecke AnBnCn beobachten? A posteriori auch in der Literatur gefunden: Jones 1990, Ismailescu/Jacobs 2006 („Poncelet-Punkt“) (Methoden aus „Höherer Mathematik“)

4 Bestätigung/Erkundung mit DGS
DGS als Messinstrument (Winkel, Längen) Evtl. Erstellen eines „Makros“ zur Konstruktion des nächsten Dreiecks (Umgang mit dem DGS) Ohne so eine Phase so ein Problem wenig sinnvoll Durch DGS: Bestätigung (es wird wohl immer so sein; Vertrauen, DASS es so ist; M als Prozess; auch in der Forschung meist zuerst „Überprüfungen“ VOR formalen Beweisen) WARUM??? – Das kann ein DGS nicht beantworten! (Vgl. De Villiers 1990: „Funktionen des Beweisens“) „,Warum?‘ Sollte die wichtigste Frage des MU sein“ (Meyer/Prediger 2009)

5 Auf dem Weg zur Begründung
Anstoß-Frage: Was kann man über 1 im Dreieck A1B1C1 aussagen, wenn im Ausgangsdreieck A0B0C0 der Winkel 0 der kleinste Winkel (0  0  0) ist? Dadurch Beschäftigung mit Winkeln statt Seitenlängen nahegelegt DGS: 1 ist der größte Winkel Analog: 1 ist der kleinste 1  1  1

6 Weiter bei Begründung Man erkennt schnell:
Neue Winkel entstehen durch paarweise Mittelwertbildung aus den alten  Unterschiede mitteln sich immer besser aus  Konvergenz der Winkel zur Gleichheit Am „Grad-Strahl“: Bei jedem Schritt Halbierung der „Intervalllänge“  Intervallschachtelung als mögliche Beweisgrundlage

7 Andere Begründung Warum gilt: 60° ist Fixwert
Differenzen zum vermuteten Grenzwert: Dies gilt für jeden Schritt, d. h. (n) ist eine geom. Folge mit q = 1/2  Nullfolge Umkehrung: eindeutig (A0B0C0 „Tangentendreieck“ von A1B1C1); Konstruktion unmittelbar klar

8 Problem 2 (Ismailescu/Jacobs 2006)
Schnittpunkte des Inkreises mit den Winkelhalbierenden bilden das nächste Dreieck Wieder Konvergenz der Form zur Gleichseitigkeit 60° ist Fixwert Differenzen zu 60°: geom. Folge mit q = ¼  Konvergenz Umkehrung: Eindeutigkeit wegen (*) klar Konstruktion? Interessante weitere Aufgabe!

9 Problem 3 (Trimble 1996) Schnittpunkte der Winkelhalbierenden mit den Gegenseiten bilden das nächste Dreieck Wieder Konvergenz der Form zur Gleichseitigkeit Beweis schwierig! Konstruktion Umkehrung? Nachteil bei allen Aufgaben „nach innen“: Dreiecke werden beliebig klein  Hineinzoomen nötig

10 Probleme mit dem Umkreis

11 Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Wieder Konvergenz der Form zur Gleichseitigkeit?

12 Problem 4 (xxx) Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

13 Problem 4 (xxx) Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

14 Problem 4 (xxx) Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

15 Problem 4 (xxx) Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

16 Problem 4 (xxx) Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

17 Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck.

18 Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. daher

19 Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. daher und folglich (analog zu Problem 1)

20 Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Umkehrung?

21 Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Umkehrung?

22 Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Umkehrung … … existiert immer und ist eindeutig!

23 Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Wie wird die Iteration durch die Dreieckswinkel ausgedrückt?

24 Problem 4 (xxx) Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

25 Problem 4 (xxx) Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

26 Problem 4 (xxx) Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

27 Problem 4 (xxx) Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

28 Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Für Dreieckswinkel:

29 Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Wieder Konvergenz der Form zur Gleichseitigkeit?

30 Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

31 Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

32 Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

33 Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

34 Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

35 Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Daher Konvergenz zur Gleichseitigkeit!

36 Problem 5 Raum für Entdeckungen…

37 Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

38 Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

39 Problem 5 Bei gegebenem A0B0C0 sind die Dreiecke A1B1C1 in Problem 4 und Problem 5 ähnlich.

40 Problem 5 Bei gegebenem A0B0C0 sind die Dreiecke A1B1C1 in Problem 4 und Problem 5 ähnlich. Sie sind sogar identisch!

41 Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

42 Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck „Südpolsatz“

43 Weitere Probleme Schnittpunkte der Höhengeraden mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. = Umkehrung von Problem 5! Verhalten abhängig von der Form des Ausgangsdreiecks (Konvergenz /keine Konvergenz, Abbruch) Schnittpunkte der Seitenhalbierenden (Schwerlinien) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Konvergenz zur Gleichseitigkeit Analyse schwierig Umkehrung: sehr schwierig!

44 Fachdidaktisches Resumé
Die Ausgangssituationen sind einfach zu verstehen und sprechen die Vorstellung an. Verbindung der Geometrie mit der Analysis. DGS ermöglicht, zu explorieren und Vermutungen anzustellen. Wertvolle Momente im Prozess des Betreibens von Mathematik! Klare Unterscheidung der Visualisierungen und DGS-Experimente von einem Beweis. Beweise/Begründungen sind zum Teil sehr einfach und für den Regelunterricht geeignet.

45 Danke für Ihre Aufmerksamkeit!
Literatur Ismailescu, D., Jacobs, J. (2006): On sequences of nested triangles. In: Periodica Mathematica Hungarica, Vol. 53 (1–2), 169–184. Jones, St. (1990): Two Iteration Examples. In: The Mathematical Gazette, Vol. 74, 58–62. Meyer, M., Prediger, S. (2009): Warum? Argumentieren, Begründen, Beweisen. In: Praxis der Mathematik in der Schule 51(30), S. 1–7. Trimble, S. Y. (1996): The limiting case of triangles formed by angle bisectors. In: The Mathematical Gazette, Vol. 80, 554–556. De Villiers, M. (1990): The role and function of proof in mathematics. In: Pythagoras, Nov 1990, 24, 17–24.