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Ökonometrie I OLS-Schätzer und seine Eigenschaften.

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Präsentation zum Thema: "Ökonometrie I OLS-Schätzer und seine Eigenschaften."—  Präsentation transkript:

1 Ökonometrie I OLS-Schätzer und seine Eigenschaften

2 Ökonometrie I2 Einkommen und Konsum PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbares Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2002:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis

3 Ökonometrie I3 Einkommen und Konsum, Forts. PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbares Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2002:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis PYR PCR PCR vs. PYR

4 Ökonometrie I4 Konsumfunktion AWM-Datenbasis C: Privater Konsum (PCR) Y: Verfügbares Einkommen der Haushalte (PYR) OLS-Schätzer: Anstieg Interzept

5 Ökonometrie I5 OLS-Schätzer Einfache Regression: Y t = X t + u t Anstieg Interzept Multiple Regression: Y t = x t + u t b = (XX) -1 Xy

6 Ökonometrie I6 ML-Schätzer Annahme: u ~ N(0, 2 I), normalverteilte Störgrößen Dichtefunktion der Beobachtungen (X 1,Y 1 ), …, (X n,Y n ) Likelihood-Funktion Log-Likelihood-Funktion

7 Ökonometrie I7 ML-Schätzer, Forts. Ableitungen: Likelihood-Gleichungen: Nullsetzen der Ableitungen Maximum-Likelihood (ML)-Schätzer: Beachte: ML-Schätzer für ist identisch mit OLS-Schätzer (wenn Störgrößen normalverteilt sind)

8 Ökonometrie I8 Eigenschaften von Schätzern Erwartungstreue: Schätzer bfür Parameter ist erwartungstreu, wenn E{b} = Effizienz: Schätzer bfür Parameter ist effizienter als b*, wenn Var{b} < Var{b*}; bist effizient, wenn seine Varianz geringer als die jedes anderen Schätzers (aus einer Klasse von Schätzern) ist Konsistenz: Schätzer b nfür Parameter ist konsistent, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung von b nfür n-> im Punkt kollabiert

9 Ökonometrie I9 OLS-Schätzer: Erwartungstreue wegen E{u|X}=0 Der OLS-Schätzer b (und damit auch der ML-Schätzer) ist erwartungstreu! Die Verteilung der u t muss als unabhängig von den Regressoren (Spalten von X) vorausgesetzt werden! Für fixe X ist das stets erfüllt.

10 Ökonometrie I10 Varianz der OLS-Schätzer wegen Var{a+Au} = A Var(u) A, wenn Var(u) = 2 I vorausgesetzt wird.

11 Ökonometrie I11 Beispiel: Einfache Regression Y t = + X t + u t Dafür ergibt sich Die Varianzen sind

12 Ökonometrie I12 Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

13 Ökonometrie I13 OLS-Schätzer: Effizienz Das Gauss-Markov Theorem sagt: der OLS-Schätzer b ist der beste, lineare, erwartungstreue (BLU) Schätzer für b hat minimale Varianz unter allen linearen, erwartungstreuen Schätzern b ist effizient gegenüber allen linearen, erwartungstreuen Schätzern Achtung! Die Annahme Var(u) = 2 I bedeutet: Homoskedastizität Serielle Unkorreliertheit

14 Ökonometrie I14 Gauss-Markov Theorem Sei b* = Cy ein erwartungstreuer Schätzer: b*CX+CuCX also gilt: CX=I; wir erhalten Var{b*} = Var{CX+Cu} = C 2 IC = CC 2 Sei C = (XX) -1 X+D; wegen CX=I gilt DX=0; wir erhalten CC = (XX) -1 +DD und CC - (XX) -1 0 b hat minimale Varianz

15 Ökonometrie I15 OLS-Schätzer: Konsistenz hat die Varianz Konvergenz im quadratischen Mittel: E{b n }= für alle n mit der regulären Matrix Q = lim (X n X n /n)

16 Ökonometrie I16 Beispiel: Einfache Regression Y t = + X t + u t Dafür ergibt sich Damit Q regulär ist, muss X t 2 /n auch bei beliebig großem n endlich bleiben. Achtung! X kann einen Trend enthalten!

17 Ökonometrie I17 Eigenschaften der ML-Schätzer Schätzer für erwartungstreu effizient konsistent Schätzer für 2 nicht erwartungstreu! konsistent

18 Ökonometrie I18 OLS-Schätzer Wahrscheinlichkeitsverteilung ML-Schätzer sind asymptotisch normalverteilt OLS- und ML-Schätzer für sind ident; daher ist auch der OLS-Schätzer asymptotisch normalverteilt Bei endlichem Umfang n: nur bei normalverteilten Störgrößen gilt

19 Ökonometrie I19 Konfidenzintervall für Y t = + X t + u t 95%-iges Konfidenzintervall für : b ± s b mit Beispiel: AWM-Konsumfunktion 95%-iges KI für : ± 0.042; oder


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