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Kolmogorov-Smirnov-Test. A. N. Kolmogorov 1903 - 1987 Geboren in Tambov, Russland. Begründer der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie.

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1 Kolmogorov-Smirnov-Test

2 A. N. Kolmogorov 1903 - 1987 Geboren in Tambov, Russland. Begründer der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie.

3 V. I. Smirnov 1878 - 1974 Geboren in St. Petersburg, Russland

4 Regen Regen in Melbourne Niederschlag in mm in den Wintermonaten gemessen in 3 Jahren: Die ersten 10 Werte geordnet Klassierung

5 Die Exponential-Verteilung

6 Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

7 Erwartungswert Varianz

8 M-L-Schätzer für den Parameter einer Exponentialverteilung Für den Parameter ist der M-L-Schätzer durch gegeben.

9 Chi-Quadrat-Verteilung

10 Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test I Berechnung Abstände berechnen ) Hypothese

11 Empirische Verteilungsfunktion Zähne

12 Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test II Arbeitstabelle Maximum der Werte der letzten beiden Spalten

13 Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test III Ablehnungsbereich Niveau 0.05

14 Kolmogorov-Smirnov-Test für Regen in Melbourne I Achtung! Achtung! Eigentlich ist der Stichprobenumfang mit n = 10 zu klein, um den Kolmogorov-Smirnov-Test in der hier besprochenen Form anwenden zu können. Eine Faustregel besagt, dass n > 40 sein sollte. Unsere Beispiele dienen also nur zu Demonstrationszwecken!! Siehe aber Mietenbeispiel!!

15 Regen Regen in Melbourne Niederschlag in mm in den Wintermonaten gemessen in 3 Jahren: Die ersten 10 Werte geordnet Klassierung

16 Kolmogorov-Smirnov-Test für Regen in Melbourne II Arbeitstabelle

17 Durchmesser von Schrauben Klassenbildung

18 Durchmesser von Schrauben 1. Methode Hypothese: Der Durchmesser der Schrauben ist normalverteilt mit = 0.75 = 0.001 2 Da für die Normalverteilung N(0.75, 0.001) die Wahrschein- lichkeiten für die Klassenintervalle alle gleich 1/3 sind: Anpassung Chi-Quadrat-Test auf Anpassung mit = (1/3, 1/3, 1/3 )

19 Chi-Quadrat-Verteilung

20 Durchmesser von Schrauben 2. Methode(Kolmogorov- Smirnov-Test) Arbeitstabelle

21 Durchmesser von Schrauben und nicht spezifiziert Arbeitstabelle

22 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

23 Test auf Normalverteilung Umsetzung in einen Chi-Quadrat-Test auf Anpassung Beispiel Mieten

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26 1 35 34

27 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

28 1,2,3 4,5 6,7 8,9 Klasse 1: 150 - 300 Klasse 2: 300 - 400 Klasse 3: 400 - 500 Klasse 4: 500 - 600 Klasse 5: 600 - 700 Klasse 6: 700 - 850 Wir fassen die Klassen 10,11 und 12, 13, 14 jeweils zu einer Klasse zusammen und erhalten so 6 Klassen:

29 Leichte Abschwächung der Faustregel für den Chi-Quadrat-Test auf Anpassung (vgl. Fahrmeier/Künstler/Pigeot/Tutz) für alle Indizes k für 80% der Indizes k

30 20 280 1036

31 Chi-Quadrat-Verteilung

32 Test auf Normalverteilung Kolmogorov-Smirnov-Test Beispiel Mieten

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35 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

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39 Einfache Varianzanalyse

40 Datenliste

41 Gewicht eines Werkstückes bei 3 Betrieben (in kg)

42 1. Fall Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall 2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt Varianz von X = Varianz von Y Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y

43 1. Fall Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall Prüfgröße n: Umfang der Stichprobe 1 (Stichprobenvariable X) m: Umfang der Stichprobe 2 (Stichprobenvariable Y) Ablehnungsbereich bestimmt durch

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47 Mittelwerte der Klassen und Gesamtmittelwert

48 Gewicht eines Werkstückes bei 3 Betrieben (in kg)

49 Mittelwert Betrieb 1 Mitttelwert Betrieb 2 Mittelwert Betrieb 3 Gesamt- Mittelwert

50 F-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade m, n

51 Die F-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte : Gamma-Funktion

52 Geboren in London. Einer der Begründer der modernen Statistik. 1890 - 1962 Er führte den Be- griff maximum likelihood ein und ist der Erfinder der Varianzanalyse.

53 unabhängige Für zwei unabhängige Zufallsvariablen Y und Z mit hat man: Mathematische Bedeutung der F -Verteilung

54 unabhängige Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man: Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung

55 Durchführung der einfachen Varianzanalyse I Mittelwerte und Varianzen der einzelnen Betriebe Gesamtmittelwert N: Gesamtumfang der Stichproben; r: Zahl der Betriebe 1 2 Q : Maß für die Varianz innerhalb der einzelnen Betriebe Q : Maß für die Varianz zwischen den Betrieben 1 2 Berechnung von Benötigte Daten:

56 Durchführung der einfachen Varianzanalyse II

57 Durchführung der einfachen Varianzanalyse III Bestimmung von Ablehnungsbereich Berechnung von

58 F-Verteilung

59 3 Kartoffelsorten Ertrag in Doppelzentnern

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61 F-Verteilung


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