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Folie 1 §23 Basiswechsel und allgemeine lineare Gruppe Es sei V im folgenden wieder ein K-Vektorraum der Dimension n, Die Komponenten bezüglich der Basis.

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1 Folie 1 §23 Basiswechsel und allgemeine lineare Gruppe Es sei V im folgenden wieder ein K-Vektorraum der Dimension n, Die Komponenten bezüglich der Basis b heißen auch die (linearen) Koordinaten von v bezüglich b. und es sei b = (b 1, b 2,...,b n ) eine geordnete Basis von V. Jeder Vektor v aus V hat dann die eindeutige Darstellung Die Basis b definiert einen Isomorphismus Z (für Zuweisung) Für eine weitere geordnete Basis d = (d 1, d 2,...,d n ) von V werden die Koordinaten bezüglich d definiert. Frage: Wie lässt sich der Koordinatenwechsel beschreiben?

2 Folie 2 Kapitel IV, §23 d definiert wie zuvor einen Isomorphismus Der Koordinatenwechsel wird also durch Beschrieben, denn (23.1) Definition: Dieser Isomorphismus heißt Koordinatentransformation zum Basiswechsel von b nach d. Frage: Durch welche Matrix wird T beschrieben (bezüglich der Standardbasis von K n )?

3 Folie 3 Kapitel IV, §23 Zu den fundamentalen Themen zum Begriff der Basis gehört die Frage: Wie lassen sich alle Basen beschreiben? Die vorangegangene Erörterung liefert die Antwort: Es folgt für v aus V: Und das bedeutet, das T durch B dargestellt wird: Die Basis b liefert in Bezug auf die neue Basis d die Matrix B, welche die Identität id als lineare Abbildung beschreibt: Daher (23.2) Definition: Sei GL(n,K) die Menge aller invertierbaren (n,n)- Matrizen. GL(n,K) ist die allgemeine lineare Gruppe.

4 Folie 4 Kapitel IV, §23 {(Bd 1, Bd 2,..., Bd n ) : B aus GL(n,K) } (23.5) Satz: Legt man eine Basis d des Vektorraumes V fest, so ergeben sich alle weiteren geordneten Basen von V durch Anwendung von invertierbaren Matrizen: (23.3) Satz: GL(n,K) ist bezüglich des Produktes von Matrizen tatsächlich eine Gruppe, isomorph zu Aut(K n ) und Aut(V). (23.4) Bemerkung: Die Menge G der invertierbare Elemente H* einer assoziativen K-Algebra H mit Eins bildet stets eine Gruppe. ist die Menge aller geordneten Basen. Also: GL(n,K) parametrisiert die Menge aller geordneten Basen von V bzw. die Menge aller (linearen) Koordinaten (-transformationen). Die Menge der geordneten Basen von V wird auch durch die Menge Isom(K n,V) der Isomorphismen von K n nach V parametrisiert: {(Z(e 1 ), Z(e 2 ),..., Z(e n )) : Z aus Isom(K n,V) }


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