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Kapitel 1 Das Schubfachprinzip. Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite 2 Inhalt 1.1 Das Prinzip Tauben und Taubenschläge 1.2 Einfache Anwendungen.

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1 Kapitel 1 Das Schubfachprinzip

2 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite 2 Inhalt 1.1 Das Prinzip Tauben und Taubenschläge 1.2 Einfache Anwendungen Die Socken des Professor Mathemix, Gleiche Zahl von Bekannten 1.3 Cliquen und Anticliquen 1.4 Entfernte Punkte im Quadrat 1.5 Differenzen von Zahlen 1.6 Teilen oder nicht teilen 1.1 Das Prinzip Tauben und Taubenschläge 1.2 Einfache Anwendungen Die Socken des Professor Mathemix, Gleiche Zahl von Bekannten 1.3 Cliquen und Anticliquen 1.4 Entfernte Punkte im Quadrat 1.5 Differenzen von Zahlen 1.6 Teilen oder nicht teilen

3 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite Das Prinzip Schubfachprinzip. Seien m Objekte in n Kategorien (Schubfächer) eingeteilt. Wenn m > n ist, dann gibt es mindestens eine Kategorie, die mindestens zwei Objekte enthält. Oft wird das Schubfachprinzip auch als Taubenschlagprinzip bezeichnet: Wenn m Tauben in n Taubenschlägen sitzen und m > n ist, dann sitzen in mindestens einem Taubenschlag mindestens zwei Tauben. Schubfachprinzip. Seien m Objekte in n Kategorien (Schubfächer) eingeteilt. Wenn m > n ist, dann gibt es mindestens eine Kategorie, die mindestens zwei Objekte enthält. Oft wird das Schubfachprinzip auch als Taubenschlagprinzip bezeichnet: Wenn m Tauben in n Taubenschlägen sitzen und m > n ist, dann sitzen in mindestens einem Taubenschlag mindestens zwei Tauben.

4 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite 4 Einfache Beispiele Unter je 13 Personen gibt es mindestens zwei, die im selben Monat Geburtstag haben. Unter je drei Personen haben mindestens zwei dasselbe Geschlecht. Unter je 12 Studierenden gibt es mindestens zwei aus demselben Fachbereich. Unter je 50 Studierenden gibt es mindestens zwei mit derselben Semesterzahl. Unter je 13 Personen gibt es mindestens zwei, die im selben Monat Geburtstag haben. Unter je drei Personen haben mindestens zwei dasselbe Geschlecht. Unter je 12 Studierenden gibt es mindestens zwei aus demselben Fachbereich. Unter je 50 Studierenden gibt es mindestens zwei mit derselben Semesterzahl.

5 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite Einfache Anwendungen Die Socken des Professor Mathemix In der Sockenkiste von Professor Mathemix befinden sich 10 graue und 10 braune Socken. Der Professor nimmt – in Gedanken versunken – eine Reihe von Socken heraus. Wie viele muß er herausnehmen, um (a) garantiert zwei gleichfarbige, (b) garantiert zwei graue Socken zu erhalten? Die Socken des Professor Mathemix In der Sockenkiste von Professor Mathemix befinden sich 10 graue und 10 braune Socken. Der Professor nimmt – in Gedanken versunken – eine Reihe von Socken heraus. Wie viele muß er herausnehmen, um (a) garantiert zwei gleichfarbige, (b) garantiert zwei graue Socken zu erhalten?

6 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite 6 Wie viele Socken? – Lösung Lösung. Wir teilen die Socken des Professors in zwei Kategorien ein: In die Kategorie der grauen und die der brauen Socken. (Im Schubfachprinzip ist dann n = 2.) (a) Wenn Professor Mathemix m = 3 Socken seiner Kiste entnimmt, so sind nach dem Schubfachprinzip mindestens zwei aus derselben Kategorie. Also hat er entweder zwei graue oder zwei braune Socken gezogen. (b) Wenn er aber darauf besteht, zwei Socken seiner Lieblingsfarbe grau zu bekommen, so muß er im schlimmsten Fall 12 Socken ziehen, denn die ersten 10 könnten ja alle braun sein. Lösung. Wir teilen die Socken des Professors in zwei Kategorien ein: In die Kategorie der grauen und die der brauen Socken. (Im Schubfachprinzip ist dann n = 2.) (a) Wenn Professor Mathemix m = 3 Socken seiner Kiste entnimmt, so sind nach dem Schubfachprinzip mindestens zwei aus derselben Kategorie. Also hat er entweder zwei graue oder zwei braune Socken gezogen. (b) Wenn er aber darauf besteht, zwei Socken seiner Lieblingsfarbe grau zu bekommen, so muß er im schlimmsten Fall 12 Socken ziehen, denn die ersten 10 könnten ja alle braun sein.

7 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite 7 Gleiche Zahl von Bekannten Satz. In jeder Gruppe von mindestens zwei Personen gibt es zwei, die die gleiche Anzahl von Bekannten innerhalb dieser Gruppe haben. (Voraussetzung: Die Relation bekannt sein ist symmetrisch; das heißt: aus der Tatsache, daß X mit Y bekannt ist, folgt, daß Y mit X bekannt ist. Wir können also sagen X und Y sind bekannt. Außerdem wollen wir zu den Bekannten einer Person nicht diese Person selbst rechnen.) Beweis. Mit Hilfe des Schubfachprinzips. Objekte: die Personen der Gruppe. Sei m die Anzahl der Personen Satz. In jeder Gruppe von mindestens zwei Personen gibt es zwei, die die gleiche Anzahl von Bekannten innerhalb dieser Gruppe haben. (Voraussetzung: Die Relation bekannt sein ist symmetrisch; das heißt: aus der Tatsache, daß X mit Y bekannt ist, folgt, daß Y mit X bekannt ist. Wir können also sagen X und Y sind bekannt. Außerdem wollen wir zu den Bekannten einer Person nicht diese Person selbst rechnen.) Beweis. Mit Hilfe des Schubfachprinzips. Objekte: die Personen der Gruppe. Sei m die Anzahl der Personen.

8 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite 8 Die Kategorien Wir fassen diejenigen Personen in einer Kategorie zusammen, die die gleiche Anzahl von Bekannten haben. K 0 diejenigen, die überhaupt keine Bekannten haben; K 1 : diejenigen, die einen einzigen Bekannten haben;... K m–1 : diejenigen Menschen, die alle anderen m–1 kennen. Allgemein: In der Kategorie K i befinden sich diejenigen Personen, die genau i Bekannte innerhalb der Gruppe haben. Dies sind genau m Kategorien, also genau so viele wie Objekte – ??? Wir fassen diejenigen Personen in einer Kategorie zusammen, die die gleiche Anzahl von Bekannten haben. K 0 diejenigen, die überhaupt keine Bekannten haben; K 1 : diejenigen, die einen einzigen Bekannten haben;... K m–1 : diejenigen Menschen, die alle anderen m–1 kennen. Allgemein: In der Kategorie K i befinden sich diejenigen Personen, die genau i Bekannte innerhalb der Gruppe haben. Dies sind genau m Kategorien, also genau so viele wie Objekte – ???

9 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite 9 Der Trick Trick: Von den Kategorien K 0 und K m–1 tritt höchstens eine auf. Mit anderen Worten: Wenn eine von diesen Kategorien ein Objekt enthält, dann die andere bestimmt nicht. Warum? Wir betrachten die Situation, dass mindestens eine Person P in der Kategorie K m–1 enthalten ist. Dann müssen wir zeigen, dass K 0 leer ist. Das bedeutet, dass P alle anderen Personen der Gruppe kennt. Dann kennen aber auch alle Personen der Gruppe die Person P (bekannt sein ist symmetrisch!). Also hat jede Person der Gruppe mindestens einen Bekannten. Das heißt, dass keine Person in der Kategorie K 0 ist. Trick: Von den Kategorien K 0 und K m–1 tritt höchstens eine auf. Mit anderen Worten: Wenn eine von diesen Kategorien ein Objekt enthält, dann die andere bestimmt nicht. Warum? Wir betrachten die Situation, dass mindestens eine Person P in der Kategorie K m–1 enthalten ist. Dann müssen wir zeigen, dass K 0 leer ist. Das bedeutet, dass P alle anderen Personen der Gruppe kennt. Dann kennen aber auch alle Personen der Gruppe die Person P (bekannt sein ist symmetrisch!). Also hat jede Person der Gruppe mindestens einen Bekannten. Das heißt, dass keine Person in der Kategorie K 0 ist.

10 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite 10 Beweisabschluss Es gibt also höchstens m–1 Kategorien, die überhaupt eine Person enthalten. Jetzt können wir das Schubfachprinzip anwenden. Dieses liefert uns eine Kategorie mit mindestens zwei Objekten, also zwei Personen mit der gleichen Anzahl von Bekannten.

11 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite Cliquen und Anticliquen Satz. Unter je 6 Personen gibt es stets drei, die sich paarweise kennen (Clique) oder drei, die sich paarweise nicht kennen (Anticlique). Beweis. Wir greifen irgendeine Person P 1 heraus und betrachten zunächst deren Bekannte. Jede der fünf anderen Personen ist entweder bekannt oder nicht bekannt mit P 1. Da 5 > 2 2 ist, hat P 1 also entweder (mindestens) drei Bekannte oder (mindestens) drei Nichtbekannte in der Gruppe. Nehmen wir an, er habe drei Bekannte P 2, P 3 und P Satz. Unter je 6 Personen gibt es stets drei, die sich paarweise kennen (Clique) oder drei, die sich paarweise nicht kennen (Anticlique). Beweis. Wir greifen irgendeine Person P 1 heraus und betrachten zunächst deren Bekannte. Jede der fünf anderen Personen ist entweder bekannt oder nicht bekannt mit P 1. Da 5 > 2 2 ist, hat P 1 also entweder (mindestens) drei Bekannte oder (mindestens) drei Nichtbekannte in der Gruppe. Nehmen wir an, er habe drei Bekannte P 2, P 3 und P 4.

12 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite 12 Fallunterscheidung 1. Fall: Unter den Personen P 2, P 3, P 4 gibt es zwei, die sich kennen, sagen wir: P 2 und P 3. Dann kennen sich P 1, P 2 und P 3 gegenseitig. Daher ist die Behauptung richtig. 2. Fall: Keine zwei der Personen P 2, P 3, P 4 kennen sich. Dann ist P 2, P 3, P 4 eine Menge von Personen, die sich gegenseitig nicht kennen. Auch in diesem Fall gilt also die Behauptung. Bemerkung bewies F. P. Ramsey (1903–1930) einen sehr allgemeinen Satz: Zu je zwei natürlichen Zahlen m, n 2 gibt es eine Zahl M, so dass für jede Menge von mindestens M Personen gilt: Es gibt in dieser Menge entweder n Personen, die sich paarweise kennen oder m Personen, die sich paarweise nicht kennen. 1. Fall: Unter den Personen P 2, P 3, P 4 gibt es zwei, die sich kennen, sagen wir: P 2 und P 3. Dann kennen sich P 1, P 2 und P 3 gegenseitig. Daher ist die Behauptung richtig. 2. Fall: Keine zwei der Personen P 2, P 3, P 4 kennen sich. Dann ist P 2, P 3, P 4 eine Menge von Personen, die sich gegenseitig nicht kennen. Auch in diesem Fall gilt also die Behauptung. Bemerkung bewies F. P. Ramsey (1903–1930) einen sehr allgemeinen Satz: Zu je zwei natürlichen Zahlen m, n 2 gibt es eine Zahl M, so dass für jede Menge von mindestens M Personen gilt: Es gibt in dieser Menge entweder n Personen, die sich paarweise kennen oder m Personen, die sich paarweise nicht kennen.

13 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite Entfernte Punkte im Quadrat Wir betrachten ein Quadrat der Seitenlänge 2 und fragen uns, wie viele Punkte wir in das Quadrat einzeichnen können, die weit voneinander entfernt sind Satz. Unter je fünf Punkten, die in einem Quadrat der Seitenlänge 2 liegen, gibt es zwei, die einen Abstand 2 haben. Wir betrachten ein Quadrat der Seitenlänge 2 und fragen uns, wie viele Punkte wir in das Quadrat einzeichnen können, die weit voneinander entfernt sind Satz. Unter je fünf Punkten, die in einem Quadrat der Seitenlänge 2 liegen, gibt es zwei, die einen Abstand 2 haben.

14 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite 14 Der Beweis Beweis. Mit Hilfe des Schubfachprinzips. Wir teilen das Quadrat der Seitenlänge 2 in in vier Teilquadrate der Seitenlänge 1 ein. Wir fassen die Punkte eines jeden Teilquadrats zu einer Kategorie zusammen; es gibt also genau vier Kategorien. Da es aber fünf Objekte (die Punkte) gibt, folgt mit Schubfachprinzip, dass es eine Kategorie mit zwei Objekten gibt. Das heißt: Es gibt ein Teilquadrat, in dem zwei der fünf Punkte liegen. Da der maximale Abstand in einem Teilquadrat gleich 2 (die Länge der Diagonale) ist, haben diese beiden Punkte einen Abstand 2.

15 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite Differenzen von Zahlen Satz. Unter je sechs natürlichen Zahlen gibt es stets zwei, deren Differenz durch 5 teilbar ist. Beispiel: Sind die Zahlen 8, 17, 21, 25, 33, 49, so ergibt sich, dass 33 – 5 = 25 durch 5 teilbar ist. Beweis. Um das Schubfachprinzip anwenden zu können, müssen wir wissen, was die Objekte und was die Kategorien sind. Die Objekte sind die 6 natürlichen Zahlen. Diese werden nun in fünf Kategorien K 0, K 1,..., K 4 eingeteilt: Satz. Unter je sechs natürlichen Zahlen gibt es stets zwei, deren Differenz durch 5 teilbar ist. Beispiel: Sind die Zahlen 8, 17, 21, 25, 33, 49, so ergibt sich, dass 33 – 5 = 25 durch 5 teilbar ist. Beweis. Um das Schubfachprinzip anwenden zu können, müssen wir wissen, was die Objekte und was die Kategorien sind. Die Objekte sind die 6 natürlichen Zahlen. Diese werden nun in fünf Kategorien K 0, K 1,..., K 4 eingeteilt:

16 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite 16 Beweis K 0 : diejenigen Zahlen, die Vielfache von 5 sind, K 1 : diejenigen Zahlen, die bei Division durch 5 Rest 1 ergeben. K 2 : diejenigen Zahlen, die bei Division durch 5 Rest 2 ergeben.... K 4 : diejenigen Zahlen, die bei Division durch 5 Rest 4 ergeben. Da jede Zahl bei Division durch 5 den Rest 0, 1, 2, 3 oder 4 ergibt, ist jede Zahl in mindestens einer Kategorie enthalten. Schubfachprinzip es gibt eine Kategorie mit zwei Objekten. Also gibt es zwei Zahlen, die bei Division durch 5 denselben Rest ergeben. Das bedeutet: Die Differenz ist durch 5 teilbar. K 0 : diejenigen Zahlen, die Vielfache von 5 sind, K 1 : diejenigen Zahlen, die bei Division durch 5 Rest 1 ergeben. K 2 : diejenigen Zahlen, die bei Division durch 5 Rest 2 ergeben.... K 4 : diejenigen Zahlen, die bei Division durch 5 Rest 4 ergeben. Da jede Zahl bei Division durch 5 den Rest 0, 1, 2, 3 oder 4 ergibt, ist jede Zahl in mindestens einer Kategorie enthalten. Schubfachprinzip es gibt eine Kategorie mit zwei Objekten. Also gibt es zwei Zahlen, die bei Division durch 5 denselben Rest ergeben. Das bedeutet: Die Differenz ist durch 5 teilbar.

17 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite Teilen oder nicht teilen Erinnerung: Wir nennen zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist. Zum Beispiel sind 7 und 12 teilerfremd, 8 und 12 aber nicht Satz. Unter je n+1 Zahlen der Menge {1, 2, 3,..., 2n} gibt es stets zwei teilerfremde. Beweis. Unter je n+1 Zahlen der Menge {1, 2, 3,..., 2n} gibt es stets zwei aufeinanderfolgende; diese Zahlen sind sicher teilerfremd. Erinnerung: Wir nennen zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist. Zum Beispiel sind 7 und 12 teilerfremd, 8 und 12 aber nicht Satz. Unter je n+1 Zahlen der Menge {1, 2, 3,..., 2n} gibt es stets zwei teilerfremde. Beweis. Unter je n+1 Zahlen der Menge {1, 2, 3,..., 2n} gibt es stets zwei aufeinanderfolgende; diese Zahlen sind sicher teilerfremd.

18 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite 18 Zwei Zahlen teilen sich Satz. Unter je n+1 Zahlen der Menge {1, 2, 3,..., 2n} gibt es stets zwei Zahlen, von denen die eine die andere teilt. Beweis. Seien a 0, a 1,..., a n die gewählten Zahlen. Wir schreiben jede dieser Zahlen als Produkt einer Zweierpotenz und einer ungeraden Zahl; das heißt a i = 2 e i u i, wobei e i eine natürliche Zahl (e i darf Null sein), und u i ungerade ist. (Konkrete Beispiele: Wenn a i ungerade ist, dann ist e i = 0 und u i = a i. Im Fall a i = 12 ist e i = 2 und u i = 3.) Satz. Unter je n+1 Zahlen der Menge {1, 2, 3,..., 2n} gibt es stets zwei Zahlen, von denen die eine die andere teilt. Beweis. Seien a 0, a 1,..., a n die gewählten Zahlen. Wir schreiben jede dieser Zahlen als Produkt einer Zweierpotenz und einer ungeraden Zahl; das heißt a i = 2 e i u i, wobei e i eine natürliche Zahl (e i darf Null sein), und u i ungerade ist. (Konkrete Beispiele: Wenn a i ungerade ist, dann ist e i = 0 und u i = a i. Im Fall a i = 12 ist e i = 2 und u i = 3.)

19 Kapitel 1 © Beutelspacher Oktober 2004 Seite 19 Beweisabschluss Dann sind die u i ungerade Zahlen zwischen 1 und 2n. Da es in diesem Intervall nur n ungerade Zahlen gibt, muss es ein i und ein j (i j) geben mit u i = u j (Schubfachprinzip). Dann ist a i = 2 e i u i und a j = 2 e j u i, Dann teilt die Zahl mit der kleineren Zweierpotenz die andere. Dann sind die u i ungerade Zahlen zwischen 1 und 2n. Da es in diesem Intervall nur n ungerade Zahlen gibt, muss es ein i und ein j (i j) geben mit u i = u j (Schubfachprinzip). Dann ist a i = 2 e i u i und a j = 2 e j u i, Dann teilt die Zahl mit der kleineren Zweierpotenz die andere.


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