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Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Fuzzymengen Ein Modellansatz zur Beschreibung von Vagheiten.

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Präsentation zum Thema: "Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Fuzzymengen Ein Modellansatz zur Beschreibung von Vagheiten."—  Präsentation transkript:

1 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Fuzzymengen Ein Modellansatz zur Beschreibung von Vagheiten

2 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Menge –Zuordnung von Werten zu Elementen x aus X einer Menge M durch charakteristische Funktion: Problem –Anwendungen fordern Übergänge zwischen Zugehörigkeit und Nicht-Zugehörigkeit zu einer Menge Zugehörigkeitswerte 0,1 werden erweitert zu reellem Einheitsintervall I Fuzzymengen – Was ist das?

3 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Fuzzymengen – Was ist das? man erhält neue charakteristische Funktion –scharfe Mengen sind spezielle unscharfe Mengen unscharfe Menge ist durch Zugehörigkeitsfunktion eindeutig bestimmt: wichtige Größen: –Träger: –Höhe: –Kern:

4 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Fuzzymengen – Was ist das? weitere scharfe Mengen zuordenbar: –α-Schnitt: –scharfer α-Schnitt: –α-Komponente: –A ist durch (scharfen) α-Schnitt eindeutig bestimmt und lässt sich in scharfe Mengen zerlegen Kern: Träger:

5 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Fuzzymengen – Was ist das? geltende Gesetze für : –Inklusion als Halbordnung:

6 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen t-Norm-basierte Operation: –ist eine binäre Operation t: –kommutativ, assoziativ, monoton wachsend –1 als neutrales Element, 0 als Nullelement –für beliebige muss gelten: –nicht interaktiv heißt eine t-Norm, wenn gilt: und besonders: (Idempotenz)

7 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen Durchschnitt ist definiert durch: –übliche t-Normen ( ): Durchschnitt t 0 : algebraisches Produkt t 1 : beschränktes Produkt t 2 : drastisches Produkt t 3 : –es gilt:

8 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen t-Conorm s t ist eine zu t duale t-Conorm –Definition: –binäre Operation –kommutativ, assoziativ, monoton wachsend –für beliebige muss gelten:

9 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen Vereinigung –wird aus Durchschnitt mittels Komplementbildung erzeugt: – –übliche t-Conormen ( ): Vereinigung s 0 : algebraische Summe s 1 : beschränkte Summe s 2 : drastische Summe s 3 : –es gilt:

10 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen kartesisches Produkt: – heißt unscharfes, t-Norm-basiertes kartesisches Produkt: –es gilt:

11 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen ZADEH (1965) –Verallgemeinerungen der elementaren mengenalgebraischen Operationen für unscharfe Mengen Vereinigung: Durchschnitt: Komplement: –erkannte als einzige nicht-interaktive Verknüpfung, es gilt: –deutete andere Varianten an

12 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen geltende Gesetze: –α-Schnitte: –für beliebige unscharfe Mengen A,B,C gelten: dabei kann durch ersetzt werden

13 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen geltende Gesetze: –Distributivgesetze –Subdistributivgesetze Gleichheit statt Inklusion nur für

14 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen geltende Gesetze: –Komplementbildung ist idempotent kehrt Inklusionsbeziehung um deMorgansche Gesetze gelten nicht alle Eigenschaften des gewöhnlichen Komplements gelten – und sind möglich, da

15 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen Werteverlauf für t 0, s 0

16 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen

17 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen einparametrische Familien von t-Normen –Teilklassen der Menge der möglichen t-Normen –für bestimmte Parameterwerte streben die Durchschnitte und Vereinigungen gegen die bereits definierten –ausreichend umfangreich –einfach handhabbar, überschaubar

18 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen HAMACHER (1978) –Familie von t-Normen mit Parameterbereich –duale t-Conormen –

19 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen YAGER (1980) –Familie von t-Normen mit Parameterbereich –duale t-Conormen –

20 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen WEBER (1983) –Familie von t-Normen mit Parameterbereich –duale t-Conormen –

21 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen Erweiterungsprinzip: –sei g eine n-stellige Funktion in X: –lässt sich g auf unscharfe Zahlen aus erweitern? – soll sich aus ergeben –Zugehörigkeitswerte sollen Zugehörigkeitswert bestimmen – wird so zu erweitert, dass gilt: –gilt auch α-Schnitt-weise:

22 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik praktischer Ansatz: –Zugehörigkeitsfunktion sollte nur 1 Maxima haben, d.h. die Menge ist konvex: –Grundbereich sollte Menge der reellen Zahlen sein: –unscharfe Zahl:, d.h. Kern ist Einermenge –unscharfes Intervall: –jede unscharfe Zahl ist ein unscharfes Intervall –gewöhnliche Zahlen sind besondere unscharfe Zahlen

23 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik Grundrechenarten: –Erweiterungsprinzip wird angewendet: –für Summe, Differenz und Produkt sei # das entsprechende Operationszeichen (+,-,*) –Negatives –Quotient: nur für unscharfes Intervall –Kehrwert –Quotient

24 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik Maximumbildung: –da gilt besser: Mimimumbildung analog

25 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik geltende Gesetze: –Kommutativ- und Assoziativgesetze gelten –Distributivgesetz nur bedingt: nur, wenn oder A eine unscharfe Einermenge ist –-A nur bedingt additives Inverses von A da nur für, aber i.A.

26 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik für Rechnen mit unscharfen Zahlen können folgende Vereinbarungen vorteilhaft sein: – –Intervall ist monoton steigend, Intervall monoton fallend –beide Intervalle sind einem bestimmten Funktionstyp zuzuordnen falls –die Einschränkungen der Zugehörigkeitsfunktion interessieren nur auf und –werden genannt

27 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen Definition –eine L/R-Darstellung einer unscharfen Zahl liegt vor, falls A durch seiner Zugehörigkeitsfunktion angegeben wird –sind lineare Funktionen, heißt A unscharfe Zahl mit linearer L/R-Zerlegung oder dreiecksförmig gilt zusätzlich und, dann heißt A trapezförmig –man schreibt genau dann, wenn und

28 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen seien und unscharfe Zahlen mit linearer L/R-Darstellung –Summe –Differenz –Negatives –Multiplikation mit Skalar –Produkt und Quotient unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung sind i.A. keine unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung mehr –Beispiel:

29 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen es existieren Näherungsformeln ( ): –Produkt: –Quotient: –Kehrwert: Multiplikation ohne Einschränkung der Träger –man setzt und findet: und erhält als Näherungsformel:

30 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen statt linearer Funktionstypen für auch andere möglich – können verschiedene Funktionstypen haben –Ansatz von DUBOIS/PRADE (1987): Funktionen sind durch Hilfsfunktionen L,R bestimmt: – –L,R monoton fallend für positive Argumente mit Parametern werden dann definiert als: man schreibt dann sind L,R lineare Funktionen und, ergeben sich folgende Beziehungen:

31 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen seien und unscharfe Zahlen mit L/R-Zerlegung –Summe –Negatives man beachte, dass L und R die Rollen vertauscht haben Differenz ist nur für L=R eine einfache L/R-Darstellung –Produkt ( ) nur mit Näherungsformel –Kehrwert ( ) ähnlich: L und R haben wieder Rollen vertauscht

32 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Quellen: –BANDEMER/GOTTWALD Einführung in Fuzzy-Methoden (Akademie Verlag, 1992)


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