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Irreduzibilität Andreas Flesch. Irreduzibilität2 Motivation i. A. beliebig viele Darstellungen derselben Gruppe Erhöhung der Dimension des Darstellungsraums.

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1 Irreduzibilität Andreas Flesch

2 Irreduzibilität2 Motivation i. A. beliebig viele Darstellungen derselben Gruppe Erhöhung der Dimension des Darstellungsraums => immer größere Darstellungsmatrizen zurückführbar auf endliche Zahl von Grunddarstellungen?

3 Irreduzibilität3 endliche Gruppe: alle Darstellungen können aus endlicher Zahl unterschiedlicher irreduzibler Darstellungen gewonnen werden

4 Irreduzibilität4 Definition L invarianter Vektorraum bezüglich Darstellung von G: T reduzibel: es existiert Teilraum L 1 (L 1 0, L 1 L) und orthogonales Komplement L 2 von L, so dass beide invariant unter T sind

5 Irreduzibilität5 wichtig: L 2 auch invariant andere Lehrbücher: Reduzibilität Vollreduzibilität T irreduzibel: es existiert kein solcher Unterraum

6 Irreduzibilität6 unitäre Darstellungen alle T(G a ) unitär: Invarianz von L 1 => Invarianz von L 2 Beweis: e i : Basis von L 1, e j : Basis von L 2

7 Irreduzibilität7 Bem.: Darstellungen in der Physik in der Regel unitär (im Folgenden vorausgesetzt)

8 Irreduzibilität8 Folgerungen Zerlegung von L in invariante und irreduzible Unterräume (nicht eindeutig): T (q) (G a ):irreduzible Darstellung von G in L q Achtung: Summe von Operatoren aus verschiedenen Räumen

9 Irreduzibilität9 Darstellungsmatrizen bez. sortierter Basen der Unterräume L q (Blockdiagonalform): T (q) (G a ) (dim(L q ) dim(L q ))-Matrix

10 Irreduzibilität10 Blockstruktur wird in der Regel erst nach Basiswechsel (Unterräume L q ) erreicht Verfahren, invarianten Unterraum zu erzeugen, liefert schließlich auch irreduzible Darstellungen Darstellung von Vektoren (Zerlegung in irreduzible Komponenten):

11 Irreduzibilität11 Beispiel (Gruppe D 3 ) R 1/2 : Rotation in x-y-Ebene um 120° bzw. 240°

12 Irreduzibilität12 eine mögliche Darstellung (L=R 3 ):

13 Irreduzibilität13 Darstellung ist reduzibel invariante orthogonale Unterräume V 1 (x,y) und V 2 (z) bilden mit den entsprechenden Teilmatrizen zwei- bzw. eindimensionale Darstellungen von D 3 Darstellung in V 2 offensichtlich irreduzibel V 1 auch irreduzibel, da es keine, gibt, so dass Basis von V 1 und (einfacheres Nachweisverfahren folgt später)

14 Irreduzibilität14 Äquivalente Darstellungen Eigenschaften von Darstellungen folgen aus den irreduziblen Darstellungen es existieren unendlich viele irreduzible Darstellungen (vgl. Basiswechsel)

15 Irreduzibilität15 T(G a ) Darstellung von G in L, A Abbildung von L nach L (gleiche Dimension) T(G a ) Darstellung von G in L T und T heißen äquivalent Beweis: z.B. Elliot & Dawber äquivalente Darstellungen bilden eine Klasse Maschkes Theorem: Jede Klasse äquivalenter Darstellungen für endliche Gruppen beinhaltet unitäre Darstellungen

16 Irreduzibilität16 Beweis: z.B. Elliot & Dawber Bem.: gilt häufig auch für physikalisch relevante unendliche Gruppen daher Beschränkung auf unitäre Darstellungen ist T(G a ) Matrix der Darstellung bezüglich Basis e i und eine neue Basis e i gegeben durch

17 Irreduzibilität17 dann ist T(G a ) bezüglich der neuen Basis gegeben durch: (äquivalente Matrixdarstellung) Achtung: Unterschied zu oben, da dort neuer Operator, während hier gleicher Operator bezüglich neuer Basis! Eigenschaften wie die Eigenwerte der Darstellungsmatrizen sind für alle Elemente einer Klasse gleich.

18 Irreduzibilität18 nicht äquivalente irreduzible Darstellungen T, T sind nicht äquivalent, falls es keinen Operator A gibt, so dass gilt: äquivalente Darstellungen werden identifiziert (geeignete Basis => Matrizen identisch), daher

19 Irreduzibilität19 läuft über nicht äquivalente irreduzible Darstellungen m : Häufigkeit

20 Orthogonalitätsrelationen für irreduzible Darstellungen

21 Irreduzibilität21 Motivation bisher: Reduktion auf die Analyse nicht äquivalenter irreduzibler Darstellungen für diese gelten wichtige Orthogonalitätsrelationen entscheidend für charakteristische Eigenschaften von Symmetrien (in der Physik)

22 Irreduzibilität22 Schurs erstes Lemma T(G a ) irreduzible Darstellung von G in L, A Operator in L, Konstante, 1 Einheitsoperator Wenn A für alle G a mit T(G a ) kommutiert, ist A ein Vielfaches des Einheitsoperators!

23 Irreduzibilität23 Schurs zweites Lemma T (1) (G a ), T (2) (G a ) seien irreduzible Darstellungen von G in L 1 (Dimension s 1 ) bzw. L 2 (Dimension s 2 ), A Operator, der Vektoren aus L 2 nach L 1 transformiert. Dann gilt, falls T (1) und T (2) nicht äquivalent sind: Beweise: z.B. Elliot & Dawber

24 Irreduzibilität24 Orthogonalitätsrelationen betrachte im Folgenden nur identische oder nicht äquivalente irreduzible Darstellungen dann zusammenfassende Darstellung der Lemmata möglich T ( ) (G a ), T ( ) (G a ) irreduzible Darstellungen von G in L bzw. L, A Operator, der die Vor. der Lemmata erfüllt:

25 Irreduzibilität25 wobei falls T ( ), T ( ) nicht äquivalent falls T ( ) =T ( ) Wähle wobei X beliebiger Operator, der Vektoren aus L nach L abbildet.

26 Irreduzibilität26 Dann gilt: da G c =G a G b für festes a ganz G durchläuft, wenn G b ganz G durchläuft

27 Irreduzibilität27 Einsetzen in die Lemmata: Wähle Bestimmung von : Falls i=j und = gilt, folgt nach Summation über i:

28 Irreduzibilität28 Falls T ( ) unitär ist, folgt: da

29 Irreduzibilität29 rechte Seite 0 für =,i=j,q=p dann: Mittelwert über die Gruppe: Division durch die Anzahl g der Gruppenelemente

30 Irreduzibilität30 Orthogonalität: gilt nur für irreduzible Darstellungen ( => Test auf Irreduzibilität)

31 Irreduzibilität31 Folgerung: irreduzible Darstellungen von Abelschen Gruppen sind eindimensional Beweis: T ( ) (G a ) sei irreduzible Darstellung einer Abelschen Gruppe G, dann gilt: (Schur) T ( ) (G a ) ist diagonal für alle G a und somit reduzierbar (Widerspruch!), es sei denn, T ( ) (G a ) hat Dimension 1

32 Irreduzibilität32 Beispiel (D3) (g=6): T (1) : s 1 =1 T (2) : s 2 =1 T (3) : s 3 =2 D3 hat drei verschiedene irreduzible Darstellungen!

33 Irreduzibilität33 Nun gilt z.B.:

34 Irreduzibilität34 Eigenschaften von Darstellungen durch Basiswechsel können unendlich viele Darstellungen einer Gruppe erzeugt werden (Ähnlichkeitstransformation) gesucht: von solchen Transformationen unabhängige Eigenschaften es existieren diverse solche Eigenschaften (z.B. Eigenwerte der Matrizen)

35 Irreduzibilität35 in der Regel genügt es eine zu betrachten besonders nützlich: Die Spur der Matrix T(G a ) (Summe der Eigenwerte, Summe der Diagonalelemente in beliebiger Basis) (G a ) ist invariant unter Ähnlichkeitstransformationen. Die Menge heißt Charakter der Darstellung.

36 Irreduzibilität36 Beweis: ebenso haben alle Elemente der gleichen Klasse C p den gleichen Charakter p

37 Irreduzibilität37 Beweis: Seien G a, G b in der gleichen Klasse. Dann gilt G a =G m G b G m -1. Dann folgt für beliebige Darstellung T von G:

38 Irreduzibilität38 Orthogonalität: Weiterhin:

39 Irreduzibilität39 Kriterium für Irreduzibilität:

40 Irreduzibilität40 Quellen J.P. Elliot, P.G. Dawber, Symmetry in physics, Volume 1, Principles and simple applications, MacMillan, London, 1979 E. Stiefel, A. Fässler, Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendung, Teubner, Stuttgart, 1979


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