Irreduzibilität Andreas Flesch.

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1 Irreduzibilität Andreas Flesch

2 Motivation i. A. beliebig viele Darstellungen derselben Gruppe
Erhöhung der Dimension des Darstellungsraums => immer größere Darstellungsmatrizen zurückführbar auf endliche Zahl von „Grunddarstellungen“? Irreduzibilität

3 endliche Gruppe: alle Darstellungen können aus endlicher Zahl „unterschiedlicher irreduzibler“ Darstellungen gewonnen werden Irreduzibilität

4 Definition L invarianter Vektorraum bezüglich Darstellung von G:
T reduzibel: es existiert Teilraum L1 (L10, L1L) und orthogonales Komplement L2 von L, so dass beide invariant unter T sind Irreduzibilität

5 wichtig: L2 auch invariant
andere Lehrbücher: Reduzibilität  Vollreduzibilität T irreduzibel: es existiert kein solcher Unterraum Irreduzibilität

6 unitäre Darstellungen
alle T(Ga) unitär: Invarianz von L1 => Invarianz von L2 Beweis: ei: Basis von L1, ej: Basis von L2 Irreduzibilität

7 Bem.: Darstellungen in der Physik in der Regel unitär (im Folgenden vorausgesetzt)
Irreduzibilität

8 Folgerungen Zerlegung von L in invariante und irreduzible Unterräume (nicht eindeutig): T(q)(Ga):irreduzible Darstellung von G in Lq Achtung: Summe von Operatoren aus verschiedenen Räumen Irreduzibilität

9 T(q)(Ga) (dim(Lq)  dim(Lq))-Matrix
Darstellungsmatrizen bez. „sortierter“ Basen der Unterräume Lq (Blockdiagonalform): T(q)(Ga) (dim(Lq)  dim(Lq))-Matrix Irreduzibilität

10 Darstellung von Vektoren (Zerlegung in „irreduzible“ Komponenten):
Blockstruktur wird in der Regel erst nach Basiswechsel (Unterräume Lq) erreicht Verfahren, invarianten Unterraum zu erzeugen, liefert schließlich auch irreduzible Darstellungen Darstellung von Vektoren (Zerlegung in „irreduzible“ Komponenten): Irreduzibilität

11 Beispiel (Gruppe D3) R1/2: Rotation in x-y-Ebene um 120° bzw. 240°
Irreduzibilität

12 eine mögliche Darstellung (L=R3):
Irreduzibilität

13 Darstellung ist reduzibel
invariante orthogonale Unterräume V1 (x,y) und V2 (z) bilden mit den entsprechenden Teilmatrizen zwei- bzw. eindimensionale Darstellungen von D3 Darstellung in V2 offensichtlich irreduzibel V1 auch irreduzibel, da es keine ,  gibt, so dass Basis von V1 und (einfacheres Nachweisverfahren folgt später) Irreduzibilität

14 Äquivalente Darstellungen
Eigenschaften von Darstellungen folgen aus den irreduziblen Darstellungen es existieren unendlich viele irreduzible Darstellungen (vgl. Basiswechsel) Irreduzibilität

15 T‘(Ga) Darstellung von G in L‘ T‘ und T heißen äquivalent
T(Ga) Darstellung von G in L, A Abbildung von L nach L‘ (gleiche Dimension) T‘(Ga) Darstellung von G in L‘ T‘ und T heißen äquivalent Beweis: z.B. Elliot & Dawber äquivalente Darstellungen bilden eine Klasse Maschke‘s Theorem: Jede Klasse äquivalenter Darstellungen für endliche Gruppen beinhaltet unitäre Darstellungen Irreduzibilität

16 Beweis: z.B. Elliot & Dawber
Bem.: gilt häufig auch für physikalisch relevante unendliche Gruppen daher Beschränkung auf unitäre Darstellungen ist T(Ga) Matrix der Darstellung bezüglich Basis ei und eine neue Basis ei‘ gegeben durch Irreduzibilität

17 dann ist T(Ga) bezüglich der neuen Basis gegeben durch:
(äquivalente Matrixdarstellung) Achtung: Unterschied zu oben, da dort neuer Operator, während hier gleicher Operator bezüglich neuer Basis! Eigenschaften wie die Eigenwerte der Darstellungsmatrizen sind für alle Elemente einer Klasse gleich. Irreduzibilität

18 nicht äquivalente irreduzible Darstellungen
T, T‘ sind nicht äquivalent, falls es keinen Operator A gibt, so dass gilt: äquivalente Darstellungen werden identifiziert (geeignete Basis => Matrizen identisch), daher Irreduzibilität

19  läuft über nicht äquivalente irreduzible Darstellungen
m: Häufigkeit Irreduzibilität

20 Orthogonalitätsrelationen für irreduzible Darstellungen

21 Motivation bisher: Reduktion auf die Analyse nicht äquivalenter irreduzibler Darstellungen für diese gelten wichtige Orthogonalitätsrelationen entscheidend für charakteristische Eigenschaften von Symmetrien (in der Physik) Irreduzibilität

22 Schur‘s erstes Lemma T(Ga) irreduzible Darstellung von G in L, A Operator in L,  Konstante, 1 Einheitsoperator Wenn A für alle Ga mit T(Ga) kommutiert, ist A ein Vielfaches des Einheitsoperators! Irreduzibilität

23 Schur‘s zweites Lemma T(1)(Ga), T(2)(Ga) seien irreduzible Darstellungen von G in L1 (Dimension s1) bzw. L2 (Dimension s2), A Operator, der Vektoren aus L2 nach L1 transformiert. Dann gilt, falls T(1) und T(2) nicht äquivalent sind: Beweise: z.B. Elliot & Dawber Irreduzibilität

24 Orthogonalitätsrelationen
betrachte im Folgenden nur identische oder nicht äquivalente irreduzible Darstellungen dann zusammenfassende Darstellung der Lemmata möglich T()(Ga), T()(Ga) irreduzible Darstellungen von G in L bzw. L, A Operator, der die Vor. der Lemmata erfüllt: Irreduzibilität

25 falls T(), T() nicht äquivalent
wobei falls T(), T() nicht äquivalent falls T()=T() Wähle wobei X beliebiger Operator, der Vektoren aus L nach L abbildet. Irreduzibilität

26 da Gc=GaGb für festes a ganz G durchläuft, wenn Gb ganz G durchläuft
Dann gilt: da Gc=GaGb für festes a ganz G durchläuft, wenn Gb ganz G durchläuft Irreduzibilität

27 Einsetzen in die Lemmata:
Wähle Bestimmung von : Falls i=j und = gilt, folgt nach Summation über i: Irreduzibilität

28 Falls T() unitär ist, folgt:
da Irreduzibilität

29 rechte Seite  0 für =,i=j,q=p dann:
Mittelwert über die Gruppe: Division durch die Anzahl g der Gruppenelemente Irreduzibilität

30 Orthogonalität: gilt nur für irreduzible Darstellungen ( => Test auf Irreduzibilität) Irreduzibilität

31 Folgerung: irreduzible Darstellungen von Abelschen Gruppen sind eindimensional
Beweis: T()(Ga) sei irreduzible Darstellung einer Abelschen Gruppe G, dann gilt: (Schur) T()(Ga) ist diagonal für alle Ga und somit reduzierbar (Widerspruch!), es sei denn, T()(Ga) hat Dimension 1 Irreduzibilität

32 D3 hat drei verschiedene irreduzible Darstellungen!
Beispiel (D3) (g=6): T(1): s1=1 T(2): s2=1 T(3): s3=2 D3 hat drei verschiedene irreduzible Darstellungen! Irreduzibilität

33 Nun gilt z.B.: Irreduzibilität

34 Eigenschaften von Darstellungen
durch Basiswechsel können unendlich viele Darstellungen einer Gruppe erzeugt werden („Ähnlichkeitstransformation“) gesucht: von solchen Transformationen unabhängige Eigenschaften es existieren diverse solche Eigenschaften (z.B. Eigenwerte der Matrizen) Irreduzibilität

35 in der Regel genügt es eine zu betrachten besonders nützlich:
Die Spur der Matrix T(Ga) (Summe der Eigenwerte, Summe der Diagonalelemente in beliebiger Basis) (Ga) ist invariant unter Ähnlichkeitstransformationen. Die Menge heißt Charakter der Darstellung. Irreduzibilität

36 Beweis: ebenso haben alle Elemente der gleichen Klasse Cp den gleichen Charakter p Irreduzibilität

37 Beweis: Seien Ga, Gb in der gleichen Klasse. Dann gilt Ga=GmGbGm-1
Beweis: Seien Ga, Gb in der gleichen Klasse. Dann gilt Ga=GmGbGm-1. Dann folgt für beliebige Darstellung T von G: Irreduzibilität

38 Orthogonalität: Weiterhin: Irreduzibilität

39 Kriterium für Irreduzibilität:

40 Quellen J.P. Elliot, P.G. Dawber, Symmetry in physics, Volume 1, Principles and simple applications, MacMillan, London, 1979 E. Stiefel, A. Fässler, Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendung, Teubner, Stuttgart, 1979 Irreduzibilität