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Vorlesung Informatik 3 Einführung in die Theoretische Informatik (06 – Reduktion endlicher Automaten) Prof. Dr. Th. Ottmann.

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1 Vorlesung Informatik 3 Einführung in die Theoretische Informatik (06 – Reduktion endlicher Automaten) Prof. Dr. Th. Ottmann

2 2 Reduzierter Automat Sei A = (, S, δ, s 0, F) ein DFA. Dann heißen zwei Zustände s, s S äquivalent bzgl. A, s ~ A s, wenn für alle Worte w * gilt: δ(s, w) F gdw. δ(s, w) F Der Automat A heißt reduziert (oder zustands-minimal), wenn für alle Zustände s, s aus s ~ A s schon s = s folgt und wenn alle Zustände aus S vom Anfangszustand s 0 aus erreichbar sind. (D.h.: Für jedes s S gibt es ein Wort w *, so dass s = δ(s 0, w) ist.) ~ A ist eine Äquivalenzrelation auf S

3 3 Reduktion von DFAs Gegeben sei ein DFA A = (, S, δ, s 0, F). Schritt 1: Lasse alle vom Anfangszustand s 0 aus nicht erreichbaren Zustände weg. Schritt 2: Dividiere A durch bzgl. Der Relation ~ A. D. h. definiere einen DFA A = (, S, δ, s 0, F) wie folgt:

4 4 Unabhängigkeit der Def. vom Repräsentanten

5 5 Nachweis der Reduziertheit von A

6 6 Bemerkungen Man kann zeigen (ohne Beweis). 1.Der durch Durchdividieren nach ~ A zu einem DFA erzeugte DFA A min (der sogenannte Minimalautomat A min ) ist isomorph zu dem nach der Myhill/Nerode-Methode konstruierten Automaten A L für die Sprache L = L(A). 2.A min und A L haben die minimal mögliche Anzahl von Zuständen, sind also reduziert. 3.Der Minimalautomat A min kann effizient mit Hilfe des sogenannten state merging Verfahrens in Zeit O(n 2 ) bestimmt werden, n = Anzahl der Zustände des gegebenen DFA A.

7 7 Minimaler endlicher Automat Satz: Gegeben sei eine reguläre Sprache L *. Dann ist der (Zustands-) minimale Automat A min, für den L = L(A min ) gilt, bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Dabei sind zwei Automaten A 1 = (, S 1, δ 1, s 1, F 1 ) und A 2 = (, S 2, δ 2, s 2, F 2 ) genau dann isomorph, wenn S 1 = S 2 ist und es eine bijektive Abbildung f: S 1 S 2 gibt mit f( δ 1 ( s, a ) ) = δ 2 ( f( s ), a ), für alle s S 1 und alle a. f( F 1 ) = F 2

8 8 Konstruktion des Minimalautomaten Sei A 1 = (S,, δ, s 0, F) ein DFA, der L = L(A) erkennt. Zu A wird in mehreren Schritten ein äquivalenter Automat A min konstruiert: 1.Vereinfache A, so dass alle Zustände von s 0 aus erreichbar sind. 2.Zerlege die Zustandsmenge disjunkt in zwei Teile: π 1 = {F, S – F} 3.Verfeinere die aktuelle Zerlegung π i = {S 1, …, S k }: In der neuen Zerlegung π i+1 gehören Zustände s, s genau dann zur gleichen Menge, wenn s S i und s S i sowie δ( s, a) S j und δ( s, a) S j für alle a und i, j {1, …, k}. Aufgeteilt werden muss S i, wenn für s, s S i gilt: δ( s, a) δ( s, a) 4.Ergab die letzte Verfeinerung mehr Mengen, gehe zurück zu 3; sonst sind die Mengen der letzten Zerlegung die Zustände von A min.

9 9 Ein zu minimierender DFA

10 10 1 M 1 s 3 s 4 M 2 s 0 s 1 s 2

11 11 Reduzierter DFA


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